Специальные потоки платежей
ГЛАВА 2. Специальные потоки платежей
2.1. Рента с начислением простых процентов
2.1.1. Наращение ренты с простыми процентами
Пусть заданы годовой платеж R, ставка простых процентов i, срок ренты n. Платежи осуществляются через равные интервалы времени в конце периода. Найти наращение S (рис.10).
 |
Рисунок 10 – Обыкновенная постоянная рента с начислением простых процентов и годовыми выплатами
Годовые платежи с начисленными на них процентами к концу срока ренты представляют ряд:
| R(1 + 3i); R(1 + 2i); R(1 + i); R. |
Перепишем ряд в обратном порядке. Он представляет собой арифметическую прогрессию с параметрами a1 = R, an = R[1+(n - 1)i]. Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле[1] и представляет собой наращение такой ренты
|
| (11) |
Если выплаты осуществляются несколько раз в год (рис. 11), т.е. определен разовый платеж Ra = R / p, общее число платежей N = np и общий срок потока n, то ряд с начисленными на него простыми процентами имеет вид
Рисунок 11 – Обыкновенная постоянная рента с начислением простых процентов и выплатами по полугодиям
,Первый член такого ряда равен a1 = Ra, n-ый член ряда равен an = = Ra
.
Подставив известные параметры в формулу суммы арифметической прогрессии, получим формулу наращения обыкновенной ренты с простыми процентами
|
| (12) |
.2.1.2. Современная величина ренты с простыми процентами
При применении математического дисконтирования в расчете современной величины потока с простыми процентами получаем следующее
| P = S(1 + ni)-1
|
Данный ряд прогрессией не является, поэтому получить результат в «свернутом» виде не удастся. В данном случае используется прямой счет:
| для выплат раз в году | |
| для выплат p раз в год |
,
.Другая ситуация возникает при дисконтировании по учетной ставке d. В этом случае современная величина рассчитывается по формуле P = S(1 - nd) или A = R (1 - nd).
Для учета раз в год первый член ряда равен a1 = R(1 - d), последний an = = R(1 - nd). Откуда
|
| (13) |
.Для учета p раз в год (рис. 12) a1 = Ra (1 - 
d) и an = Ra (1 - 
d).
 |
Рисунок 12 – Обыкновенная постоянная рента с начислением процентов по простой учетной ставке и выплатами по полугодиям
Подставляя известные параметры в формулу суммы арифметической прогрессии, получаем формулу для современной величины такого потока платежей:
|
| (14) |
2.2. Смешанные ренты
Смешанные ренты - ренты, по которым в пределах года проценты начисляются по ставке простых процентов, а за отдельные периоды - по ставке сложных процентов.
Пусть R - годовой член ренты, Sсмеш = Sгод 
- по периодам, в свою очередь
|
|
.Для вычисления общего наращения смешанной ренты наиболее характерно ежегодное начисление процентов m = 1.
| Sсмеш = Sгод |
.2.3. Вечные ренты
Число членов ренты (n® ¥) стремится к бесконечности. Наращение ренты при любых параметрах - бесконечно большая величина, поэтому расчет данной характеристики нецелесообразен.
Современная же величина имеет вполне конкретное значение и является вполне конкретной характеристикой в ряде финансовых расчетов:
- при замене некоторых потоков платежей с большой протяженностью единовременным платежом;
- оценке финансовых инвестиций;
- в страховых расчетах.
Начисление процентов 1 раз и m раз в году
| A¥ = R | |
| т.к. | |
| A¥ = R | |
| Т.к |
= R / i,
,
,
Начисление процентов m раз в году и выплате р раз в год
| A¥ = | () |
2.4. Непрерывные ренты
2.4.1. Ренты с непрерывным начислением процентов
Наращение определяется по формуле наращения с применением силы роста. Полученный ряд представляет собой геометрическую прогрессию:
| R, Red, Re2d, ... Re(n-1)d, |
Первый член ряда a1 = R или Ra, знаменатель прогрессии q = ed или q = ed/p
|
| (15) |
или
,Современная величина рассчитывается по методу математического дисконтирования
| R, Re-d, Re-2d, ... Re-(n-1)d |
Первый член ряда a1 = R или Ra, знаменатель прогрессии q = e-d или q = = e-d/p
|
| (16) |
или
.2.4.2. Ренты с непрерывными выплатами
До этого мы рассматривали дискретные выплаты, т.е. выплаты через фиксированные промежутки времени. В некоторых практических ситуациях можно рассматривать платежи как непрерывный процесс (отдача от инвестиций поступает так часто, что процесс можно считать непрерывным) p®¥
| A = R |
. Так как 
- неопределенность типа 
, то ее можно раскрыть по правилу Лопиталя, которое гласит, что если отношение функций 
стремится к пределу, то и отношение их производных 
стремится к тому же пределу.
| f (p) = 1/p | j (p) = [(1 + i)1/p - 1] - сложная функция |
| f ’(p) = - 1/ p2 | j’(p) = [(1 + i)u - 1] ’ u’, где u = 1/p [(1+i)u - 1] ’ = (1 + i)1/p ln (1 + i) u’ = -1/p2 |
| f ’(x) / j’(x) = 1/ (1 + i)1/p ln(1 + i) lim [f ’(x) / j’(x)] = lim [f (x) / j (x)] = 1 / ln (1 + i), откуда | |
|
|
и 
.2.4.3. Ренты с непрерывным начислением процентов и выплатами
По принципу финансовой эквивалентности сила роста d и процентная ставка i соотносятся как d = ln (1 + i) и i = ed - 1. Принимая это во внимание, мы можем провести замену одной ставки, на ее эквивалентное выражение:
|
| (17) |
и
2.5. Отложенные ренты
Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Сдвиг во времени не отражается на наращенной сумме. Иное дело - современная величина.
 |
Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени (рис.13).
Рисунок 13 – Отложенная обыкновенная постоянная рента
| tA = Avt = R an,i vt, | (18) |
где A - современная величина обыкновенной ренты;
v - дисконтный множитель по ставке i.
2.6. Задачи определения размера платежа, срока и процентной ставки
При разработке условий контрактов и в ряде задач финансового анализа, например, при погашении задолженности, изменении условий контракта и т.п., заданной является одна из двух характеристик: современная величина или наращение и требуется найти остальные параметры: размер платежа, срок ренты, уровень процентной ставки.
Задача определения размера платежа решается в зависимости от заданных исходных данных. Существует два варианта расчета размера платежа. Если известным является наращение потока платежей, то размер разового платежа определяется как
|
|
.Если известной является современная величина потока платежей, то размер разового платежа определяется как
|
|
.Срок ренты (и соответственно число платежей) может быть определен по основным характеристикам ренты (наращению или современной величине), величине процентной ставки и размеру члена ренты.
|
| |
| откуда |
,
.Расчетная величина ставки процента имеет значение в финансово-экономическом анализе, например, при оценке эффективности различных операций, с которыми связаны периодические выплаты.
Процентную ставку i по заданным характеристикам ренты рассчитывают с помощью интерполяционных формул или какого-либо итерационного метода (Ньютона - Рафсона и др.)
Рекомендация для Вас - 8 Способы литья.
На первом этапе подбираются такие значения i1 и i2, при которых функция S(i)=R
в интервале (i1; i2) меняла знак на противоположный.
Далее применяют формулу:
| i = i1+ | (19) |
.Точность вычислений обратно пропорциональна длине интервала (i1; i2).
[1] Сумма n членов ряда арифметической прогрессии рассчитывается по формуле
