Постоянные потоки платежей
ГЛАВА 1. Постоянные потоки платежей
Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений.
Получение и погашение долгосрочного кредита, денежные показатели инвестиционного процесса и т.д. можно представить в виде последовательностей (рядов) выплат и поступлений - потока платежей.
Член потока платежей - величина каждого отдельного платежа потока.
Период потока платежей - временной интервал между платежами.
Срок потока - весь временной интервал от начала потока до конца последнего периода.
Члены потока платежей могут быть положительными и отрицательными, постоянными или изменяться по какому-либо закону или произвольно. Классификация потоков платежей приведена на рисунке 1.
Среди потоков платежей выделяют финансовые ренты (аннуитеты), которые характеризуются тем, что все периоды одинаковы, и все члены потока имеют один знак.
В подавляющем числе практических случаев количественный финансово-экономический анализ потоков платежей предполагает расчет двух обобщающих эти потоки характеристик:
- Наращение - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока (общая сумма задолженности, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв).
Рекомендуемые материалы
- Современная величина - это сумма дисконтированных на начало потока всех членов этого потока (приведенные издержки, капитализированный доход, чистая приведенная прибыль).
Эти показатели представляют поток платежей за весь срок их выплат с учетом моментов времени, когда они выплачиваются, в виде одного числа.
На основе этих характеристик разрабатываются планы погашения задолженности, сравниваются или безубыточно изменяются условия контрактов, оценивается степень эффективности инвестиций.
Рисунок 1 – Классификация потоков платежей
Основные задачи анализа потоков платежей:
- определение наращения и современной величины;
- определение размера разового платежа потока;
- определение срока потока;
- определение процентной ставки;
Для регулярных потоков платежей (постоянных и переменных рент с заданными законами изменения членов ренты) для сокращения трудоемкости работ получены формулы определения наращения и современной величины, учитывающие особенности соответствующих рядов.
1.1. Обыкновенные постоянные ренты
1.1.1. Наращение обыкновенной постоянной ренты
 |
Пусть заданы следующие параметры потока платежей: R - годовой член ренты, ставка i, срок ренты n. Необходимо найти наращение S (рис. 2). Вывод формул основывается на принципе начислении сложных процентов.
Рисунок 2 – Обыкновенная постоянная рента с ежегодным начислением процентом и выплатами раз в год
Платежи с начисленными на них процентами к концу срока образуют ряд:
| R(1 + i)3=n-1; R(1 + i)2; R(1 + i)1; R |
Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой возрастающую геометрическую прогрессию, где первый член a1 = R, знаменатель прогрессии q = 1 + i. Сумма этого ряда рассчитывается по формуле[1] и является наращением обыкновенной постоянной ренты.
|
| (1) |
В общем случае
|
| (2) |
,где 
- коэффициент наращения, который показывает, во сколько раз наращение больше отдельного члена ренты.
В данном случае 
.
Если проценты начисляются m раз в году, а выплаты происходят 1 раз в год, то используется формула начисления сложных процентов S = P(1+j/m )mn. Первый член ряда a1 = R, знаменатель прогрессии 
. Откуда
|
| (3) |
, где 
- коэффициент наращения обыкновенной постоянной ренты с параметрами m и p=1.
Пусть заданы годовой платеж R, ставка i, срок ренты n и p - количество выплат взносов в год. Задача - найти наращение S (рис.3). Разовый платеж Ra= R / p, общее количество платежей N = np.
 |
Рисунок 3 – Обыкновенная постоянная рента с ежегодным начислением процентов и выплатами 2 раза в год
Платежи с начисленными на них процентами к концу срока образуют ряд:
|
|
; 
; 
; 
.Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой возрастающую геометрическую прогрессию, где первый член ряда a1 = Ra, знаменатель прогрессии q =
. Сумма этого ряда равна
|
| (5) |
,где 
- коэффициент наращения обыкновенной постоянной ренты с параметрами n и p.
И, наконец, мы может рассмотреть самый общий вариант обыкновенной постоянной ренты, когда проценты начисляются m раз в году, а взносы выплачиваются p раз в году и при этом (m ¹ p) (рис.4).
Рисунок 4 – Обыкновенная постоянная рента с поквартальным начислением процентов и выплатами 2 раза в год
 |
Пусть разовый платеж равен Ra, m - количество начислений процентов в год, р - количество выплат в году, количество выплат за весь срок N = np. Графически данный поток платежей представлен на рис. 3.
Платежи с начисленными на них процентами к концу срока образуют ряд
|
|
; 
; 
; Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой возрастающую геометрическую прогрессию, где первый член a1 = Ra , знаменатель прогрессии q =
. Воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, получаем
|
| (6) |
,где 
- коэффициент наращения обыкновенной постоянной ренты с параметрами mn и p.
1.1.2. Современная величина обыкновенной постоянной ренты
Для расчета современной величины обыкновенной постоянной ренты воспользуемся математическим дисконтированием величины S = P(1 + i)n, откуда современная величина равна A = P = S(1 + i)-n.
 |
Пусть заданы годовой платеж R, срок потока платежей n, годовая процентная ставка i. Задача – найти современную величину этого потока платежей (рис. 5).
Рисунок 5 – Обыкновенная постоянная рента годовым начислением и выплатами процентов
Платежи, приведенные по процентной ставке, к началу ренты образуют ряд:
| R(1 + i)-4; R(1 + i)-3; R(1 + i)-2; R(1 + i)-1. |
Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой убывающую геометрическую прогрессию, где первый член a1 = R(1 + i)-1, знаменатель прогрессии q = (1 + i)-1. Сумма этого ряда рассчитывается по соответствующей формуле[2] и является современной величиной обыкновенной постоянной ренты:
|
| (7) |
,где 
- коэффициент приведения, который отражает, во сколько раз современная величина больше отдельного члена ренты.
Если проценты начисляются m раз в году, а выплаты происходят 1 раз в год, то используется формула дисконтирования A = P(1 + j/m )-mn. Первый член этого ряда a1 = R(1 + j/m)-m, знаменатель прогрессии q = (1 + j/m)-m. Откуда
|
| (8) |
,где 
- коэффициент приведения обыкновенной ренты с параметрами mn и выплатами раз в год.
Далее рассмотрим вариант, когда определен годовой член ренты R, ставка i, срок ренты n, проценты начисляются раз в году, а количество выплат взносов в год равно p. Разовый платеж Ra = R / p, общее количество платежей N = np. Необходимо найти современную величину А (рис. 6).
 |
Рисунок 6 – Обыкновенная постоянная рента с ежегодным начислением процентов и выплатой процентов по полугодиям
Приведенные по сложной процентной ставке платежи образуют ряд:
|
|
; 
; 
; 
.Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой убывающую геометрическую прогрессию, где первый член a1 = Ra (1 + i)-1/p, знаменатель прогрессии q =
.
|
| (9) |
,где 
- коэффициент приведения обыкновенной постоянной ренты соответствующего вида.
Ну и наконец, рассмотрим вариант, когда проценты начисляются несколько раз в год, взносы выплачиваются также несколько раз в год и при этом m¹p. Пусть определены: годовой член ренты R, номинальная ставка j, срок ренты n, p - количество выплат взносов в год, m - количество начислений процентов в год. Разовый платеж Ra = R/p, общее количество платежей N = np. Необходимо найти современную величину такого потока платежей A (рис.7).
 |
Рисунок 7 – Обыкновенная постоянная рента с начислением процентов поквартально и выплатой процентов по полугодиям
Первый член ряда дисконтированных разовых платежей a1 = Ra (1+j/m)-m/p, знаменатель прогрессии q = 
. Сумма ряда дает нам оценку современной величины потока платежей.
|
| (10) |
,где 
- коэффициент приведения обыкновенной постоянной ренты соответствующего вида.
1.2. Ренты с выплатой в начале и середине периода
До этого момента проводился анализ обыкновенных дискретных рент с различным количеством выплат (р-срочные ренты) и методами начисления процентов (m раз в году). Предусматривалось также, что указанные ренты ограничены во времени.
В финансовых расчетах на практике встречаются и другие виды потоков платежей с теми же основными задачами анализа.
1.2.1. Ренты с выплатой членов ренты в начале периода
Общее число членов ренты равно членам обыкновенной ренты, но каждый член ренты «работает» на один период больше, чем у обыкновенной ренты рис.8).
Рисунок 8 – Постоянная рента пренумерандо
При расчете наращения такого потока платежи с начисленными на них процентами к концу срока ренты образуют ряд:
| R(1 + i)4; R(1 + i)3; R(1 + i)2; R(1 + i)1. |
Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член a1 = R(1 + i), знаменатель прогрессии q =(1 + i).
При расчете современной величины платежи, приведенные на начало ренты по сложной процентной ставке, образуют ряд:
| R(1 + i)-3; R(1 + i)-2; R(1 + i)-1; R. |
Если переписать его в обратном порядке, то он представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член a1 = R, знаменатель прогрессии q=(1 + i)-1.
| Наращение | Современная величина |
| Sпрен = S(1 + i) | Aпрен = A(1 + i) |
| Sпрен = S(1 + j/m)m | Aпрен = A(1 +j/m)m |
| Sпрен = S(1 + j/m)m/p | Aпрен = A(1 +j/m)m/p |
1.2.2. Ренты с выплатами в середине периода
Общее число членов ренты равно членам обыкновенной ренты, но каждый член ренты «работает» на половину периода больше, чем у обыкновенной ренты (рис.9).
Рисунок 9 – Постоянная рента с выплатами в середине периода
| Наращение | Современная величина |
| S1/2 = S(1 + i)1/2 | A1/2 = A(1 + i)1/2 |
| Рекомендуем посмотреть лекцию "28 Уставный капитал и акции общества". S1/2 = S(1 +j/m)m/2 | A1/2 = A(1 +j/m)m/2 |
| S1/2 = S(1 + j/m)m/2p | A1/2 = A(1 + j/m)m/2p |
[1] Сумма n членов ряда геометрической прогрессии рассчитывается по формуле
[2] Сумма n членов ряда убывающей прогрессии рассчитывается по формуле
