Применение частных производных
Лекция 7. Применение частных производных: задачи на экстремум
Задачи на экстремум имеют большое значение в экономике. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. (примеры 26, 27).
Теория нахождения экстремумов функций нескольких переменных излагается в базовом курсе математики. Напомним основные моменты.
Частная производная функции по аргументу, например, х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении у.
Точка , в которой для дифференцируемой функции выполняется условие (необходимое условие существования локального экстремума):
,
называется критической точкой возможного экстремума или стационарной точкой.
Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть в точке и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные функции непрерывны. Тогда, если
,
Рекомендуемые материалы
то функция имеет в точке М0 локальный экстремум: минимум при и максимум при . Если , то данная функция не имеет локального экстремума в точке М0. Также дальше приводится задача на нахождение условного экстремума методом Лагранжа (пример 28).
Пример 26. Небольшая фирма производит два вида товаров G1 и G2 и продает их по цене 1000 и 800 соответственно. Функция затрат (издержек) имеет вид:
,
где Q1 и Q2 обозначают объёмы выпуска соответственно товаров G1 и G2.
Требуется найти такие значения Q1 и Q2, при которых прибыль, получаемая фирмой, максимальна.
Поскольку фирма небольшая, она не может монопольно устанавливать цены и вынуждена ориентироваться на рыночные цены, которые не зависят от объёмов производства Q1 и Q2 (эти объёмы слишком малы). Поэтому суммарный доход от продажи товаров G1 и G2
Прибыль p представляет собой разницу между доходом R и затратами C, поэтому
,
или
.
Эта и есть та самая функция двух переменных, максимум которой следует найти, т.е. решить задачу оптимизации.
Для того, чтобы найти стационарные точки, вычисляем частные производные первого порядка
и приравниваем их к нулю, что дает систему двух уравнений с двумя неизвестными
Решение этой системы и даст нам координаты стационарной точки. Вычитая из первого уравнения почленно второе, получаем
или
.
Подставляя полученное значение в первое уравнение, находим
.
Таким образом, стационарная точка имеет координаты
.
Остается выяснить вопрос: имеем ли мы в стационарной точке максимум, минимум или не имеем ни того, ни другого. Для решения вычисляем частные производные второго порядка
и оставляем выражение
Кроме того,
.
Поэтому в стационарной точке имеет место максимум. Подставляя координаты стационарной точки в функцию прибыли
.
Это и есть величина максимальной прибыли, которая достигается при объёмах производства Q1=100; Q2=300, что завершает решение задачи.
Учитывая актуальность получения максимальной прибыли при любой предпринимательской деятельности, разберем следующую задачу.
Пример 27. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке, а другую часть поставляет на экспорт. Связь цены товара q1 и его количества р1, проданного на внутреннем рынке, описывается кривой спроса с уравнением:
Аналогично для экспорта цена р2 и количество q2, также связаны соотношением (уравнением кривой спроса)
Суммарные затраты даются выражением
.
Спрашивается какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была максимальна.
Прежде всего необходимо определить доход фирмы, который складывается из двух частей: продаж на внутреннем рынке
и экспортных поставок
(в обоих случаях цена берется из соответствующих кривых спроса).
Поэтому суммарный доход
Теперь можно легко найти получаемую фирмой прибыль
Эта функция двух переменных, нахождение максимума которой и решает задачу оптимизации.
Вычисляем частные производные первого порядка
Приравнивая их к нулю, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
В данном случае система решается тривиально
,
и мы получили координаты единственной стационарной точки.
Далее вычисляем частные производные второго порядка
и проверяем знак выражения
Отсюда заключаем, что в стационарной точке (240,340/3) имеет место максимум.
Для того чтобы ответить на вопрос об оптимальной ценовой политике фирмы, подставляем координаты точки максимума в кривые спроса:
Это и есть оптимальные цены для продажи на внутреннем рынке и по экспорту.
Нам осталось подсчитать максимальную прибыль при оптимальных объёмах продаж на внутреннем и внешнем рынках. Подставляя полученные значения q1 и q2 (координаты стационарной точки) в функцию прибыли, легко находим эту прибыль
.
Пример 28. Фирма-монополист производит два вида товаров G1 и G2 в количестве q1 и q2 соответственно. Функция затрат имеет вид:
а кривые для спроса для каждого товара:
где р1 и р2 – цена единицы соответственно товаров G1 и G2. Кроме того, фирма связана ограничением на общий объём производства товаров G1 и G2, её квота составляет 15 единиц, т.е.
q1+q2=15.
Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.
Решение задачи начнем с построения целевой функции, в данном случае прибыли, которая определяется как разница между доходами и затратами:
Для дохода от продажи товара G1 имеем:
где выражение для р1 берется из кривой спроса товара G1. Аналогично доход от продажи товара G2:
Очевидно, что суммарный доход будет
.
Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая функция) имеет вид:
Переписав ограничение в виде
получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума). Для её решения применим метод Лагранжа.
Строим вспомогательную функцию
Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:
Мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными. Представляем её в виде
и решаем методом исключения. Для этого складываем первое и втрое уравнения, что дает
Информация в лекции "Взаимоотношения христианства и язычества" поможет Вам.
Подставляя в первое уравнение полученное значение, получаем
т.е. систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая её, легко находим
q1=10; q2=5.
Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объём продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет