Элементы векторной оптимизации

Элементы векторной оптимизации.

Экономика благосостояния является частью экономической теории, исследующей рекомендации экономической политики.

В экономике благосостояния рассматриваются в основном вопросы экономической политики , которые возникают при распределение ресурсов: при распределение ресурсов на производство товаров и  при распределение товаров между различными потребителями.

Проблема распределения ресурсов является проблемой общего равновесия.

Целью экономики благосостояния является создание такой экономической системы, в которой все потребители равномерно достигают максимальной своей полезности.

Нахождение решения в такой ситуации - векторная оптимизация, основоположником которой является Вильфредо Паретто (1848-1932).

Постановка задачи.

Пусть поведение каждого потребителя или производителя описывается целевой функцией  и каждый из них стремиться достичь максимизации целевой функции  и пусть   товары (ресурсы), которые имеются в данной экономической системе.

Рекомендуемые материалы

  номенклатура .

Критерий эффективности - векторный критерий. 

Пусть функциональная взаимосвязь переменных определяется соотношением:

Задача векторной оптимизации:

          (1)

Задача 1,2,3, - называется   векторной (многокритериальной ) задачей математического программирования. В общем случае полагается, что

F(x) - вогнутая

g(x)-  выпуклая

R

Тогда имеем решение задачи 1,2,3, по каждой компоненте

Оптимальность (эффективность) по Парето.

Определение: В векторной задаче 1-3 точка  - называется оптимальной по Парето, если не существует другой такой точки х^/ , для которой выполнялось бы :

p ( R ) - множество точек оптимальных по Парето.

Парето рассмотрел частный случай функции 1, как аддитивную функцию частных критериев. Он ввел понятие весовых коэффициентов: каждому критерию  он поставил в соответствие

Тогда задачу 1-3  можно переформулировать

         (4)

(4)  свертка критериев

(4)- однокритериальная задача математического программирования, если все функции линейные , то это будет задача линейного программирования.

Оптимальность по Слейтеру.

Определение : точка  оптимальна по Слейтеру ( слабо эффективной или полу эффективной), если не существует х^/   при которой

Вам также может быть полезна лекция "5. Социокультурный образ организации".

p ( s)  - множество оптимальных стратегий.

Замечание: Оптимальность по Парето означает, что если бы каждый из потребителей максимизировал свою целевую функцию независимо от других, то ее значение было бы больше , чем значение по Парето - оптимальной точки для одних потребителей, и меньше - для других.

Для получения по Парето оптимального решения необходимо экономическое управление: цены , тарифы, налоги, и т.п.

Замечание: Проблема нахождения решения задачи векторной оптимизации в общем случае не решена. Если множество R известно и является дискретным, то задача векторной оптимизации рассматривается в теории  выбора решений.

Если же множество R  не определено , то решение находится методами теории игр с не противоположными интересами. По сути оптимальность по Парето есть компромисс. В теории игр такое решение называют компромиссным.