Гамма-распределение

2. Гамма-распределение

Гамма-распределение представляет непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси  распределение вероятно­стей с плотностью

,

где  — параметр, принимающий положительные значения, и  — гамма-функция Эйлера

.

Соответствующая функция распределения при  равна нулю, а при  выражается формулой

.

Интеграл в правой части называется неполной гамма-функцией. Плотность  унимодальна и при  достигает мак­симума  в точке . При  плотность  с ростом  монотонно убывает, причём если , то  неограниченно возрастает. Характеристическая функция гамма-распределения имеет вид

.

Рекомендуемые материалы

Моменты гамма-распределения выражаются формулой

Рекомендуем посмотреть лекцию "Микрофлора колбасных изделий".

, ;

в частности, математическое ожидание и дисперсия равны . Гамма-распределение замкнуто относительно операции свёртки:

.

Гамма-распределения играют не всегда явную, но значительную роль в при­ложениях. В частном случае  получается показательная плотность. В теории массового обслуживания гамма-распределение при , принимающем целочисленные значения, называется распределе­нием Эрланга. В математической статистике гамма-распределения часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, так как сумма квадратов  взаимно независимых (0,1) нормально распределённых случайных величин имеет плотность  и называется хи-квадрат плотностью с  степенями свободы. Ввиду этого с гамма-распределением связаны многие важ­ные распределения в задачах математической статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распре­делённых случайных величин (например, Стьюдента распределение, Фишера -распределение и Фишера -распределение). Если  и  независимы и распределены с плотностями  и , то случайная величина  имеет плотность

, ,

которая называется плотностью бета-распределения. Плотно­сти линейных функций  от случайных величин X, подчи­няющихся гамма-распределению, составляют специальный класс распределе­ний — т. н. тип III распределений семейства Пирсона. Плот­ность гамма-распределения является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции гамма-распределения можно вычис­лить по таблицам неполной гамма-функции.