Прогнозирование на основе моделей временных рядов

Лекция 15 Тема: Динамический ряд.

3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

4. Понятие об авторегрессионых моделях и моделях скользящей средней.

Вопрос 3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов (продолжение).

Пример метода прогнозирования.

На основе уравнения тренда дается точечная оценка прогноза. Однако более надежный прогноз предполагает оценку его в интерва­ле, ибо полное совпадение фактического и прогнозируемого уровней динамического ряда (у_t и у_p) маловероятно. Даже если выбор формы уравнения тренда удачен, фактическая реализация события может отличаться от прогнозируемой, ибо тренд характеризует лишь тенден­цию, а уровни временного ряда содержат также случайную компоненту (ε), то есть y_t =f(t,ε). Наличие ее, а также возможная ошибка па­раметров тренда, оцениваемых по ограниченному числу наблюдений, учитываются в доверительном интервале прогноза.

В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит пока­затель колеблемости уровней динамического ряда относительно трен­да (S_y). Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности. Колеблемость уровней ди­намического ряда относительно тренда определяется формулой:

                                                                                   (1)

где y_t, - фактические уровни динамического ряда; ŷ_t – расчетные зна­чения уровней динамического ряда по уравнению тренда; n – длина динамического ряда; т – число параметров в уравнении тренда (без свободного члена).

Рекомендуемые материалы

Доверительный интервал для тренда определяется следующим неравенством:

ŷ_t ± t_a · S_y                                                                      (2)

где t_a- табличное значение критерия Стьюдента.

         Вопрос 4. Понятие об авторегрессионых моделях и моделях скользящей средней.

Модели авторегрессии – это модели, в которых в ка­честве факторных переменных содержатся лаговые зна­чения результативной переменной. Например,

у_t =a + b₀·x_t+c₁·y_t-1+u_t                               (3)

Коэффициент регрессии b₀ в данной модели характе­ризует краткосрочное изменение у под влиянием измене­ния х на единицу своего измерения.

Коэффициент с₁ характеризует изменение у в момент t под воздействием своего изменения в предшествующий момент времени t-1.

Произведение коэффициентов b₀·x₁ называют проме­жуточным мультипликатором. Данный показатель харак­теризует общее абсолютное изменение результата у в мо­мент t+1.

Показатель

b = b₀ + b₀·c₁ + b₀·c₁² + b_o·c₁³ +...                      (4)

называют долгосрочным мультипликатором. Он характе­ризует общее абсолютное изменение у в долгосрочном периоде.

Практически во все модели авторегрессии вводят ус­ловие стабильности, состоящее в том, что |с₁| < 1. Тогда при наличии бесконечного лага

b = b₀+b₀·c₁+b₀·c₁²+b₀·c₁³+...= b₀ / (1 - c₁)                           (5)

Применение МНК к моделям авторегрессии неприем­лемо, так как нарушается 1-я предпосылка нормальной линейной модели регрессии, а именно, одна из объясня­ющих переменных y_t-l частично зависит от случайной со­ставляющей u_t. Это приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной y_t-1.

Для оценивания параметров уравнения регрессии ис­пользуют метод инструментальных переменных. Суть метода состоит в следующем. Переменную y_t-l из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяют новой переменной, удовлетворяющей тре­бованиям:

• она должна тесно коррелировать с y_t-1;

• она не должна коррелировать со случайной составляющей u_t.

Затем оценивают регрессию с новой инструменталь­ной переменной с помощью обычного МНК.

Понятие о скользящей средней.

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях одним для определения тенденции развития явления используют скользящие средние.

Метод скользящих средних основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам вы­бранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения откло­нений ряда.

Действительно, если индивидуальный разброс зна­чений члена временного ряда у, около своего среднего значения а характеризуется дисперсией σ², то разброс средней из m членов временного ряда  около того же значения а будет характеризоваться существенно мень­шей величиной дисперсии, равной . Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с неко­торыми весами), медиана и др.

Пример. Провести сглаживание временного ряда y_t по данным таблицы 1 методом скользящих средних, используя про­стую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.

Решение. Скользящие средние находим по формуле:

Таблица 1

Данные и решение

Например, , и т.д.