Динамический ряд
Лекция 12. Тема: Динамический ряд.
1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа.
2. Стационарные временные ряды и их характеристики.
Автокорреляционная функция.
Вопрос 1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа.
Временным рядом называется ряд наблюдений x(t1), x(t2),…,x(tN) анализируемой случайной величины β(t), проведенных в последовательные моменты времени t1,t2,…,tN.
Классифицируя факторы, под воздействием которых формируются значения элементов временного ряда, выделяют следующие четыре типа.
1) долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака x(t). Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции fmp(t), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или трендом.
2) сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Будем обозначать результат действия сезонных факторов с помощью неслучайной функции. Поскольку эта функция должна быть периодической (с периодами кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.
Рекомендуемые материалы
3) Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографичес:волны Кондратьева, демографической или астрофизической природы Шие «ямы», циклы солнечной активности и т.п.). Результат действия циклических факторов.
4) Случайные (нерегулярные) – не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов x(t), а, следовательно, и необходимость интерпретации x(t1), x(t2),…,x(tN) как наблюдений, произведенных над случайными величинами, соответственно, x(1),x(2),...,x(N).
Случайные факторы, в свою очередь, могут приводить к последствиям двух видов: внезапным («разладочными»), приводящим к скачкообразным структурным изменениям.
Обычно случайные факторы – это эволюционные остаточные факторы. Разладочные факторы меняют параметры модели, а иногда и саму модель.
Поэтому при оценке модели там не должно быть разладочных случайных факторов.
Таким образом, на временной ряд могут оказывать влияние долговременные, сезонные, циклические и случайные факторы. Случайные факторы присутствуют всегда, остальные - не во всяком временном ряду.
Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений x(t), могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи (то есть быть априорно-экспертными по своей природе), так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда.
Аналитическое выравнивание и кривые роста.
При наличии тенденции в ряду динамики его уровни можно рассматривать как функцию времени (t) и случайной компоненты (ε).
В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов предлагают достаточно широкий набор математических функций для построения уравнения тренда. Наиболее часто используются полиномы K-й степени, экспоненты, различного рода кривые с насыщением.
В общем виде полином K-й степени представляет собой выражение:
у = а0 +alt + a2t2+...+aktk (1)
При К= 1 получаем линейный тренд:
ŷ = а0 +a1t (2)
По содержанию линейный тренд означает, что уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью. В этом можно убедиться, если в уравнение линейного тренда ŷ = а0 +a1∙t подставить порядковые значения t.
| t | ŷ = а0 +a1∙t | Δ |
| 0 | a0 | - |
| 1 | a0 + a1 | a1 |
| 2 | a0 + 2a1 | a1 |
| 3 | a0 + 3a1 | a1 |
| 4 | a0 + 4a1 | a1 |
Параметр а0 означает начальный уровень тренда при t = 0. Параметр а1 характеризует средний абсолютный прирост в единицу времени t.
В линейном тренде уровни динамического ряда изменяются в арифметической прогрессии. Это означает, что при прогнозировании по линейному тренду предполагаются падающие темпы роста уровня временного ряда.
При К=2 получаем параболу второй степени: ŷt =a0 +alt + a2t2. Данная функция рекомендуется для прогнозирования, если ряд характеризуется стабильным абсолютным ускорением, то есть постоянными являются вторые разности (приросты абсолютных приростов).
Убедимся в этом, подставив в уравнение параболы второй степени порядковые значения t:
Разобрать самостоятельно и вывести Δ для
1. ŷt =a0 +al∙t + a2∙t2+ a3∙t3 (Δ`` = 6a3)
2. ŷt =a·bt (коэффициент роста = b)
| t | ŷt =a0 +al∙t + a2∙t2 | Δ | Δ` |
| 0 | a0 | - | - |
| 1 | a0 + a1+ a2 | a1+ a2 | 2∙a2 |
| 2 | a0 + 2∙a1+ 4∙a2 | a1+ 3∙a2 | 2∙a2 |
| 3 | a0 + 3∙a1+ 9∙a2 | a1+ 5∙a2 | 2∙a2 |
| 4 | a0 + 4∙a1+ 16∙a2 | a1+ 7∙a2 | 2∙a2 |
| 5 | a0 + 5∙a1+ 25∙a2 | a1+ 9∙a2 | 2∙a2 |
Применяя метод наименьших квадратов к линейной, параболической, кубической, показательной, логарифмической, гиперболической и другим функциям, имеем
а) Уравнение линейного тренда имеет следующий вид:
у = а + b ∙ x (3)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(4)
где n – количество месяцев.
б) Уравнение параболического тренда имеет следующий вид:
у = а + b ∙ x + с ∙ х2 (5)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a, b и с следующая:
(6)
где n – количество месяцев.
в) Уравнение тренда кубической параболы имеет следующий вид:
у = а + b ∙ x + с ∙ х2 + d ∙ х3 (7)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a, b, с и d следующая:
(8)
где n – количество месяцев.
г) Уравнение тренда показательной функции имеет следующий вид:
у = а · bx (9)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(10)
где n – количество месяцев.
д) уравнение тренда логарифмической параболы имеет следующий вид:
(11)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(12)
где n – количество месяцев.
е) Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b уравнения тренда функции
у = а + b · ln(x) (13)
имеет следующий вид:
(14)
где n – количество месяцев.
ж) Уравнение равносторонней гиперболы имеет следующий вид:
у = а + b/x (15)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(16)
где n – количество месяцев.
з) Уравнение неравносторонней гиперболы имеет следующий вид:
(17)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(18)
где n – количество месяцев.
и) Уравнение неравносторонней гиперболы имеет следующий вид:
(19)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a и b следующая:
(20)
где n – количество месяцев.
к) ряд Фурье (в случае одной гармоники) имеет следующий вид:
6 Смысл истории и проблемы исторического познания - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
уx = a0 + a1 · cos(x) + b1 · sin(x) (21)
Система линейных уравнений для нахождения параметров a, b и с следующая:
(22)
Вопрос 2. Стационарные временные ряды и их характеристики.
Автокорреляционная функция.
Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков ε(t) анализируемого временного ряда x(t), производят, как правило, в рамках некоторого специального класса случайных временных последовательностей – класса стационарных временных рядов. На интуитивном уровне стационарность временного ряда мы связываем с требованием, чтобы он имел постоянное среднее значение и колебался вокруг этого среднего с постоянной дисперсией. В некоторых случаях временные последовательности этого класса могут воспроизводить и поведение самого анализируемого временного ряда x(t).
