Гетероскедастичность

Лекция 11. Тема: Гетероскедастичность.

1. Сущность гетероскедастичности.

2. Способы корректировки гетероскедастичности.

Вопрос 1. Сущность гетероскедастичности.

Одной из предпосылок регрессионного анализа является пред­положение о постоянстве дисперсии случайного члена для всех наблюдений. Это значит, что для каждо­го значения объясняющей переменной случайные члены имеют оди­наковые дисперсии. Если это условие не соблюдается, то имеет ме­сто гетероскедастичность.

В ряде случаев, зная характер данных, появление про­блемы гетероскедастичности можно предвидеть и попы­таться устранить этот недостаток еще на этапе специфи­кации модели регрессии. Однако значительно чаще эту проблему приходится решать после построения уравне­ния регрессии.

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкрет­ном случае является довольно сложной задачей, так как для знания дисперсий отклонений необходимо знать рас­пределение у_i, соответствующее выбранному значению х_i. На практике часто для каждого конкретного значения x_i определяется единственное значение у_i что не позволяет оценить дисперсию σ_y.

Естественно, не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для такой проверки разработано довольно большое число те­стов и критериев для них.

Сегодня предложено большое количество тестов и способов для обнаружения гетероскедастичности, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющей переменной (или объясняющих переменных). Это, напри­мер, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка и т.д.

Рекомендуемые материалы

Вопрос 2. Способы корректировки гетероскедастичности.

Тест ранговой корреляции Спирмена.

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений e_i и значения x_i будут коррелированы.

Значения x_i и e_i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

                               (1)

где d_i – разность между рангами x_i и е_i, i = 1,2, ..., n; n – число наблюдений.

Если коэффициент корреляции r_х,_е для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

                                (2)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свобо­ды v = n - 2.

Далее, если наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное, то необходимо откло­нить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреля­ции r_х,_е, а, следовательно, и об отсутствии гетероскедас­тичности.

Если в модели регрессии больше чем одна объясняющая переменная, то проверка гипотезы может осуществлять­ся с помощью t-статистики для каждой из них отдельно.

Тест Парка

Парк предложил критерий определения гетероскедастичности, дополняющий графический метод некоторы­ми формальными зависимостями.

Предполагается, что дисперсия

                                                 (3)

является функцией i-o значения x_i объясняющей пере­менной. Парк предложил следующую функциональную зависимость:

                                           (4)

Прологарифмировав, получим:

                                                               (5)

Так как дисперсии  обычно неизвестны, то их заменя­ют оценками квадратов отклонений .

Критерий Парка включает следующие этапы:

1. Строится уравнение регрессии у_i =b₀ +b₁·x_i +e_i.

2. Для каждого наблюдения определяются .

3. Строится регрессия , где .

4. Проверяется статистическая значимость коэффи­циента β уравнения на основе t-статистики.

Если коэффициент β статистически значим, то это означает наличие связи между ln(e_i²) и ln(x_i), то есть гетероскедастичности в статистических данных.

Методы смягчения гетероскедастичности.

Обратите внимание на лекцию "1 Групповые конфликты".

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели. Вид преобразова­ния зависит от того, известны или нет дисперсии  от­клонений ε_i.

Будем считать, что модель гетероскедастична, то есть дис­персии отклонений (ε_i) не коррелированны.

При известных для каждого наблюдения значениях  применяют метод взвешенных наименьших квадра­тов (ВНК).

1. Значения каждой пары наблюдений делятся на известную величину σ_i. Тем самым, наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наиболь­шие веса, а с максимальными дисперсиями – наи­меньшие.

2. По МНК для преобразованных значений строит­ся уравнение регрессии без свободного члена.

Для применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий  отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. Следовательно, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях . Например, может ока­заться целесообразным предположить, что дисперсии  отклонений ε_i пропорциональны значениям х_i или зна­чениям х_i².