Наращение и дисконтирование с использованием схемы сложных процентов

Тема 3

Наращение и дисконтирование с использованием    схемы  сложных процентов

Если  инвестиция  сделана  на  условиях сложного процента, то  очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инве­сти­руемого капитала, а с общей суммы, которая включает также ранее начисленные, но не востребованные инвестором  проценты. В этом случае имеет место капитализация процентов по мере их начисления, так как база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

         Таким образом, на протяжении срока финансовой операции размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: ;

к концу второго года: ;

и так далее …

к концу  n-го года:                                      

Рекомендуемые материалы

Это равенство называется формулой наращения по сложным процентам; множитель  - множителем наращения сложных процентов;  - коэффициентом наращения.

Согласно формулы сложных процентов приращение капитала составит: 

.

Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых фор­мул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования составлены специальные таблицы для определения  в зависимо­сти от изменения значений r и n. В этом случае формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов трансформируется следую­щим образом:

где – мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя состоит в сле­дующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке r.

Рассмотренная формула предполагает, что  измеряется в го­дах, а является  годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и  процентной ставки. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то и в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка.

Как и в случае начисления простых процентов, финансовое со­глашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам.

Пусть  - следующие друг за другом временные пе­риоды и на период  установлена процентная ставка  Тогда, учи­тывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время  оп­ределяется по формуле:

 Обозначим  тогда формула для определения наращенной стоимости примет вид:     

Таким образом, в течение всего периода финансовой операции можно установить  сложную ставку , приводящую к такому же ре­зультату, как и с использованием переменных ставок.

Пример. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 40 тыс. грн. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 15% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,8% и на следующие годы маржа равна 0,9%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

 тыс.грн.

Такая же величина наращенной суммы получится, если в течение 6 лет проценты будут начисляться по средней процентной ставке за весь период финансовой операции.

 или 10,48%.

 тыс. грн.

Достаточно часто заключаются финансовые контракты, продолжительность которых отличается от целого числа лет.

В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих двух методов:

Ø по схеме сложных процентов:

Ø по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

где  w - целое число лет;

        f - дробная часть года.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере 50 тыс. грн. на 42 мес. под 16% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

         

 По схеме сложных процентов:

  тыс. грн

 По смешанной схеме:.

 тыс. грн.

Таким образом, в данном случае смешанная схема приводит к большей величине наращенной суммы.

При проведении финансовых операций важно знать, как соотносятся между собой величины сумм, наращенных по схеме простых и схеме сложных процентов.

Для ответа на этот вопрос сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним  и . Очевидно, что при  n=1 эти множители совпадают и равны 1+r. Для любых значений n справедливы следующие неравенства:

1) , если                     

2) , если

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

Ø более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

Ø более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

Ø обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

При заключении финансовых контрактов зачастую необходимо определить время, которое необходимо для увеличения первоначальной суммы PV в k  раз при заданной доходности r в случае использования схемы простых и схемы сложных процентов:

Ø для простых процентов из равенства  получаем :

Ø для  сложных процентов из равенства  получаем

Из этих формул можно, например, найти период, за который происходит удвоение капитала при заданной процентной ставке. Полагая k=2, соответственно получим:  для простых процентов, и .

В практических расчетах при заключении финансовой сделки для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки процентов при  реализации схемы сложных процентов зачастую пользуются приблизительным расчетом периода времени, необходимого для удвоения инвестируемой суммы. С этой целью используются несколько эмпирических приближенных формул:

Ø «правило 72». Суть правила заключается в том, что, если – r процентная ставка, выраженная в процентах, то n представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что, если в большинстве финансовых расчетов используется процентная ставка, выраженная десятичной дробью, то в алгоритме формулы «правило 72» ставка взята в процентах.

Ø «правило 69». Алгоритмом вычисления удвоенной суммы в данном случае является . Заметим, что, как и в предыдущем правиле, размер процентной ставки выражается в процентах.

При использовании этих правил необходимо помнить, что при их применении речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Например, если длительностью финансовой операции является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая процентная ставка.

Пример. Необходимо определить период времени, в течение которого исходный инвестированный капитал удвоится при процентной ставке, равной 17% годовых.

Ø «правило 72» : лет.

Ø «правило 69» :  года.

Ø точная формула:  года.

Как показывает практика, вышерассмотренные правила  хорошо срабатывают для небольших значений процентной ставки, где-то до 20%.

Внутригодовые процентные начисления.

В практике финансовых соглашений часто встречаются ситуации, когда капитализация процентов происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. Это может иметь место при заключении депозитных договоров, при  получении банковского кредита, в акционерных обществах при выплате дивидендов и т.п.

В этом случае формула для нахождения наращенного капитала за n лет при m –кратном начислении процентов в год имеет следующий вид:

где  n – количество лет финансовой операции;

       m – количество начислений процентов в год;     

        r – годовая процентная ставка.

        

Пример.

         В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. грн. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых.

 тыс. грн.

        

Пример. В условиях предыдущего примера проанализирвать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально.

 тыс. грн.

         Из приведенных примеров можно сделать два простых практических вывода:

         Ø при начислении сложных процентов 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц;

         Ø чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше накопленная  сумма.

         В зависимости от частоты начисления процентов, наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты начисленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового ин­тервала.

Что же касается темпа прироста накопленной суммы, то с ростом частоты начисления процентов она постепенно уменьшается.

         Пример.

         Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год, если исходная сумма равняется 1000 грн. а годовая процентная ставка 10%.

 

При заключении финансовых контрактов возможны случаи, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам и продолжительность общего периода действия кон­тракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также воз­можно использование двух схем:

Ø схема сложных процентов:

2) по смешанной схеме:             

где:    – годовая процентная ставка;      

-  количество начислений в году;

  - целое число подпериодов в  годах;

 –  дробная часть подпериода.

Пример.

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. грн. на 27 месяцев под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

Годовое начисление процентов.

Ø схема сложных процентов:  тыс. грн.

Ø смешанная схема:  тыс. грн.

         Полугодовое начисление процентов.

            В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Значит, решаем задачу с параметрами:

; ; ;

Ø схема сложных процентов:  тыс. грн.

Ø смешанная схема:  тыс. грн.

         Квартальное начисление процентов.

         В этом случае параметры задачи: ; ; , т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому обе схемы дают один и тот же результат:

 тыс. грн.

           

Определение срока ссуды и величины процентной ставки при использовании схемы сложных процентов.

Довольно часто в финансовой практике возникает необходимость рассчитать не только сумму денег, получаемую в результате начисления процентов, но и дополнительные параметры, связанные с этими расчетами, а именно: ставку прибыльности, время начисления процентов, количество раз начисления процентов в году.

Эти параметры легко выводятся из соответствующих формул для определения наращенной или приведенной суммы.

Мы помним, что будущая стоимость определяется по следующей формуле:  С помощью логарифмирования получим:

 или

Так как разница логарифмов двух чисел равняется логарифму частного от деления этих чисел, получаем формулу для определения срока финансовой операции в случае использования схемы сложных процентов:

 .

Пример. За какой период времени сумма в 75 тыс. грн. увеличится до 200 тыс. грн. при начислении процентов по сложной процентной ставке 15% годовых?

 лет или 7 лет и 6 дней.

Если необходимо определить срок финансовой операции при начислении сложных процентов m раз в году, то используется следующая формула:

Пример. За какой период времени первоначальный капитал в 50 тыс. грн. увеличится до 200 тыс. грн. , если на него ежеквартально будут начисляться сложные проценты по ставке 18% годовых?

 года.

Для определения величины процентной ставки воспользуемся формулой наращения по сложным процентам . Преобразуем ее следующим образом: , или , откуда

Если начисление  сложных процентов происходит  раз в году, то для определения величины процентной ставки следует воспользоваться формулой:

Пример. Вкладчик хотел бы в течение 5 лет увеличить свой капитал с 2 тыс. грн. до 7 тыс. грн. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода?

 или 26,7%.

Дисконтирование с помощью сложной процентной став   ки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, обычно исходят из того, является ли это вложение более прибыльным при допустимом уровне риска, чем вложения в государственные ценные бумаги. С этой целью анализируются будущие доходы предпринимателя при минимальном (безопасном) уровне доходности. Основная идея, при этом, заключается в оценке будущих поступлений FV с позиций текущего момента.

При определении объекта финансового вложения инвестор, обычно, руководствуется тем, что:

1) происходит перманентное обесценение денег (действие инфляции);

2) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может существенно отличаться от темпа инфляции;

3) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума.

Исходя из сказанного, следует, что инвестор должен оценить, каким будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Для такого анализа используется следующая формула:

,

где FV – доход, планируемый к получению в n – ом году;

PV – текущая (приведенная) стоимость, или оценка величины FV с позиций текущего момента;

r – годовая процентная ставка.

Из приведенной формулы следует, что для инвестора сумма PV в данный момент времени и сумма FV через n лет будут одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, которые ожидаются к поступлению в течение ряда лет.

Поскольку дисконтирование является одним из базовых процессов в финансовых взаимоотношениях, поэтому для определения приведенной стоимости планируемых в будущем доходов используются специальные таблицы, в которых PV определяется в зависимости от заданных значений r и n. В этом случае используется формула:

где:  - дисконтный множитель.

Дисконтный множитель FM2 (r, n) показывает сегодняшнюю цену одной денежной единицы будущего, то есть чему с позиций текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса, n периодов спустя от момента отсчета при заданной доходности и чистоте начисления процентов.

Значение дисконтного множителя убывает c сростом величины процентной ставки и длительности финансовой операции. Следовательно, при такого рода изменениях n и r,  величина приведенной стоимости уменьшается.

Если условиями финансовой операции предусмотрено m–кратное начисление процентов, то приведенная стоимость определяется по формуле:

Пример. Из какого капитала можно получить 4 тыс. грн. через 5 лет наращением сложных процентов по ставке 12% годовых, если наращение осуществляется: а) ежегодно; б) ежеквартально?

Ø ежегодное начисление процентов:

                                                 тыс. грн.

          Ø ежеквартальное начисление процентов:

 ты. грн.

Выполним по тем же данным расчет с помощью финансовых таблиц:

Ø ежегодное начисление процентов:

 тыс. грн. 

Ø ежеквартальное начисление процентов:

             тыс. грн.

Используя ранее рассмотренные формулы можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. В этом случае процентная ставка в дисконтном множителе устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Пример.

Что выгоднее: получить2,8 тыс. грн. через 3 года, или 2,9 тыс. грн. через 4 года, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 10% годовых?

Задача решается с позиции текущего момента.

 тыс. грн. .  тыс. грн.

Значит, с позиции текущего момента выгоднее получить 2,8 тыс. грн. через 3 года, т.к. 2,104 тыс. грн. больше, чем 1,981 тыс. грн.

Использование сложной учетной ставки в процессах наращения и дисконтирования по схеме сложных процентов.

Рассмотрим ситуацию предварительного начисления сложных процентов, т.е. когда сложный процент начисляется в момент заключения финансового соглашения. Такая ситуация может иметь место при покупке дорогостоящих товаров в кредит, или при продаже некоторого финансового инструмента до срока его погашения. В этом случае осуществляется операция дисконтирования и применяется сложная учетная ставка.

Предположим, что некоторое долговое обязательство на сумму FV и сроком погашения через n продается (учитывается) раньше срока с дисконтом по сложной учетной годовой ставке d.

 Если долговое обязательство продается за n лет до срока, то продавец получит сумму

где множитель называется дисконтным множителем.

         Таким образом, PV представляет собой текущую (современную) стоимость будущего платежа FV. Дисконт равен величине

Пример.

Долговое обязательство на выплату 20 тыс. грн. со сроком погашения 4 года учтено за 2 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8% годовых. Найти величину дисконта.

 тыс. грн.   тыс. грн.

Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не является целым числом лет, то возможны следующие методы определения стоимости учтенного капитала:

Ø использование сложной учетной ставки:

                                      

Ø использование смешанной схемы:

где w – целое число лет;

       f  -  дробная часть года.

         Пример.

Долговое обязательство на выплату 20 тыс. грн. со сроком погашения 4 года учтено за 27 месяцев до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8% годовых.  Найти величину дисконта.

 тыс. грн.

 тыс. грн.

Если сравнивать между собой дисконтирование по простой и сложной учетным ставкам, то, для лица, осуществляющего предварительное (антисипативное) начисление процентов:

Ø более выгодным является дисконтирование по сложной учетной ставке, если срок учета менее одного года;

Ø более выгодным является дисконтирование по простой учетной ставке, если срок учета превышает один год;

Ø дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат, если срок учета равен одному году.

Если дисконтирование происходит m раз в году и задана сложная годовая учетная ставка d, то определение стоимости капитала, учтенного за n лет при m–кратном дисконтировании в течение года определяется по формуле:

         Пример.

         Долговое обязательство на выплату 3 тыс. грн. со сроком погашения 5 лет учтено за 2 года до срока. Определить полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное дисконтирование по номинальной учетной ставке 12% годовых.

а)  тыс. грн.

б)  тыс. грн.

         Если антисипативное начисление процентов (или дисконтирование) осуществляется по внутригодовым подпериодам, но общий период не равен целому числу подпериодов, то для этой цели используются следующие формулы:

   или 

Пример.  

         Определить современное значение суммы в 4 тыс. грн., если они будут выплачены через 2 года и 3 месяца и дисконтирование производилось по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 10%.

         Полагаем n = 2,25, m = 2, w = 2*2,25 = 4,5 = 4, f  = 4,5 – 4 = 0,5.

 тыс. грн. тыс.грн.

            Если необходимо определить время до срока погашения долгового обязательства, то используются следующие формулы:

        или, если m=1 

         Пример.

         За долговое обязательство в 30 тыс. грн. банком было выплачено 20 тыс. грн. За какое врямя до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась годовая сложная учетная ставка 8%?

 года

         Если необходимо определить величину номинальной учетной ставки при известных значениях остальных параметров финансовой операции, то необходимо пользоваться формулами:

  , или, если m=1  

         Пример.

         Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен вексель?

         Поскольку PV = 0,8FV, то     или 13,82%.

         Часто встречаются ситуации, когда условиями контракта предусматриваются плавающие учетные ставки.

         Пусть на периоды времени  установлены сложные учетные ставки соответственно . Тогда при наращении сложными процентами итоговая сумма за время (если все периоды времени измеряются в одних единицах) определяется по формуле:

.

         Обозначим , тогда формула для определения наращенной суммы примет вид: .

         Таким образом, на все время можно установить вместо плавающих учетных ставок среднюю учетную ставку, которая обеспечит такой же результат.

         Вышеприведенной формулой можно пользоваться и в случае, когда периоды времени выражены в различных единицах при условии согласования их размерностей с размерностями соответствующих учетных ставок.

         Пример.

         Вклад в размере 1000 грн. положен в банк сроком на 7 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей учетной ставке: в первые два года – 8%, в последующие 4 года – 12%, а в оставшийся год – 15%. Найти наращенную сумму.

                         грн.

Эффективная годовая процентная ставка.

Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах обычно оговаривается номинальная процентная ставка, которая не принимает во внимание изменение стоимости денег в связи с инфляцией.

Номинальная процентная ставка имеет следующие недостатки:

1) она не отражает реальной эффективности сделки;

2) в связи с этим она не может быть использована для сопоставления эффективности различных инвестиционных проектов.

Поэтому, для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких контрактов применяется другой показатель, который является универсальным для любой схемы начисления процентов.

Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка , которая обеспечивает переход от PV к FV при заданной годовой процентной ставке и однократным начислением процентов.

Общая постановка задачи формулируется следующим образом.

Задана исходная сумма PV, номинальная процентная ставка r и количество начислений сложных процентов m.

Естественно, что этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение будущей стоимости FV.

Требуется найти такую годовую ставку , которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при m = 1. Т.е. обе схемы должны быть равносильными.

В рамках одного года  

Из определения годовой эффективной ставки вытекает, что:

, откуда  .

Разделив обе части равенства на PV получим:

. Откуда .

Из полученной формулы видно, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку. Эти две ставки совпадают при  m = 1. Именно годовая эффективная процентная ставка является критерием эффективности финансовых операций и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Пример.

Предприниматель может получить ссуду на следующих условиях:

а) либо исходя из ежемесячного начисления процентов по номинальной процентной ставке 26% годовых;

б) либо исходя из полугодового начисления из расчета 27% годовых.

Какой вариант предпочтительнее?

а)

б)

        

Так как эффективная годовая процентная ставка характеризует относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды, то вариант б) для предпринимателя более предпочтителен. Необходимо также отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная процентная ставка.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно  важно для финансового менеджера. Дело  в том, что принятие решения о привлечении средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предполагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Пример.

         Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 10%.

Различие между двумя ставками может быть гораздо более может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях добавленного процента.

         В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать – эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку. В европейских странах, как правило, вначале определяется эффективная ставка, а затем используется формула .

Если в контракте указаны эффективная ставка и количество начислений сложных процентов, а необходимо найти номинальную ставку, то используется формула:

.

Пример.

         Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

.

         Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает какой же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%.

         Если две номинальные годовые процентные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку, то они называются эквивалентными.

         Пример.

         Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислениями по полугодиям и ежеквартально, если соответствующая им эффективная ставка равна 20%?

         для полугодового начисления ;

         для ежеквартального начисления .

         Таким образом, номинальные ставки 19,09% и 18,65% являются эквивалентными.

         Мы рассмотрели наиболее стандартный и широко распространенный подход к понятию эффективной ставки.

         Однако, возможны и другие подходы, которые вытекают из разнообразия финансовых соглашений. Например, вполне реальна ситуация, когда условия начисления процентов меняются: в частности, после схемы сложных процентов начиная с какого то момента времени начинают использовать схему простых процентов без прерывания действия контракта. Для анализа таких ситуаций может быть предложен следующий подход к нахождению эффективной процентной ставки. Пусть известна первоначальная сумма PV и наращенная каким либо образом  за время n  сумма FV. Тогда по определению:

 и поэтому .

         Пример.

         В долг на 2,5 года предоставлена сумма в 30 тыс. грн. с условием возврата 40 тыс. грн. Найти эффективную ставку в этой финансовой сделке.

 или 12,196%.

         Проверим полученный результат. Предположим в банк помещен вклад в размере 30 тыс. грн. на 2,5 года под 12,196% годовых сложных процентов. Тогда наращенная сумма будет равна:

 тыс. грн.

         Как и в случае процентной ставки можно также определить эффективную годовую учетную ставку . Она обеспечивает переход от к при заданных значениях этих параметров и однократном дисконтировании в течение года.

         Поскольку согласно определению в рамках одного года

, то после соответствующих преобразований получим: .

         Из приведенной формулы следует, что с ростом количества начислений величина годовой учетной ставки уменьшается.

         Зная годовую учетную ставку можно определить коэффициент дисконтирования: .

         Используя  можно определить эквивалентные номинальные учетные ставки.

Лекция "20 Учет доходов и расходов по содержанию детских дошкольных учреждений" также может быть Вам полезна.

         Эффективную годовую учетную ставку можно определить иначе, если известна величина , и дисконтированная каким-либо образом за время   сумма .

         В этом случае , откуда .

         Пример.

         Долговое обязательство равное 5 тыс. грн.  со сроком погашения 4 года было сразу же учтено в банке и владелец обязательства получил 4,2  тыс. грн.

         Найти эффективную годовую учетную ставку.