Динамические средние

4. Динамические (хронологические) средние

Важнейшими обобщающими показателями динамического ряда выступают различного рода средние, рассчитываемые как по уровням, так и по производным показателям ряда. Они дают в той или иной степени количественную характеристику действующих в явлениях закономерностей.

Средние, подсчитанные по смежным уровням динамического ряда, называются динамическими или хронологическими.

Хронологическая средняя отличается от обычной средней тем, что она характеризует явление, относящееся к различным периодам времени, а обычная – к одному периоду времени. Динамические средние должны рассчитываться в пределах качественно однородных периодов: при этом как обычные средние рассчитываются по всей совокупности явлений в целом, так хронологические средние должны исчисляться на основе исчерпывающих данных за весь однородный период.

Рассмотрим способы расчета средних абсолютных уровней, средних абсолютных приростов, средних темпов роста и прироста.

Средние показатели абсолютных уровней по интервальным и моментным динамическим рядам рассчитываются по-разному.

Средний уровень интервального ряда динамики можно подсчитать по формуле:

где у – уровни интервального динамического ряда;

Рекомендуемые материалы

t – длительность отдельных интервалов времени.

Если интервалы в ряду динамики равные, то формула расчета среднего уровня принимает вид:

где n – число равных промежутков или интервалов.

Вычислим по данным табл. 1.1 среднегодовой уровень производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 1999-2004 гг.

По моментным рядам динамики средний абсолютный уровень рассчитывается по-разному, в зависимости от характера исходных данных. Если уровни моментного ряда динамики даны на даты равноудаленные друг от друга, то в этом случае используется формула расчета среднего уровня вида:

Пример. Имеются следующие данные о наличии товарно-материальных ценностей на начало каждого квартала года:

на 01.01.2004 г. – 280 млн. р.; на 1.04. – 300 млн. р.; на 1.07. – 340 млн. р.; на 1.10. – 300 млн. р.; на 1.01.2005 г. – 360 млн. р.

Вычислим средний размер остатков товарно-материальных ценностей за 2004 г.:

В данной формуле расчета среднего абсолютного уровня знаменатель совпадает с числом интервалов (кварталов), охватываемых рядом. Он меньше на единицу количества данных уровней, так как первый и последний уровни входят в расчет с половинными весами.

В тех случаях, когда уровни моментного ряда отстоят друг от друга на разном расстоянии (во времени), то в этих случаях необходимо полусуммы уровней взвешивать по величине интервалов времени между ними:

,

где k = n-1.

Пример. В результате инвентаризации на заводе установлены следующие остатки товарно-материальных ценностей:

на 01.01.2004 г. – 400 млн. р.; на 1.05. – 420 млн. р.; на 1.10. – 440 млн. р.; на 1.01.2005 г. – 430 млн. р.

Определим средний размер остатков товарно-материальных ценностей на заводе за 2004 год:

,

Если располагаем исчерпывающими данными об изменении изучаемых явлений, то расчет среднего абсолютного уровня по таким моментным рядам рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где у – уровень моментного ряда динамики;

t – интервалы (промежутки) времени между ними.

Пример. В течение первых пяти дней апреля – с 1 по 5 число включительно – было 1200 человек, в следующие десять дней – с 6 по 15 апреля – 1250 человек и последующие 15 дней, с 16 по 30 апреля – 1300 человек. По этим данным определим среднюю численность рабочих за апрель:

,

Расчет среднего абсолютного прироста. Средний абсолютный прирост можно рассчитать по формулам:

где m = n-1

В обоих случаях получим идентичный результат. Вычислим среднегодовой абсолютный прирост производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 2000-2004 гг. (по данным табл. 3.1):

Расчет среднего темпа роста и прироста.

Средние темпы роста рассчитываются по формуле средней геометрической:

где m – число равных интервалов времени в периоде;

Т₁, Т₂, …, Т_m – темпы роста, исчисленные цепным способом.

Средний годовой темп роста производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь за 2000-2004 гг. можно получить из следующего расчета (табл. 3.1):

Среднегодовой темп прироста составил:

Когда известны уровни динамического ряда, то расчет среднего темпа роста можно произвести по преобразовательной формуле. Подставив в подкоренное выражение вместо Т₁, Т₂, … их исходные значения  формула расчета среднего темпа роста примет вид:

В нашем примере среднегодовой темп роста холодильников и морозильников вычислим так:

Результаты расчета в обоих случаях идентичны.

Наряду с формулой средней геометрической простой применяется и формула средней геометрической взвешенной:

Пример. За первые два года пятилетки производство продукции возрастало по 5% в год, а за оставшиеся три года – по 4%.Вычислим среднегодовой темп роста производства продукции за пятилетку в целом:

Расчет средней геометрической на основе суммы членов ряда. В тех случаях, когда известны только базисный уровень и сумма уровней за весь изучаемый период, расчет средней геометрической изменяется по сравнению с ранее рассмотренным случаем.

Средний темп роста, определяемый по сумме уровней, назван проф. Казинцом Л.С. параболическим темпом роста. Он исчисляется следующим образом:

1) определяется отношение суммы уровней за период без базисного  к уровню, принятому за базу сравнения (у₀):

2) по таблице, приведенной в книге Л.С. Казинца «Темпы роста и абсолютные приросты» М.: 1975 г. находим столбец, равный числу уровней в периоде (n), в котором величина Н приближается к исчисленному ранее значению. В первом столбце таблицы по этой строке и находим значение параболического среднегодового темпа роста.

Пример. Допустим, в 2000 г. было произведено продукции на 114,9 млрд. руб. За 2001-2005 гг. предусматривается произвести продукции в сопоставимых ценах на 621,4 млрд. руб. Каким должен быть среднегодовой темп роста объема продукции, с тем чтобы за пятилетку был достигнут намеченный количественный объем производства продукции?

1) Вычислим отношение суммы уровней за 2001-2005 гг. к уровню 2000 г.:

2) найдем по таблице расчета параболического темпа роста столбец со значением равным в нашем случае 5 число близкое к 5,408. Это будет 5,404. В первом столбце таблицы определим число, стоящее в той же строке, что и 5,404. Оно равно 1,026, или 102,6%. Это число и представляет собой искомый среднегодовой темп роста производства продукции за 2001-2005 гг.

3) вычислим объемы производства продукции по каждому году пятилетки (2001-2005 гг.):

Расхождение с ранее обозначенным объемом производства за 2001-2005 гг. и рассчитанным по годам пятилетки по значению параболического среднегодового темпа роста связаны с ошибками округления.