Основы математического планирования эксперимента

Лекция 16.

Основы математического планирования эксперимента

Планирование эксперимента - раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам.

Под экспериментом здесь подразумевается следующее:

Эксперимент - изучение зависимости целевой функции (или функции отклика) y от нескольких факторов x₁ ... x_n

Цели планирования эксперимента:

1. Теоретические: изучение характера зависимости, степень влияния различных факторов на целевую функцию, предсказание значения целевой функции при определенных значениях факторов.

2. Практические: поиск оптимальных условий (набора значений факторов), при которых целевая функция достигает экстремума (минимума или максимума). Например: поиск условий измерения, чтобы погрешность была минимальна. Или: оптимизация условий хроматографического разделения для достижения максимального разрешения пиков.

Рекомендуемые материалы

Разберем подходы к планированию эксперимента на примере поиска оптимальных условий измерения в атомно-абсорбционном методе. В качестве целевой функции возьмем оптическую плотность (y), а в качестве факторов - температуру атомизатора (x₁) и концентрацию модификатора матрицы (x₂). Будем искать условия (значения факторов) при которых оптическая плотность достигает максимума.

Общий вид зависимости целевой функции от параметров x₁ и x₂ приведен на рисунке:

Как видно из рисунка, обе зависимости имеют максимум, а не возрастают монотонно. Поэтому важна задача оптимизации.

Зависимость целевой функции одновременно от двух факторов можно изобразить в виде "контурной карты" (это вид сверху на трехмерную поверхность отклика, описывающую функцию y):

Отметим, что в данном случае наблюдается совместное влияние факторов x₁ и x₂ (т.е. корреляция между факторами). Поэтому традиционный эксперимент (когда варьируют один параметр, ищут максимум, затем варьируют другой параметр и также ищут максимум) не подходит - максимум таким образом не найти (или придется много раз по очереди варьировать параметры). Вот к чему приведет традиционный эксперимент (красной точкой отмечен ошибочно найденный максимум функции отклика):

Вывод: необходимо варьировать одновременно все факторы, и двигаться в направлении возрастания функции:

Для решения задачи поиска максимума (минимума) функции отклика существует метод факторного планирования эксперимента, который позволяет получить максимально точное решение за минимальное количество измерений.

Модуль Планирование эксперимента (в проге статистика).

Модуль STATISTICA Планирование эксперимента предлагает исчерпывающий набор процедур для построения и анализа экспериментальных планов, используемых в промышленных исследованиях.

Вниманию пользователя предлагаются 2**(k-p) факторные планы с блоками (для планов, содержащих более 100 факторов, имеются высокоэффективные алгоритмы для нахождения планов с минимальной аберрацией и максимально несмешанных планов, в которых пользователь может задавать эффекты взаимодействия, которые должны быть несмешанными), отсеивающие планы (для более 100 факторов предусмотрены планы Плакетта-Бермана), 3**(k-p) факторные планы с блоками (в том числе планы Бокса-Бенкена), смешанные планы, (малые) центральные композиционные планы (или поверхности отклика), планы на Латинских квадратах, робастные планы Тагучи и ортогональные массивы, планы для смесей и тернарных поверхностей, вершины и центроиды для поверхностей и смесей с ограничениями, D- и A-оптимальные планы для факторных планов, поверхностей и смесей. Ниже представлено подробное описание доступных планов и методов их построения и анализа.

Анализ экспериментов: Основные моменты

Для анализа всех факторных планов, планов для поверхностей отклика и для смесей имеются сходные опции. Они могут работать с несбалансированными и неполными планами и дают пользователю полный контроль при выборе модели, подгоняемой к данным. Программа вычислит обобщенную обратную матрицу X'X (где X обозначает матрицу плана) для оцениваемых эффектов, а также выявления эффектов, являющихся псевдонимами других эффектов. Затем программа автоматически выведет таблицу псевдонимов и вычислит оценки параметров для всех существенных эффектов. Вы можете также быстро и просто включать в модель или исключать из модели отдельные эффекты. Любой анализ может быть проведен с использованием перекодированных значений факторов или исходных значений факторов. Предусмотрено большое количество опций для просмотра оценок параметров, анализа дисперсионной таблицы и т. д. Доступны также дополнительные опции для исследования предсказанных (подогнанных) средних, поверхностей и т.п.; эти опции описаны ниже при рассмотрении соответствующих планов.

Анализ остатков и преобразования

Для дополнительного анализа остатков данной модели предусмотрено большое количество графиков.

В частности, программа вычислит предсказанные (подогнанные) и остаточные значения и их стандартные ошибки, заданные пользователем прогнозные интервалы и доверительные интервалы для предсказанных (подогнанных) значений, стандартизованные предсказанные и остаточные значения, стьюдентизированные остатки, удаленные остатки, стьюдентизированные удаленные остатки, расстояния Махаланобиса и Кука, значение DFFIT и стандартизованное значение DFFIT. Все эти статистики остатков могут быть сохранены для их дальнейшего анализа в других модулях STATISTICA (например, для анализа сериальных корреляций ошибок в модуле Временные ряды). Эти статистики остатков для каждого наблюдения можно также просмотреть в порядке наблюдений или отcортировать по степени важности, что позволит быстро выделить выбросы. В качестве вспомогательного средства для определения точности подгонки соответствующей модели и для выявления выбросов вы можете просмотреть гистограммы остатков (и удаленных остатков) и предсказанных значений, диаграммы рассеяния (удаленных) остатков по предсказанным значениям или нормальные и полунормальные вероятностные графики (удаленных) остатков. Для проверки сериальной корреляции остатков вы можете также отобразить на графике (удаленные) остатки по номерам наблюдений. На всех графиках, на которых отображаются отдельные наблюдения (например, значения остатков наблюдений), точки обозначаются соответствующими номерами наблюдений или метками, что позволяет легко определить выбросы в наборе данных. Окончательно, могут быть вычислены значения максимального правдоподобия лямбда для преобразования Бокса-Кокса переменных отклика; результатам преобразования Бокса-Кокса сопутствует также график зависимости сумм квадратов остатков от лямбда, вместе с доверительными пределами для лямбда.

Оптимизация одномерных или многомерных переменных отклика: Профиль отклика (желательности)

Уникальный набор опций позволяет проводить в модели интерактивную оптимизацию одномерных или многомерных переменных отклика.

Во-первых, для моделей поверхности отклика второго порядка и моделей смешанных поверхностей программа определит установки факторов, соответствующие минимальной, максимальной или седловой точке соответствующей поверхности (т.е. критические значения текущей поверхности, а также соответствующие собственные значения и собственные векторы, для определения кривизны и ориентации в пространстве квадратичной поверхности отклика). Заметим, что в планах для смесей опции профиля желательности не основаны на простой перепараметризации модели смеси в модель неограниченной поверхности (что может привести к ошибочным результатам, например, к недопустимым для данной смеси оптимальным установкам факторов); вместо этого все вычисления должны производиться на основе фактической модели смеси. Таким образом, при поиске оптимальных установок факторов по функции желательности для одной или нескольких переменных отклика гарантируется, что рассматривается только ограниченная область (смесь), и что итоговые установки факторов приводят к допустимой смеси. Во-вторых, предусмотрен исчерпывающий набор графических опций для визуализации предсказанных значений одной или нескольких переменных отклика как функций каждого фактора в анализе при условии, что все другие факторы установлены на некотором частном уровне. Точнее, для многомерных переменных отклика вы можете задать функцию желательности, которая отражает наиболее желательное значение для каждой переменной отклика, а также оценить степень важности каждой переменной для общей желательности. Затем вы можете отобразить на графике профили функции желательности (вычисленные по предсказанным значениям каждой переменной отклика) для заданного числа уровней каждого фактора. На этом же графике могут быть показаны профили для каждой отдельной переменной отклика, а также доверительные интервалы.

В лекции "4.4. Полисахариды" также много полезной информации.

Более того, функция желательности может быть отображена на трехмерном графике поверхности или на контурном графике (контуры желательности), и пользователь может запросить матрицы таких графиков для всех факторов в анализе (смотрите иллюстрацию выше). Все установки, такие как сетка факторов или функции желательности, могут быть легко изменены для интерактивного анализа (например, можно быстро исключить отдельные отклики из анализа, и наблюдать эффекты на общей функции желательности). Спецификации для сложных функций желательности для многих переменных отклика могут быть сохранены в файле, а затем быстро восстановлены, если вы захотите анализировать другие эксперименты с использованием тех же переменных отклика. Кроме того, имеются опции для определения оптимального значения функции желательности, как с использованием сеточного поиска по экспериментальной области, так и с использованием эффективного алгоритма оптимизации функции (который обычно применяется для оптимизации функций желательности в экспериментах с большим числом факторов).

Ссылки Internet:

Стандартные 2**(k-p) дробные факторные планы
Планы с минимальной аберрацией и максимально несмешанные 2**(k-p) дробные факторные планы
Отсеивающие планы (Плакетта-Бермана)
Трехуровневые 3**(k-p) дробные факторные планы и планы Бокса-Бенкена
Смешанные факторные планы
Центральные композиционные планы (поверхности отклика)
Латинские квадраты
Робастные планы Тагучи
Планы для смесей и тернарные графики
Планы для поверхностей с ограничениями и смесей
D- и A-оптимальные планы

Для работы модуля Планирование эксперимента необходимо, чтобы на компьютере была установлена система STATISTICA или Quick STATISTICA.

Вы можете взять инсталляционный пакет STATISTICA 6 у преподавателя.

Вы можете скачать себе на компьютер буклеты по методам промышленной статистики.