Вывод уравнений для плоских волн
ПОЛСКИЕ ВОЛНЫ
1. Вывод уравнений для плоских волн
Рассмотрим электромагнитный волновой процесс, векторы и которого могут быть представлены в виде
=(x,t), =(x,t) (1.1)
Рис. 1.1. Направление распространения плоской волны
Здесь (рис. 1.1.) есть расстояние от начала координатной системы до плоскости
а является постоянным единичным вектором. Так как производные по координатам будут равны и т. д., то
Рекомендуемые материалы
(1.2)
(1.3)
Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид
(1.4)
,
Последние два уравнения означают независимость проекций и на направление распространения от координаты x, т. е. Ex =const и Hx=const в данный момент времени. Исследуем их поведение во времени. Для этого второе уравнение (1.4) умножим скалярно на :
Так как
то
и
или , т.е. dHx = 0, Hx = const. Для исследования поведения Ex умножим скалярно первое из уравнений (1.4) на :
Так как , получаем
Прибавим к этому равенству
Следовательно, при конечной s компонента Ex экспоненциально убывает со временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться внутри проводника.
Найдем уравнения для и отдельно. Для этого продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)
Найдем из второго из уравнений (1.4), продифференцировав его по x:
Получаем
откуда
, так как
Отсюда следует
(1.6)
Аналогично
(1.7)
Эти уравнения можно решить методом разделения переменных, идем решение для комплексной амплитуды Е поля , Положив
E=f1(x)f2(x)
Получаем
(1.8)
Общее решение для f1 будет
Частное решение для f2 возьмем в виде
Таким образом, решением для будет выражение
Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для
Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим
откуда
Так как x в этом равенстве может принимать любые значения, коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:
Профессиональные требования к переводчику - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Поэтому
(1.9)
Отсюда следует ()=0 (так как ([])=0), т. е. векторы и ортогональны к направлению и друг к другу.