Системы преобразования сигналов

1.3.  Системы  преобразования  сигналов [1,9,14,18]

Сигналы, в любой форме материального представления, содержат определенную полезную информацию. Если при преобразованиях сигналов происходит нарушение заключенной в них информации (частичная утрата, количественное изменение содержания и т.п.), то такие изменения называются искажениями сигнала. Если полезная информация остается постоянной, то такие изменения называются преобразованиями сигнала.

Любые изменения сигналов сопровождаются изменением их спектра и по характеру этого изменения разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются новые гармонические составляющие. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра. И линейные, и нелинейные изменения сигналов могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Общее понятие систем. Преобразование и обработка сигналов осуществляется в системах. Понятия сигнала и системы неразрывны, так как любой сигнал существует в пределах какой-либо системы. Система обработки сигналов может быть реализована как в материальной форме (специальное устройство, измерительный прибор, совокупность физических объектов с определенной структурой взаимодействия и т.п.), так и программно на ЭВМ или любом другом специализированном вычислительном устройстве. Форма реализации системы существенного значения не имеет и определяет только ее возможности при анализе и обработке сигналов.

Безотносительно к назначению система всегда имеет вход, на который подается внешний входной сигнал, в общем случае многомерный, и выход, с которого снимается обработанный выходной сигнал. Если устройство системы и внутренние операции сигнальных преобразований принципиального значения не имеют, то система в целом может восприниматься в формализованной форме “черного ящика”.

Формализованная система представляет собой системный оператор (алгоритм) преобразования входного сигнала – воздействия или возбуждения s(t), в сигнал на выходе системы y(t) – отклик или выходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобразования (трансформации сигнала):  y(t) = T[s(t)].

Системный оператор T - это набор правил преобразования (transformation) сигнала s(t) в сигнал y(t). Так, например, в самом простейшем случае таким правилом может быть таблица перекодировки входных сигналов в выходные. Для общеизвестных операций преобразования сигналов применяются двухсимвольные индексы операторов трансформации, где вторым символом обозначается конкретный вид операции (например, TF- преобразование Фурье).

Рекомендуемые материалы

Входной сигнал системы может представлять собой m - мерный вектор, а выходной сигнал n - мерный вектор, при этом система будет иметь m входов и n выходов. Пример такой системы в геофизике: трехканальный аэро-гамма-спектрометр, на три входа решающего блока которого поступают потоки сигналов от калиевого, радиевого и ториевого каналов амплитудного анализатора спектрометра, а на три выхода решающего блока подаются результаты количественной интерпретации входной информации - сигналы количественных содержаний калия, урана и тория, при этом системный оператор реализует алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Для детерминированных входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе системы случайного входного процесса аналогично существует однозначное соответствие процессов на выходе и входе системы, однако при этом одновременно происходит изменение статистических характеристик сигнала (математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и пр.), которое также определяется системным оператором.

Для полного определения системы необходимо задание характера, типа и области допустимых величин входных и выходных сигналов. Как правило, системы выполняются на сигналы одного типа по входу/выходу и подразделяются на системы непрерывного времени (аналоговые или дискретные сигналы на входе и выходе) и цифровые системы. Совокупность системного оператора Т и областей входных/выходных сигналов образует математическую модель системы.

Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сигналов. Термин линейности (linear) означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом) с определенным изменением спектрального состава входного сигнала (усиление или подавление определенных частотных составляющих сигнала). В нелинейных (nonlinear) системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом с дополнением частотного состава входного сигнала частотными составляющими, отсутствующими во входном сигнале.

Математически связь между аналоговыми сигналами входа s(t) и выхода y(t) в линейной системе обычно задается линейным дифференциальным уравнением:

a_j = b_i.                                          (1.3.1)

где  a_j и b_i – параметрические коэффициенты системы. Максимальный порядок производной входного сигнала в уравнении (1.3.1) не превышает порядка  производной выходного сигнала, т.е. j ≤ i. Значение  j  называется порядком системы. При нормировке  уравнения к  а_о = 1 получаем неоднородное линейное дифференциальное уравнение для произвольного входного сигнала s(t), решение которого дает выходной сигнал y(t):

y(t) =b_i - a_j.                                  (1.3.1')

            Аналогичная связь выхода с входом в дискретной (цифровой) системе описывается разностными уравнениями:

a_j y((n-j)Dt) = b_i s((n-i)Dt).                                    (1.3.2)

y(nDt) =b_i s((n-i)Dt) -a_j y((n-j)Dt).                          (1.3.2')

            Уравнение (1.3.2') можно рассматривать как алгоритм последовательного вычисления значений y(nDt), n = 0,1,2, …, по значениям входного сигнала s(nDt) при известных значениях коэффициентов a_j, b_i и задании определенных начальных условий s(-nDt), y(-nDt).

Стационарные и нестационарные системы. Система считается стационарной и имеет постоянные параметры, если ее свойства (математический алгоритм оператора преобразования) в пределах заданной точности не зависят от входного и выходного сигналов и не изменяются ни во времени, ни от каких-либо других внешних факторов. Математически это означает задание системы уравнениями типа (1.3.1-2) с постоянными значениями коэффициентов a_j и b_i. В противном случае система является нестационарной и называется параметрической или системой с переменными параметрами. Среди последних большое значение имеют так называемые адаптивные системы обработки данных. В этих системах производится, например, оценивание определенных параметров входных и выходных сигналов, по результатам сравнения которых осуществляется подстройка параметров преобразования (переходной характеристики системы) таким образом, чтобы обеспечить оптимальные по производительности условия обработки сигналов или минимизировать погрешность обработки.

Основные системные операции. К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:

y(t) = c ´ s(t),         y(t) = s(t-Dt),         y(t) = a(t)+b(t).

Отметим, что строго корректно операции сложения и умножения являются линейными только для аналоговых и дискретных сигналов. В случае цифровых сигналов они линейны относительно самих цифровых сигналов, но если последние - результат операции АЦП, то сложение и умножение не может считаться линейным абсолютно точно по отношению к исходным сигналам.

Для нелинейных систем выделим важный тип безинерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним относятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала:

y(t) = [s(t)]²,     y(t) = log[s(t)].

Линейные системы. Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия).

Принцип аддитивности требует, чтобы реакция системы на сумму входных сигналов была равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности. Так, для двух сигналов должно иметь место:

T[a(t)+b(t)] = T[a(t)]+T[b(t)].

Принцип однородности или пропорционального подобия требует сохранения однозначности масштаба преобразования при любой амплитуде входного сигнала:

T[c ´ s(t)] = c ´ T[s(t)].

Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.

Примеры.

  1. Система y(t) = a²t. 

       y(t₁) = a²t₁,  y(t₂) = a²t₂,  y(ct) = a²ct. 

       y(t₁+t₂) = a²(t₁+t₂) = a²t₁+a²t₂ = y(t₁)+y(t₂).  Система аддитивна.

       cy(t) = ca²t = a²ct = y(сt). Система однородна.  Следовательно, система линейна.

  2. Система y(t) = at². 

       y(t₁)= at₁²,  y(t₂)= at₂²,  y(ct)= a(ct)²= ac²t².

       y(t₁+t₂)= a(t₁+t₂)² ¹ y(t₁)+y(t₂)= at₁²+at₂². Система не аддитивна.

       с y(t) = с at² ¹ y(сt) = ac²t². Система неоднородна.  Следовательно, система нелинейна.

При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и/или выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен в технической документации или методической инструкции. 

Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу, если сдвиг входного сигнала по аргументам (времени, координатам пространства и т.п.) вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

y(x,t) = T[s(x,t)],   T[s(x-Dx,t-Dt)] = y(x-Dx,t-Dt).

Инвариантность системы к сдвигу является одним из подтверждений постоянства ее параметров.

Линейные системы, инвариантные к сдвигу. Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.

            Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Разложение по единичным импульсам применяется при динамическом представлении сигнала в зависимости от реальных физических аргументов (времени, координат и пр.) и использует операцию свертки. Разложение на гармонические составляющие использует спектральное (частотное) представление сигнала и преобразование Фурье.

            Соединения ЛИС - систем. При последовательном (каскадном) соединении систем выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т.д. в зависимости от количества составляющих систем каскада. По отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет. Так, для двух последовательно соединенных систем на рис. 1.3.2:

y(t) = T₂[T₁[s(t)]] = T₁[T₂[s(t)]].

            При параллельном соединении входной сигнал поступает одновременно на входы всех составляющих систем, а выходные сигналы систем суммируются:

y(t) = T₁[s(t)] + T₂[s(t)] + ... + T_N[s(t)].

            Образуемые в результате соединений системы в целом также являются ЛИС - системами, если линейны и инвариантны к сдвигу системы, в них входящие.