Аналоговая фильтрация сигналов

7. Аналоговая фильтрация сигналов

Здесь мы будем рассматривать только задачу фильтрации аналоговых сигналов, то есть аналоговую фильтрацию. Вопросы цифровой фильтрации будут рассмотрены позднее.

7.1 Постановка задачи фильтрации

Под фильтрацией измерительных сигналов понимается процедура целенаправленного изменения спектрального состава сигнала. Чаще всего целью фильтрации является снижения уровня неинформативных составляющих сигнала.

Действительный сигнал, кроме полезной информации, связанной с передачей первичных сообщений, всегда содержит в себе и шумовую составляющую:

,

где  - аддитивная смесь сигнала  и шума . Фильтр – это устройство, служащее для выделения сигнала из смеси сигнала и шума (рис. 7.1). На выходе фильтра образуется сигнал y(t), зависящий от x(t) и содержащий в себе ослабленные остатки шума. Разность:

называется остаточной погрешностью фильтрации. Для того, чтобы фильтрация имела место, должно выполняться условие

Рекомендуемые материалы

.

Для идеального фильтра y(t)=x(t) и погрешность фильтрации равна нулю, то есть происходит 100% - выделение сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума.

Что бы отфильтровать шум, фильтр должен как-то обнаруживать различие между сигналом и шумом. Для частотных фильтров, изучаемых в данном разделе, такой отличительной чертой являются спектральные особенности сигнала и шума. Чем ярче выражено различие в спектрах сигнала и шума, тем в большей степени можно подавить шум. В дальнейшем нам придется познакомиться и с другими типами фильтров.

Мерой зашумленности сигнала является отношение «сигнал / шум», которое определяется как отношение мощности сигнала к мощности шума. В результате фильтрации это отношение увеличивается, поэтому фильтры иногда называют усилителями отношения «сигнал / шум».

7.2 Виды фильтров

В большинстве случаев фильтр представляет собой четырехполюсник, выполненный на пассивных RLC – элементах и активных элементах типа отдельных транзисторов или операционных усилителей и имеющий определенным образом сформированную амплитудно – фазовую частотную характеристику. Классификация фильтров проводится по их различным особенностям.

1. В зависимости от наличия внутренних источников питания фильтры делятся на пассивные и активные фильтры.

Пассивные фильтры выполняются в форме Т – образных или П – образных четырехполюсников (рис.7.2). Активные фильтры собиратются сейчас на операционных усилителях или, иногда, на транзисторных схемах.

2. Фильтры могут быть линейными или нелинейными. Для линейных фильтров выполняется принцип суперпозиции. Анализ линейных фильтров значительно проще. В дальнейшем будем заниматься только линейными фильтрами.

3. Фильтры могут быть стационарными или нестационарными. Для стационарного фильтра оператор преобразования x(t)→y(t) не зависит от времени. Для нестационарного фильтра этот оператор со временем изменяется. Мы ограничимся рассмотрением линейных стационарных фильтров.

4. В зависимости от расположения полосы частот, в которой сигнал проходит через фильтр без существенных искажений, различают следующие типы фильтров:

- фильтры низких частот (ФНЧ, low – pass), пропускающие гармоники с частотами, меньшими некоторой граничной частоты (частоты среза ),

- фильтры высоких частот (ФВЧ, high –pass), пропускающие гармоники с частотами, большими некоторой граничной частоты (частоты среза ),

- полосовые фильтры (ПФ, band – pass), пропускающие гармоники с частотами, лежащими в определенной полосе частот ,

- режекторные фильтры (РФ, заграждающие фильтры, фильтры – пробки, band – stop), пропускающие гармоники всех частот кроме тех, которые лежат в определенном диапазоне частот .

Характеристикой передачи фильтра является его комплексный коэффициент передачи , то есть его амплитудно – фазовая частотная характеристика. На рис. 7.3 представлены графики амплитудно – частотных характеристик идеальных фильтров четырех выше названных типов.

Реальные фильтры отличаются от идеальных фильтров более плавным характером изменения амплитудно – частотной характеристики, то есть плавными переходами от полосы пропускания, где , к полосе задержания, где .

ФНЧ является исходным для построения других типов фильтров. Изменяя должным образом параметры ФНЧ, можно построить и другие фильтры.

7.3 Математическая модель линейного стационарного фильтра

Первичным описанием фильтра является его дифференциальное уравнение, связывающее между собой комбинацию входного сигнала и его производных с комбинацией выходного сигнала и его производных. Для линейного стационарного фильтра эти комбинации являются линейными формами с постоянными коэффициентами.

Однако такое описание слишком громоздко. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться исключительно передаточной функцией фильтра и его частотными характеристиками. Иногда придется обращаться и к импульсной переходной функции фильтра. Примем следующие обозначения:

- K(p) – передаточная функция фильтра, операторный коэффициент передачи, операторная чувствительность – отношение отображения Лапласа для выходного сигнала фильтра к отображению  Лапласа для входного сигнала фильтра;

- K(ω) – амплитудно – фазовая частотная характеристика фильтра, комплексный коэффициент передачи, комплексная чувствительность – комплексное выражение, равное отношению образа Фурье для выходного сигнала к образу Фурье для входного сигнала фильтра;

-  - модуль амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра или его амплитудно – частотная характеристика;

-  - аргумент амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра или его фазовая частотная характеристика

-  - импульсная переходная функция фильтра.

Импульсная переходная функция определяется как:

- результат обратного преобразования Лапласа для передаточной функции фильтра,

- результат обратного преобразования Фурье для амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра,

- реакция фильтра (его выходной сигнал) при подаче на вход воздействия в виде дельта – функции.

Если на вход фильтра подать напряжение в форме гармонического колебания

,

то сигнал на его выходе будет также гармоническим, но отличающимся от входного сигнала своей амплитудой и фазой, которые становятся функциями частоты входного гармонического сигнала:

.

Эти два соотношения позволяют следующим образом определить понятия частотных характеристик фильтра:

- АЧХ фильтра – амплитудно – частотная характеристика фильтра – зависимость от частоты входного гармонического сигнала отношения амплитуд выходного и входного сигналов,

- ФЧХ фильтра – фазовая частотная характеристика фильтра – зависимость от частоты входного гармонического сигнала фазового сдвига выходного сигнала относительно входного сигнала.

Любой абсолютно – интегрируемый входной сигнал имеет представление в форме отображения Фурье, то есть представим в виде бесконечно длинной суммы гармоник с различными частотами и бесконечно малыми, но различными амплитудами. Поэтому АФЧХ фильтра или комплекс из двух частотных характеристик - АЧХ и ФЧХ фильтра – полностью описывает работу линейного стационарного фильтра.

Если на вход фильтра с частотными характеристиками  подается сигнал z(t) со спектральной плотностью амплитуд  и спектром фаз , то выходной сигнал будет обладать:

- спектральной плотностью амплитуд ,

- спектром фаз .

Если на вход фильтра подается реализация z(t) случайного стационарного сигнала Z(t) со спектральной плотностью мощности , то сигнал на выходе будет также случайным стационарным и иметь спектральную плотность мощности . Входной и выходной сигналы фильтра коррелированны друг с другом и их взаимный спектр совпадает с АФЧХ фильтра .

7.4 Фильтры нижних частот

Простейшим фильтром нижних частот является RC – фильтр, схема которого и его частотные характеристики представлены на рис. 68. Комплексная амплитуда Y(ω) выходного напряжения y(t) связана с комплексной амплитудой Z(ω) входного напряжения z(t) соотношением, обычным для схемы делителя напряжения:

.

АФЧХ фильтра составляет:

.

Произведение активного сопротивления фильтра на емкость конденсатора имеет размерность времени и называется постоянной времени T=RC, обратная величина  образует круговую частоту среза. Соответствующая линейная частота равна . АЧХ и ФЧХ фильтра составляют соответственно:

,

.

Графики АЧХ и ФЧХ фильтра представлены на рис. 7.4 при частоте среза . При условии  АЧХ фильтра принимает значение .

Диапазон частот от 0 до  называется полосой пропускания или диапазоном прозрачности фильтра, диапазон частот от  до бесконечности образует полосу задержания. В полосе пропускания АЧХ фильтра изменяется в диапазоне от единицы до 0.707, в полосе задержания – от 0.707 до нуля.

Простейший RC – фильтр еще очень далек от идеального фильтра. Однако и такой фильтр способен в значительной степени повысить отношение «сигнал – шум».

Пусть, например, на вход фильтра подается сигнал  в смеси с высокочастотным шумом , то есть

.

Мощность гармонического колебания равна половине квадрата амплитуды, поэтому отношение «сигнал – шум» равно 100. На выходе фильтра образуется сигнал:

Полезный сигнал немного уменьшился по амплитуде, но отношение «сигнал – шум» увеличилось до 400, то есть в четыре раз.

На рис. 7.5 изображен график  сигнала  в аддитивной смеси с шумом . Видно, что гармоника сильно искажена. Рядом нарисован выходной сигнал фильтра низких частот с граничной частотой  - результат фильтрации. Получается почти чистая гармоника, но она запаздывает по времени относительно исходного сигнала. Это запаздывание равно постоянной времени фильтра, то есть 0.001 с.

Для более четкой фильтрации используются фильтры более высоких порядков. Наибольшее распространение получили следующие типы фильтров низких частот.

1. Фильтры Баттерворда – фильтры с максимально плоской амплитудно – частотной характеристикой в полосе пропускания. АЧХ фильтра Баттерворда порядка  определяется выражением

,

где n – порядок фильтра. При  усиление фильтра равно  не зависимо от порядка фильтра. Поэтому АЧХ фильтров Баттерворда любого порядка проходят через одну и ту же точку, отделяющую полосу пропускания фильтра от полосы задержания (рис. 70).

На рис. 7.6 представлены графики АЧХ фильтров Баттерворда порядков  при одной и той же частоте среза . При n=1 имеем уже рассмотренный простейший RC – фильтр с довольно пологой характеристикой. По мере увеличения порядка фильтра крутизна спада его амплитудно – частотной характеристики возрастает, полосы пропускания и задержания вырисовываются все более четко.

Анализ графиков на рис. 7.6 позволяет также сделать вывод о том, что не имеет большого смысла повышать порядок фильтра выше четвертого, поскольку при больших порядках фильтра крутизна спада его АЧХ возрастает все более и более медленно.

Проектирование фильтра Баттерворда заключается в следующем:

- выбирается порядок фильтра в зависимости от требуемой крутизны спада его амплитудно – частотной характеристики,

- подбирается электронная схема построения фильтра,

- подбираются параметры схемы, при которых АЧХ фильтра совпадает с АЧХ фильтра Баттерворда соответствующего порядка.

Так на рис. 7.7 представлен активный фильтр низких частот 2-го порядка по схеме Саллена – Ку. Фильтр состоит из операционного усилителя AR3, охваченного соответствующим образом сформированными цепями положительной и отрицательной обратных связей. Емкости и сопротивления резисторов принимаются одинаковыми и равными С4=С5=C и R8=R9=R, сопротивления плеч делителя напряжения на выходе схемы принимаются равными R6 и R7=(α-1)·R6. АФЧХ фильтра Саллена – Ку имеет следующее выражение:

.

Вычислим амплитудно – частотную характеристику фильтра:

Для того, чтобы рассматриваемый фильтр стал фильтром Баттерворда 2-го порядка, необходимо, чтобы коэффициент при  в знаменателе этого выражения обратился в нуль:

В этом случае амплитудно – частотная характеристика фильтра повторяет АЧХ фильтра Баттерворда 2-го порядка с частотой среза :

.

Уже из этого примера видно, что построение хорошего фильтра требует его точной регулировки (выбора соотношения плеч делителя напряжения R6, R7) и точной подгонки значений емкостей и сопротивлений. Еще более сложной задачей является построение и регулировка фильтров более высокого порядка. Поэтому редко используются фильтры Баттерворда порядка выше пятого.

2. Фильтры Чебышева 1-го рода.

Основой построения фильтров Чебышева являются полиномы Чебышева  порядка n. Они замечательны тем, что на интервале значений переменной  колеблются между –1 и +1 вне зависимости от порядка полиномов. Именно это обстоятельство, как мы увидим немного позднее, и позволяет построить фильтры с заранее заданными свойствами.

Первые шесть полиномов Чебышева  имеют следующий вид:

Они изображены графически на рис. 7.8. Порядок полинома совпадает с его наивысшей степенью. С увеличением порядка полинома он приобретает все более колебательный характер, изменяясь от –1 до +1 и все более круто возрастая по мере приближения аргумента к единице.

Фильтром Чебышева 1-го рода порядка n называется фильтр, амплитудно – частотная характеристика которого описывается выражением

где ε – коэффициент, определяющий неравномерность амплитудно – частотной характеристики фильтра в полосе пропускания. В полосе пропускания АЧХ колеблется в диапазоне от 1 до , а за пределами полосы пропускания монотонно убывает до нуля. На рис. 7.9 представлены амплитудно – частотные характеристики фильтров Чебышева первых шести порядков при ε=0.4 для частоты среза . Видно, насколько велика крутизна спада АЧХ при частотах, больших частоты среза. Повышение порядка фильтра делает спад все более и более крутым, однако не имеет большого смысла увеличивать порядок фильтра свыше пятого.

Проектирование фильтра Чебышева заключается в следующем:

- выбирается частота среза и порядок фильтра в зависимости от требуемой крутизны спада его амплитудно – частотной характеристики,

- подбирается электронная схема построения фильтра,

- подбираются параметры схемы, при которых АЧХ фильтра совпадает с АЧХ фильтра Чебышева соответствующего порядка.

Так АЧХ фильтра Чебышева 2-го порядка должна иметь вид:

.

Если для построения фильтра использовать схему Саллена - Ку, представленную на рис. 71, с амплитудно – частотной характеристикой

,

то, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях частоты, получим:

,       

Этих соотношений достаточно для определения всех параметров фильтра.

3. Фильтры Чебышева 2-го рода или инверсные фильтры Чебышева. Выражение для амплитудно – частотной характеристики фильтра имеет несколько иной вид:

.

Благодаря такой структуре амплитудно – частотная характеристика фильтра плавно спадает в полосе пропускания до значения  и затухает до нуля, колеблясь в соответствии с характером изменения полинома Чебышева. На рис. 7.9 представлены амплитудно – частотные характеристики инверсных фильтров Чебышева первого, третьего и пятого порядков, построенные при ε=10 для частоты среза . В отличии от предыдущего случая полоса пропускания здесь гораздо меньше частоты среза и существенно зависит от порядка фильтра, но в области затухания АЧХ отличается от нуля не более, чем на .

7.5 Фильтры высоких частот, полосовые и режекторные фильтры

Фильтры высоких частот служат для максимального подавления составляющих сигнала с частотой, меньшей частоты среза.

Если удалось спроектировать ФНЧ с частотой среза , то для построения ФВЧ с той же частотой среза достаточно выполнить следующие действия:

- заменить в схеме фильтра все емкости С на индуктивности ,

- заменить все индуктивности L конденсаторами с емкостями ,

- резисторы оставить без изменения.

Полосовой фильтр пропускает гармоники в некоторой полосе частот . Поэтому полосовой фильтр можно представить в виде последовательного соединения

- фильтра низких частот с частотой среза ,

- фильтра высоких частот с частотой среза , меньшей частоты .

Результат последовательного соединения таких фильтров дает амплитудно – частотную характеристику полосового фильтра (рис. 74).

На рис.74 представлены:

- АЧХ фильтра низких частот Чебышева 5-го порядка с частотой среза ,

- АЧХ такого же фильтра высоких частот, для которого частота среза была принята равной .

В результате их последовательного соединения был получен полосовой фильтр, амплитудно – частотная характеристика которого получается путем перемножения АЧХ исходных фильтров и изображена в правой части рис. 7.10. Из рисунка видно, что полученный полосовой фильтр имеет полосу прозрачности от 1500 рад / с до 2500 рад / с.

Режекторный фильтр можно получить путем параллельного соединения ФНЧ и ФВЧ, при этом для получения АЧХ режекторного фильтра АЧХ исходных фильтров нужно сложить. Необходимо только, чтобы, в противоположность предыдущему случаю, частота среза ФНЧ была меньше частоты среза ФВЧ (рис. 7.11).

Если полоса пропускания полосового фильтра должна быть по возможности узкой вокруг некоторой частоты , то можно использовать ФНЧ с частотой среза , но только в нем нужно будет произвести следующие изменения:

- индуктивности L заменить последовательными колебательными контурами с емкостью ,

- емкости С заменить на параллельные колебательные контуры с индуктивностями .

Подобные резонансные фильтры при высокой добротности колебательных контуров могут обладать очень узкой полосой пропускания вокруг резонансной частоты.

7.6 Постановка задачи оптимальной фильтрации

Все вышеописанные фильтры позволяют в больше или меньшей степени отфильтровать помеху только в том случае, когда спектральные плотности мощности сигнала и помехи лежат в достаточно далеко отстоящих друг от друга диапазонах частот, как это представлено на рис. 7.12.

В этом случае, пропустив аддитивную смесь сигнала и шума через фильтр нижних частот, то есть, умножив спектральную плотность мощности сигнала и шума на квадрат АЧХ фильтра, мы получим спектральную плотность мощности только сигнала (уже без шума, нижний график на рис.7.12).

Однако уже из этого примера видно, что спектр сигнала в области высоких частот, где располагался шум, будет все – таки немного искажен.

Еще более неприятная ситуация возникает в том случае, когда спектры сигнала и шума перекрывают друг друга, как это представлено на рис.7.13. Как бы мы не подбирали амплитудно – частотную характеристику фильтра, спектр сигнала оказывается сильно искаженным в области высоких частот.

Как уже было сказано в разделе 3.1, погрешность фильтрации находится как

где    x(t) – информативный сигнал,

         y(t) – результат фильтрации.

Будем считать, что x(t) и u(t) – реализации случайных стационарных сигналов X(t) и U(t) со спектральными плотностями мощности  соответственно. Спектральная плотность мощности  выходного сигнала y(t) фильтра связана со спектральной плотностью мощности  входного сигнала z(t) фильтра соотношением:

,

где  - квадрат модуля амплитудно – частотной характеристики фильтра.

С учетом этих обстоятельств вычислим спектральную плотность мощности  погрешности фильтрации :

Из полученного равенства следует, что суммарная погрешность фильтрации включает в себя две составляющие:

- собственная погрешность , возникающая в результате искажения фильтром самого сигнала x(t); эта составляющая погрешности тем меньше, чем ближе к единице АЧХ фильтра в полосе частот, занимаемых сигналом,

- вынужденная погрешность , возникающая как результат не полного подавления шума фильтром; эта составляющая погрешности тем меньше, чем ближе к нулю АЧХ фильтра в полосе частот, занимаемых шумом.

Дисперсию погрешности фильтрации можно теперь найти путем интегрирования по частоте ее спектральной плотности:

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 3 Комплекс параметров прямого эфира.

Тогда стандартное отклонение погрешности составит:

Задача оптимальной фильтрации заключается в отыскании такой амплитудно – частотной характеристики фильтра, при использовании которой для построения фильтра дисперсия суммы собственной и вынужденной погрешностей фильтрации обратится в минимум. Эту задачу можно решать в двух постановках:

1. Из анализа взаимного расположения спектров сигнала и шума выбрана структура фильтра, а значит – и его АЧХ, в выражение для которой входят некоторый параметры (частоты среза и порядок фильтра). Параметры фильтра следует теперь определить так, чтобы при выбранной структуре фильтра суммарная погрешность фильтрации обратилась в минимум. Это – задача параметрической оптимизации фильтра.

2. Заданы энергетические спектры сигнала и помехи. Необходимо найти структуру фильтра, то есть форму его АЧХ, при которой дисперсия суммарной погрешности фильтрации обратится в минимум. Это – задача структурной оптимизации, которая решается гораздо более сложно.