Модуляция и детектирование измерительных сигналов

6. Модуляция и детектирование измерительных сигналов

Под модуляцией понимается процесс внесения измерительной информации, содержащейся в первичном сообщении, в невозмущенный сигнал-носитель  посредством пропорционального  изменения его информативного параметра b. В результате получается модулированный сигнал . Первичное сообщение  часто называют модулирующим сигналом. Обратный процесс, при реализации которого из измерительного сигнала  восстанавливается исходное сообщение , называется демодуляцией или детектированием.

Схема модуляции и детектирования представлена на рис. 6.1. В результате демодуляции мы можем получить только оценку  первичного сообщения , поскольку:

- с некоторыми погрешностями работают и модулятор и демодулятор,

- в процессе передачи и преобразований модулированный сигнал подвергается воздействию помех.

Разность  называется погрешностью модуляции – детектирования.

6.1 Виды модуляции

В качестве сигналов – носителей чаще всего используются:

- сигналы постоянного уровня (сигналы постоянного тока),

Рекомендуемые материалы

- синусоидальные сигналы (сигналы переменного тока),

- импульсные сигналы (последовательности прямоугольных импульсов).

Тип сигнала – носителя определяет вид модуляции.

1. Носитель – сигнал постоянного уровня  (рис. 6.2). Единственным параметром сигнала является его уровень , поэтому возможен единственный вид модуляции – модуляция уровня сигнала или прямая модуляция. Модулированный сигнал в линейном приближении описывается выражением

,

где  - чувствительность устройства, реализующего процесс модуляции.

Взаимосвязь между сигналом – носителем, модулирующим сигналом и модулированным сигналом при прямой модуляции иллюстрируются на рис. 6.2 Уровень модулированного сигнала (ПМ – сигнала) в каждый момент времени пропорционален текущему значению модулирующего сигнала, то есть первичного сообщения.

2. Носитель – синусоидальное колебание

где    - амплитуда, - начальная фаза, - частота (несущая частота) невозмущенного носителя.

Таким образом, имеется три независимых параметра, каждый из которых может быть связан с первичным сообщением. Здесь возможны три вида модуляции:

- АМ – модуляция. В зависимости от первичного сообщения изменяется амплитуда  синусоидального колебания.

- ФМ – модуляция. В зависимости от первичного сообщения изменяется фаза  синусоидального колебания.

- ЧМ – модуляция. В зависимости от первичного сообщения здесь изменяется частота ω синусоидального колебания.

На рис. 6.3 представлены графики первичного сообщения , невозмущенного сигнала – носителя , АМ – , ФМ – и ЧМ – модулированных сигналов. На рис. 6.3 наглядно видно, что модулированные сигналы для последних двух видов модуляции очень похожи друг на друга. Поэтому их часто объединяют в один тип модуляции и называют угловой модуляцией

3.      Носитель – последовательность прямоугольных импульсов. Здесь имеется четыре независимых параметра – амплитуда импульсов, частота их следования, смещение по фазе (или по времени) относительно исходной (невозмущенной) последовательности и ширина отдельных импульсов. В соответствии с этим последовательность прямоугольных импульсов порождает большее число видов модуляции.

- АИМ – амплитудно-импульсная модуляция, при которой амплитуда импульсов изменяется пропорционально первичному сообщению, причем вершины импульсов повторяют форму сообщения λ(t).

- ФИМ – фазоимпульсная модуляция. Первые короткие импульсы каждого периода Т являются опорными, а временной (или фазовый) сдвиг вторых импульсов относительно опорных зависит от первичного сообщения .

- ЧИМ – частотно-импульсная модуляция, при которой частота следования импульсов зависит от первичного сообщения.

- ШИМ – широтно-импульсная модуляция, при которой моменты появления импульсов по прежнему образуют периодическую последовательность (с периодом Т), а ширина импульсов пропорциональна значению сообщения .

Кроме того, существует еще целый ряд вариантов этих четырех видов импульсной модуляции, отличающихся некоторыми особенностями. На рис. 6.4 представлены последовательно следующие графики:

- исходная последовательность прямоугольных импульсов,

- первичное сообщение,

- АИМ – сигнал,

- ЧИМ – сигнал вместе с исходной последовательностью импульсов,

- ФИМ – сигнал вместе с исходной последовательностью импульсов,

- ШИМ – сигнал вместе с исходной последовательностью импульсов.

6.2 Амплитудная модуляция

6.2.1 АМ – сигнал

При амплитудной модуляции невозмущенный носитель

преобразуется в АМ – сигнал

,

где    - несущая частота,

- начальная фаза,

- амплитуда невозмущенного носителя,

- часть амплитуды АМ – сигнала, зависящая от первичного сообщения  и передающая измерительную информацию.

В линейном приближении

,

где  - коэффициент, определяемый параметрами амплитудного модулятора, то есть устройства, реализующего процедуру амплитудной модуляции, и поэтому в общем случае

6.2.2 Однотональная модуляция

Рассмотрим в начале простейший случай однотональной модуляции, когда  - низкочастотное (по отношению к несущей частоте ) синусоидальное колебание. АМ - сигнал принимает вид:

В этом случае отношение

называется индексом или коэффициентом амплитудной модуляции, характеризующим глубину модуляции носителя. На рис. 6.5 представлены графики следующих сигналов:

- первичное сообщение ,

- несущее колебание E(t),

- АМ – сигнал с индексом модуляции ,

-  АМ – сигнал с перемодуляцией .

Графики на рисунках ясно показывают, что первичное сообщение преобразуется в узкополосный сигнал со средней частотой, равной частоте сигнала – носителя. Огибающая этого сигнала повторяет по форме первичное сообщение, поэтому детектирование сигнала сводится к выделению огибающей с помощью преобразования Гильберта.

Сложности возникают при перемодуляции. Здесь первичное сообщение уже не совпадает с огибающей модулированного сигнала. Различие заключается только в полярности сигнала.

Чтобы уловить более тонкие особенности модулированного сигнала при наличии перемодуляции, на рис. 6.5 внизу в увеличенном виде изображены графики:

- сигнала – носителя (точечный график),

- модулированного сигнала (сплошная линия),

- огибающей сигнала (сплошная линия).

После достижения нуля огибающая начинает вновь возрастать, между тем как первичное сообщение все еще убывает (штриховая линия на последнем графике рис. 6.5). Одновременно с этим в данной точке происходит изменение на π фазы модулированного сигнала по отношению к сигналу - носителю. Если раньше модулированный сигнал и сигнал – носитель колебались синхронно, то в дальнейшем они изменяются в противофазе. Это изменение фазы может быть использовано для изменения полярности огибающей на обратную в момент, когда она достигает нулевого значения.

Для получения спектра однотонального АМ – сигнала раскроем скобки в его представлении и выполним некоторые тригонометрические операции, предварительно приравняв нулю начальные фазы:

Сигнал состоит, таким образом, из трех гармонических колебаний:

- несущее колебание с частотой ,

-

два колебания с частотами  соответственно.

Эти две частоты называются боковыми частотами или частотами – спутниками. Спектр однотонального АМ – сигнала представлен на рис.6.6. Спектр состоит из трех линий: на несущей частоте и на двух боковых частотах. Для верхней боковой частоты фаза первичного сообщения складывается с фазой несущего колебания, а для нижней боковой частоты – вычитается.

6.2.3 Спектральное представление АМ – сигналов

Пусть теперь  - реализация случайного стационарного сигнала  с нулевым средним значением и корреляционной функцией . Модуляция осуществляется синусоидальным колебанием, в общем случае, со случайной начальной фазой . Тогда модулированный сигнал имеет вид:

.

Будем считать, что начальная фаза  не зависит от сообщения  и распределена равномерно в интервале .

Корреляционная функция модулированного сигнала по определению составляет:

Учитывая, что  - центрированный сигнал и поэтому  и что начальная фаза распределена равномерно в интервале от –π до +π, полученное выражение упрощается:

Полученное соотношение устанавливает взаимосвязь между корреляционной функцией исходного сигнала – первичного сообщения  и корреляционной функцией модулированного сигнала . Корреляционная функция, как и сам сигнал, подвергается модуляции на той же частоте . Кроме того, корреляционная функция модулированного сигнала не затухает до нуля, но колеблется с частотой несущего колебания, как это и должно быть для узкополосного сигнала. Это говорит о том, что в спектре модулированного сигнала должен присутствовать  - импульс Дирака.

Вычислим теперь спектральную плотность мощности АМ – сигнала, считая заранее известной спектральную плотность мощности  первичного сообщения:

Заменив произведений косинусов, стоящих под знаками интегралов, на полусуммы косинусов сумм и разностей соответствующих аргументов, можно получить развернутое выражение для спектральной плотности АМ – сигнала:

Используя свойства преобразования Фурье и интегральные выражения для δ – функций, получим окончательно:

Спектральная плотность мощности АМ – сигнала состоит, таким образом, из двух δ – импульсов на частотах  и двух копий спектральной плотности мощности первичного сообщения, перенесенных на те же два значения несущей частоты. На рис. 6.7 представлены графики спектральных плотностей мощности:

-  для первичного сообщения ,

-  для АМ – сигнала при несущей частоте 400 рад/с,

-  для АМ – сигнала при несущей частоте 100 рад/с.

Видно. что при модуляции спектр первичного сообщения раздваивается и переносится на несущую частоту. На спектрах модулированных сигналов видны δ – всплески на несущей частоте. При малой несущей частоте полного раздвоения спектра не происходит. Хвосты смещенных спектров перекрываются, и результирующий спектр уже меньше походит на спектр первичного сообщения.

Теперь вычислим мощность, то есть дисперсию модулированного АМ – сигнала. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля:

Учитывая свойства δ – функций и то обстоятельство, что

,

окончательно получим для мощности АМ – сигнала следующее выражение:

Отсюда наглядно видно, что основная доля мощности передаваемого АМ - сигнала приходится на мощность несущего колебания, бесполезного в информационном отношении. Мощность первичного сообщения занимает в общей мощности только очень малую долю. Поэтому иногда используется амплитудная модуляция с подавленной несущей, когда АМ – сигнал принимает вид

.

Ясно, что при этом возникает явление перемодуляции, но это может быть учтено при детектировании сигнала.

6.2.4 Схемы включения параметрических преобразователей как схемы АМ - модуляции

Практически АМ – модуляция всегда реализуется при построении потенциометрических и мостовых схем включения параметрических преобразователей при их питании переменным током.

Рассмотрим простой пример. Имеется ёмкостный преобразователь малых перемещений (рис. 6.8). Преобразователь состоит из двух пластин, одна из которых (1) неподвижна, а вторая пластина (2) жестко связана со штоком преобразователя и перемещается вместе с ним. Эти две пластины образуют конденсатор, емкость которого зависит от площади пластин и расстояния между ними:

,

где    S – площадь пластин,

         d – расстояние между пластинами,

          - диэлектрическая постоянная.

Расстояние между пластинами d равно сумме некоторого начального значения  и измеряемого перемещения штока преобразователя. Это перемещение и является в данном случае первичным сообщением . Таким образом,  и поэтому

.

Этот конденсатор включается последовательно с резистором, имеющим сопротивление R, и схема, состоящая из сопротивления R и емкости , питается переменным напряжением . Ток, протекающий в цепи, составляет:

.

Напряжение, снимаемое с сопротивления R, является выходным сигналом и, без учета фазовых искажений, может быть записано в виде:

.

Подставляя сюда выражение для емкости конденсатора через первичное сообщение и параметры преобразователя, получим окончательно:

.

Раскладывая полученное выражение в степенной ряд относительно  получаем в линейном приближении:

.

Если теперь ввести обозначения:

,

то выходной сигнал примет вид, характерный для АМ – сигнала:

Таким образом, потенциометрическая схема включения емкостного преобразователя обеспечивает амплитудную модуляцию измеряемого, переменного во времени перемещения , на несущей частоте, равной частоте напряжения питания потенциометрической схемы.

6.2.5 Демодуляция АМ - сигналов

Теперь посмотрим, как из АМ – сигнала можно восстановить первичное сообщение, то есть получить сигнал постоянного тока, пропорциональный первичному сообщению.

Простейший способ демодуляции основан на использовании двухполупериодной схемы выпрямления сигнала. В результате такого выпрямления появляется сигнал, пропорциональный модулю исходного АМ – сигнала. Он состоит из косинусоидальных импульсов, которые теперь нужно пропустить через фильтр нижних частот, который сгладит эти импульсы.

После сглаживания в составе сигнала останется низкочастотная составляющая, пропорциональная первичному сообщению, и шум демодуляции, представляющий собой колебания с основной частотой, равной удвоенной частоте носителя, не до конца подавленные фильтром низких частот. Кроме того, имеют место и искажения сигнала, связанные с особенностями частотных характеристик фильтра.

На рис. 6.9 представлены графики, иллюстрирующие работу такого демодулятора. На рисунке последовательно представлены графики коротких фрагментов:

а)      первичного сообщения ,

б)      АМ сигнала на несущей частоте 2000 Гц,

в)      сигнала w(t), получаемого в результате двухполупериодного выпрямления АМ – сигнала, и результата w(t) сглаживания предыдущего сигнала RC - фильтром нижних частот 1-го порядка с постоянной времени T=RC=0.001 c. После смещения нуля на 0,643В и усиления в 6 раз получается сигнал  (см. рис. 6.9), который уже очень близок к первичному сообщению, но отстает от него примерно на 0,0009 с. На рис. 6.10 представлен фрагмент графика изменения погрешности детектирования на том же интервале времени (0,73 – 0,74 с), построенный с учетом этого временного запаздывания.

Для устранения шума можно использовать более изощренные фильтры, нежели примененный в данном примере фильтр 1-го порядка.

При наличии перемодуляции или при использовании амплитудной модуляции с подавленной несущей описанный алгоритм демодуляции неприемлем, поскольку огибающая АМ – сигнала (рис. 6.11-В) после выпрямления (рис. 6.11-С) уже не будет повторять форму первичного сообщения (рис. 10А)

В этих случаях используется другой алгоритм – алгоритм синхронного детектирования. Реализующие его электронные схемы также называются синхронными детекторами.

Сущность синхронного детектирования заключается в следующем.

1. АМ – сигнал, например, сигнал с подавленной несущей

умножается на опорное колебание

.

В результате перемножения получается сигнал

который содержит в себе:

- первичное сообщение, увеличенное в  раз,

- быстро изменяющееся колебание с частотой, в два раза превышающей частоту несущего сигнала (кривая на рис. 6.11-D).

2. Далее полученный сигнал подвергается низкочастотной фильтрации. В результате получается нечто, похожее на первичное сообщение (кривая, примерно вдвое меньшего размаха на рис. 6.11-D). После усиления сигнала в  раз получается первичное сообщение, но содержащее в себе останки несущего колебания, которые образуют шум демодуляции.

Следует также помнить, что фазовые искажения, сопутствующие низкочастотной фильтрации, приводят к запаздыванию выходного сигнала синхронного детектора относительно первичного сообщения. Если используется простейший RC- фильтр первого порядка (апериодическое звено первого порядка), выходной сигнал будет запаздывать на время, примерно равное постоянной времени фильтра .

При синхронном детектировании возможно возникновение еще двух погрешностей:

- при несовпадении фаз несущего колебания и опорного колебания, используемого для детектирования, уровень демодулированного сигнала уменьшается пропорционально косинусу разности фаз,

- при несовпадении частот несущего колебания и опорного колебания, используемого для детектирования, на демодулированный сигнал накладываются биения с частотой, равной разности частот этих колебаний.

Для обеспечения синхронности и синфазности несущего и опорного сигналов используются специальные схемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которые изучаются в курсе электроники.

6.3 Угловая модуляция

Как уже было показано ранее, частотная и фазовая модуляции очень похожи друг на друга, поэтому их и объединяют под общим термином «угловая модуляция». Но все-таки каждый вид модуляции имеет свои особенности, которые следует рассмотреть более подробно.

6.3.1 Частотная модуляция

При частотной модуляции пропорционально первичному сообщению  изменяется мгновенная частота невозмущенного носителя:

,

где  - несущая частота,

- коэффициент частотной модуляции, определяемый параметрами частотного модулятора,

  изменение частоты под действием первичного сообщения .

Наибольшее изменение частоты  называется девиацией частоты, а отношение  - глубиной частотной модуляции. Поскольку полная фаза колебания определяется как интеграл от мгновенной частоты, то ЧМ – сигнал должен иметь вид:

.

Если первичное сообщение  является реализацией случайного стационарного гауссова сигнала с корреляционной функцией , то можно показать, хотя это и довольно сложно, что ЧМ – сигнал будет также стационарным с корреляционной функцией:

.

Отсюда следует, что показатель экспоненты при  стремится к . Это означает, что корреляционная функция ЧМ – сигнала затухает до нуля, поэтому спектр ЧМ – сигнала не содержит особенностей в виде δ – импульсов. Этим частотная модуляция существенно отличается от амплитудной модуляции.

Пример

Первичное сообщение  имеет корреляционную функцию . График корреляционной функции представлен в верхней части рис.6.12, а рядом с ним, справа, изображен график спектральной плотности мощности для этого первичного сообщения. Как видно из графика, протяженность спектра первичного сообщения лишь ненамного превышает значение, равное 150 рад / сек.

Это первичное сообщение подвергает частотной модуляции сигнал – носитель с амплитудой 10 В на несущей частоте 400 рад / сек. Коэффициент частотной модуляции .

В результате частотной модуляции получается сигнал, корреляционная функция которого представлена в нижнем левом углу рис. 6.12. Справа изображен график спектральной плотности мощности этого сигнала.

Корреляционная функция затухает, как ей это и положено, колеблясь вокруг нуля с частотой, равной частот несущего колебания. Спектр сигнала после модуляции сместился в область несущей частоты, ширина спектра составляет, приблизительно, 400 рад / сек.

Таким образом, в отличие от амплитудной модуляции, ЧМ – сигнал имеет следующие особенности:

- мощность, то есть дисперсия ЧМ – сигнала не зависит от первичного сообщения и равна половине квадрата амплитуды несущего колебания,

- корреляционная функция ЧМ – сигнала затухает до нуля и имеет колебательный характер с частотой, равной частоте несущего колебания,

- спектр ЧМ – сигнала располагается вокруг частоты несущего колебания,

- спектр ЧМ – сигнала не содержит δ – всплесков,

-
протяженность спектра ЧМ – сигнала превышает протяженность спектра АМ – сигнала при той же спектральной плотности первичного сообщения.

6.3.2 Фазовая модуляция

При фазовой модуляции первичное сообщение с коэффициентом фазовой модуляции  непосредственно изменяет полную фазу носителя:

.

В результате оказывается, что ФМ – сигнал имеет структуру, более простую, чем структура ЧМ – сигнала:

Наибольшее изменение фазы под воздействием первичного сообщения  называется девиацией фазы.

Если первичное сообщение  является реализацией случайного нормального стационарного сигнала с корреляционной функцией , то стационарным будет и ФМ – сигнал, причем его корреляционная функция имеет вид:

При больших τ, когда , корреляционная функция ФМ – сигнала, в противоположность ЧМ – сигналу, не затухает до нуля, но продолжает колебаться с частотой, равной частоте сигнала – носителя:

.

Это говорит о том, что спектр ФМ – сигнала с необходимостью содержит δ – импульс на несущей частоте.

В качестве примера на рис. 6.13 представлен пример корреляционной функции (слева) и спектральной плотности мощности (справа) для сигнала, полученного в результате фазовой модуляции того же самого первичного сообщения, что и на рис. 6.12 при том же самом сигнале – носителе. Коэффициент фазовой модуляции был при этом принят равным 1.0. Из рис. 6.13 ясно видно, что

- корреляционная функция ФМ – сигнала до нуля не затухает,

- что она колеблется вокруг нуля с частотой, равной несущей частоте,

- что спектр сигнала переносится на несущую частоту,

- что спектр сигнала стал более протяженным, чем при частотной модуляции,

- что спектр содержит в себе δ – импульс на несущей частоте.

6.3.3 Демодуляция ЧМ – и ФМ – сигналов

Самый прямой способ демодуляции сигналов, полученных в результате угловой модуляции, заключается в следующем:

- для модулированного сигнала  с помощью преобразования Гильберта вычисляется его квадратурное дополнение ,

- строится аналитический сигнал , где i – мнимая единица,

- определяется фазовая функция  как аргумент комплексного аналитического сигнала.

Характер дальнейших действий зависит от конкретного вида модуляции. При фазовой модуляции фазовая функция равна

,

поэтому для демодуляции сигнала достаточно из фазовой функции вычесть слагаемое :

.

При частотной модуляции фазовая функция имеет вид:

,

поэтому для получения демодулированного сигнала требуется продифференцировать фазовую функцию и из результата вычесть несущую частоту:

Недостатком такого метода демодуляции является то, что для его осуществления требуется иметь весь сигнал полностью. Только после получения всего сигнала его можно подвергнуть преобразованию Гильберта и затем вычислить фазовую функцию. Таким образом, демодуляция сигнала возможна только в режиме off line.

Наиболее удобной альтернативой для демодуляции ЧМ – и ФМ – сигналов в режиме реального времени является квадратурная обработка сигнала.

Обозначим сигнал, получаемый в результате угловой модуляции, как:

,

где               - при фазовой модуляции,

      - при частотной модуляции.

Для получения двух сигналов, находящихся в квадратуре друг относительно друга, умножим УМ – сигнал на два опорных напряжения  и , сдвинутых относительно друг друга на , то есть на . В результате перемножения получаем два сигнала:

,

.

Каждый из этих сигналов содержит две составляющие:

- низкочастотная составляющая, определяемая синусом или косинусом начальной фазы ,

- высокочастотная составляющая (УМ – сигнал на удвоенной несущей частоте).

Путем низкочастотной фильтрации этих двух сигналов можно в большой степени освободиться от высокочастотных составляющих. В результате получим два новых сигнала:

,

Лекция "107 Средства, понижающие проницаемость сосудистой стенки" также может быть Вам полезна.

.

При фазовой модуляции демодулированный сигнал находится как аргумент аналитического сигнала, образуемого парой квадратурных составляющих:

Для демодуляции ЧМ – сигнала полученную фазовую функцию следует продифференцировать:

.

Всю эту многоэтапную процедуру можно реализовать электронной схемой, построенной на соответствующих элементах.