Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа

2.2  Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа  [1,24,25].

Интеграл Фурье. Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных), зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как предельные значения функций суммирования при расширении периода Т до бесконечности.

Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на одном периоде Т в ряд Фурье (формула 3.2.2). Не меняя положения импульса на интервале Т, увеличим значение Т в два раза (продлеваем интервал нулями), при этом выражение (3.2.2) для вычисления спектра остается без изменения, но по ней рассчитывается в 2 раза большее количество гармоник с уменьшением в 2 раза частоты первой гармоники и шага Dw=2p/T. Увеличение интервала Т не влияет на результаты вычисления интеграла функции (3.2.2), т.к. интервал продления заполнен нулевыми значениями сигнала.

По существу, при увеличении периода Т без изменения финитного сигнала форма спектра по оси частот остается без изменения, изменяется только шаг дискретизации спектра и, за счет множителя 1/Т, в 2 раза уменьшаются значения спектра. Новые гармоники располагаются в интервалах между гармониками первого ряда. Пример изменения спектра при увеличении периода Т в 2 раза приведен на рис. 3.2.1.

Рис. 3.2.1.

Процесс можно продолжить дальнейшим последовательным увеличением периода, при этом спектр будет приближаться к непрерывной функции. В пределе, при T ® ¥, периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, дискретные частоты nDw обращаются в непрерывные текущие значения w (Dw = 2p/T ® 0),   суммирование амплитудных значений  заменятся интегрированием, а сами значения спектра становятся бесконечно малыми (1/Т® 0). Для исключения последнего множитель 1/Т из расчетной формулы S(w) исключается, и интегральное преобразование Фурье приобретает следующий вид:

                                         s(t) = (1/2p)S(w)exp(jwt) dw,                           (3.2.1)

                                               S(w) =s(t)exp(-jwt) dt.                                 (3.2.2)

Рекомендуемые материалы

Формулу (3.2.2) обычно называют формулой прямого преобразования Фурье, а формулу (3.2.1) – обратного преобразования Фурье. Этими выражениями устанавливается взаимно однозначная связь сигнала и его спектра, а точнее – плотности спектра сигнала в последовательной полосе малых (стремящихся к нулю) полосах частот. Эту величину называют спектральной плотностью сигнала. Спектральные функции содержат ровно столько информации, сколько и исходный сигнал.

При преобразовании сигнала в пространство гармонических частот и обратно формулы прямого и обратного преобразований Фурье тождественны за исключением знака аргументов экспоненты:

                                               s(t) =S(f)exp(j2pft) df,                                (3.2.1')

                                               S(f) =s(t)exp(-j2pft) dt.                                (3.2.2')

На рис. 3.2.2 сплошной кривой приведен пример непрерывного сигнала s(t), энергия которого сосредоточена на конечном интервале T = (0,25). Если нас не интересует форма данного сигнала за пределами интервала Т, то спектр сигнала в виде ряда Фурье можно определить по формуле (3.2.2). При обратном преобразовании Фурье по формуле (3.2.1), т.е. при восстановлении сигнала по его спектру,  в интервале Т будет восстановлен исходный сигнал s(t). Но если интервал для восстановления будет задан больше интервала Т, например равным 0-2Т, то за пределами этого интервала начнется периодическое повторение исходного сигнала, как это показано пунктиром на рис. 3.2.2. Если такой процесс нежелателен и за пределами интервала Т должны быть сохранены нулевые значения сигнала, то необходимо использовать интегральное преобразование Фурье  (3.2.1, 3.2.2). При этом следует учитывать особенности интегрального преобразования.

Спектральная функция S(w) представляет собой комплексную спектральную плотность сигнала, непрерывную на частотном интервале от - ¥  до  ¥. Если s(t) – вещественная функция, то спектр этой функции является сопряжено симметричным относительно нулевой частоты

S(-w) = S*(w)

и содержит четную действительную и нечетную мнимую части:

     S(w) = A(w) - jB(w),                                      (3.2.3)

     A(w) =s(t)cos(wt) dt,                               (3.2.4)

     B(w) =s(t)sin(wt) dt.                                (3.2.5)

            Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A(w), а вещественные нечетные – нечетный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B(w).

            Пример спектральной функции S(f) для сигнала s(t) на рис. 3.2.2 приведен на рис. 3.2.3. Как правило, графическое отображение спектральных функций выполняется в виде модуля и аргумента спектральной функции (амплитудного и фазового спектра), приведенных на рис. 3.2.4.

                             

                                               Рис. 3.2.3.                                                                          Рис. 3.2.4.

Такое представление аналогично (3.2.3'):

                                               R(w) = ,                                       (3.2.6)

                                               j(w) = arctg(-B(w)/A(w)),                                 (3.2.7)

но в отношении функции модуля также имеет смысл спектральной плотности модуля.

            Заметим также, что сопряженная симметричность спектральной функции позволяет в формулах (3.2.1)-(3.2.2) менять местами знаки аргументов в экспонентах, при этом изменяется только знак мнимой части и аргумента спектра.

            Еще раз подчеркнем различие между спектрами и спектральными функциями сигналов. При практическом использовании формулы (3.2.2) для вычисления спектральных функций конечных сигналов, заданных на определенном интервале Т, пределы интегрирования обычно устанавливаются по границам интервала Т, так как нет необходимости выполнять интегрирование в бесконечных пределах, если за пределами интервала Т мы имеем нулевые (или незначимые) значения сигнала. Однако при сравнении формулы (3.2.2) с выражением (3.2.2) можно наглядно видеть, что значения интеграла (3.2.2) не нормируются на величину интервала Т.  Отсюда следует, что числовые отсчеты значений модуля функции S(w) для определенных значений w_i не являются амплитудными значениями соответствующих гармонических колебаний с частотой w_i. Значения S(w) по сравнению со значениями функции S(nDw) по (3.2.2) при nDw = w_i  завышены на множитель Т. Это можно объяснить тем, что обратное преобразование Фурье по (3.2.1) представляет собой прямое суммирование гармоник с соответствующими амплитудами колебаний, в то время как интегрирование по (3.2.1) представляет собой предельное суммирование значений S(w_i)×dw_i, где dw = 2p/T (или, в обычном частотном представлении, df = 1/T) при Т Þ ¥.

            Что касается спектра фазовых углов, то значения по (3.2.7) и по (3.2.3') при nDw = w_i полностью совпадают, так как их вычисление производится по отношению мнимой и действительной части спектра, наличие (или отсутствие) постоянного множителя в которых не меняет значение отношения.

Тригонометрическая форма интеграла Фурье (при объединении комплексно сопряженных частей спектральных функций):

                        s(t) = (1/2p) [A(w)cos(wt)+B(w)sin(wt)] dw.                     (3.2.8)

                              s(t) = (1/2p)R(w)cos(wt - j(w)) dw.                             (3.2.8')

Прямое и обратное преобразование Фурье подобны. Любая теорема, доказанная для прямого преобразования Фурье, справедлива и для обратного преобразования, и наоборот. Это непосредственно следует из выражений прямого и обратного преобразования Фурье, которые различаются только знаком в экспоненте. Особенно наглядно (см. рис. 3.2.5) это видно для четных сигналов (заданных функциями, симметричными относительно t = 0), для которых В(w) = 0 и, соответственно, фазовый спектр равен нулю:

s(t) = 2S(f)cos(2pft)df,        S(f) = 2s(t)cos(2pft)dt.

В математическом анализе для упрощения записей используют символическую форму обозначения преобразования Фурье:

s(t) Û S(f),      s(t) Û S(w),

где, в общем случае, как фурье-образ функции, так и она сама могут быть комплексными.

            Для физических сигналов и их достаточно корректных математических моделей преобразование Фурье, как правило,  всегда существует. С чисто математических позиций сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(w), если существует интеграл:

|s(t)| dt < ¥.                                      (3.2.9)

            Преобразование Лапласа. Если условие (3.2.9) не выполняется, то определенные приближения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является преобразование Лапласа.

            Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ¥), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции (3.2.2) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(-ct), где с - положительная константа, и выберем значение 'с' таким, чтобы произведение u(t) = s(t)×exp(-ct) удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 3.2.6. Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента 'c'. При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (3.2.2):

U(w,c) =[s(t) exp(-ct)] exp(-jwt) dt.

            После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом:

      U(c+jw) =s(t) exp[-(c+jw)t] dt.                          (3.2.10)

            Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U(c+jw):

(1/2p)S(c+jw) exp(jwt) dw = s(t) exp(-ct).

            Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на exp(ct), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования w на c+jw:

        s(t) = (1/2p)S(c+jw) exp[(c+jw)t] d(c+jw).                (4.2.11)

            Обозначим комплексную переменную c+jw в выражениях (3.2.10,3.2.11) через р и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:

S(p) =s(t) exp[-pt] dt.                                    (3.2.10')

s(t) = (1/2p)S(p) exp(pt) dp.                      (3.2.11')

            Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) - изображением оригинала. Пример спектральной функции Лапласа для оригинала - сложного и неограниченного во времени сигнала, состоящего из каузальной суммы трех гармоник, приведен на рис. 3.2.7. По спектральной функции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их амплитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении "чистых" гармоник зависит от значения коэффициента 'c' и уменьшается при его уменьшении.

Если вместо р в изображениях оригинала подставить переменную jw, то будут получены спектральные функции, полностью идентичные преобразованию Фурье каузальных функций (имеющих нулевые значения при t<0).

Обобщенный ряд Фурье.  Тригонометрические функции не является единственно возможными функциями разложения сигналов. В общем случае разложение сигнала s(t) на интервале (a, b) в ряд вида c_kj_k(t) может быть выполнено по произвольным функциям j_k(t). При задании минимальной погрешности приближения

Ds =[s(t) - c_kj_k(t)]² dt

коэффициенты c_k могут быть найдены из системы линейных уравнений:

 =[s(t) - c_kj_k(t)]² dt = 0,    k = 0,1,2,…N.

При линейной независимости функций j_k(t) данная система уравнений имеет единственное решение. Если все функции j_k(t) взаимно ортогональны и соответствующей нормировкой обеспечена их ортонормированность

j_m(t) j_n(t) dt =,

то процесс нахождения коэффициентов c_k оказывается наиболее простым:

c_k =s(t) j_k(t) dt,

и для принятого значения N погрешность приближения Ds является минимальной. Если при N ® ¥ имеет место Ds ® 0, система функций j_k(t) называется базисной системой координат пространства сигналов L²[a, b] . При этом имеет место равенство:

s(t) =c_kj_k(t).

Разложение по ортонормированной системе базисных функций называется обобщенным рядом Фурье, а набор коэффициентов c_k представляет собой спектр функции s(t) в соответствующем базисе. В зависимости от специфики решаемых задач применяются различные системы базисных функций. В частности, используются разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функциям Хаара и Уолша и т.п.

2.3  Свойства преобразований Фурье   [1,17,21].

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a_ns_n(t) Û a_nS_n(w).                                      (4.3.1)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 3.2.1:

Рис. 3.2.1. Сигналы и их спектры.  s0(k)=s1(k)+s2(k) Û S1(w)+S2(w) = S0(w).

2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 3.2.2. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный  четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена  нулевыми значениями).   Сигнал s2(k) = -s2(-k)  нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Рис. 3.2.2. Свойства четности преобразования.

3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Действительно, если s(t) Û S(w), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем:

s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a)s(x)exp(-jxw/a) dx 

                                               s(at) Û (1/a) S(w/a).                                            (3.2.2')

Выражение (3.2.2') действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

                                               s(at) Û -(1/a) S(w/a).                                           (3.2.2'')

            Обобщенная формула изменения аргумента:

                                               s(at) Û (1/|a|) S(w/a),  a ≠ 0                                  (3.2.2)

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 3.2.1. для сигналов s1(k) и s2(k) и их спектров S1(w) и S2(w).

От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t=1 секунда, масштаб оси частот f=1/t=1 герц, а при t=1 мксек  f=1/t=1 МГц  (t=at,  f=1/at, a=10^-6).

4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал  t_o  приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину  -wt_o  без изменения модуля (амплитудной функции) спектра. Применяя замену переменной t-t_o = x, получаем:

s(t-t_o)Ûs(t-t_o)exp(-jwt) dt=s(x)exp(-jwx)exp(-jwt_o) dx= S(w)exp(-jwt_o)     (3.2.3)

Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не должны. С учетом того, что |exp(-jwt_o)|=1, это следует и из (3.2.3):

|S(w) exp(-jwt_o)| = |S(w)|.

            Фазовый спектр сдвигается на -wt_o с линейной зависимостью от частоты:

    S(w) exp(-jwt_o) = R(w) exp[j(j(w)] exp(-jwt_o) = R(w) exp[j(j(w)-wt_o)].         (3.2.4)

Рис. 3.2.3. Изменение спектра сигнала при его сдвиге.

Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на t_o=1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 3.2.3.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

s(t) = d[y(t)]/dt = d[Y(w) exp(jwt) dw]/dt =Y(w) [d(exp(jwt))/dt] dw =

= jw Y(w) exp(jwt) dw Û  jw Y(w).                         (3.2.5)

            Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jw, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jw приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

Рис. 3.2.4. Спектры сигнала и его производной.

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 3.2.4. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на p/2 (90⁰) для положительных частот, и на -p/2 (-90⁰) для отрицательных частот.

            В общем случае, для кратных производных:

dⁿ[y(t)]/dtⁿ = (jw)ⁿ Y(w).                                     (3.2.6)

            6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d[y(t)]/dt Û jw Y(w) = S(w), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Û Y(w) = S(w)/jw. Отсюда следует:

s(t)dt Û (1/jw)S(w).                                         (3.2.7)

Рис. 3.2.5. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.

Оператор интегрирования в частотной области (1/jw) при w>1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90⁰ для положительных частот и на 90⁰ для отрицательных.  Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведены на рис. 3.2.5.

            Формула (3.2.7) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С=const в правой части выражения (3.2.7) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой, как будет показано ниже, дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С: 

y(t) = (1/jw)S(w) + C·d(w_o).

7. Преобразование свертки  сигналов  y(t) = s(t) _* h(t):

Y(w) =y(t) exp(-jwt) dt =s(t) h(t-t) exp(-jwt) dtdt.

Y(w) =s(t) dth(t-t) exp(-jwt) dt.

По теореме запаздывания (3.2.3):

h(t-t) exp(-jwt) dt = H(w) exp(-jwt).

Отсюда:            Y(w) =H(w) s(t) exp(-jwt) dt = H(w)·S(w).

                                               s(t) _* h(t) Û S(w) H(w).                                        (3.2.8)

Рис. 3.2.6. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.

Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 3.2.6. Отметим, что частотное представление H(w) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H(w) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы (операции).

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций.

Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных.

Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует определенную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s(t) с оператором системы h(t). С использованием преобразования свертки эта операция может производиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом обработка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной области, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной области. Она представляет собой последовательность следующих операций.

1. Перевод сигнала в частотную область:  s(t) Û S(w).

2. Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы: Y(w) = H(w)·S(w).

Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h(t) Û H(w) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h(t) с бесконечной импульсной характеристикой.

            3. Перевод спектра обработанного сигнала во временную область: Y(w) Û y(t).

8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)·h(t):

Y(w) =s(t) h(t) exp(-jwt) dt =s(t) [(1/2p)H(w') exp(jw't) dw'] dt =

= (1/2p)s(t)H(w') exp(-j(w-w')t) dw'dt = (1/2p)H(w') dw's(t) exp(-j(w-w')t) dt =

                                  = (1/2p)H(w') S(w-w') dw' = (1/2p) H(w) _* S(w).                   (3.2.9)

Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.

9. Спектры мощности. Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:

w(t) = s(t) s^*(t) = |s(t)|².

            Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s^*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

                                              W(f) = S(f) _* S^*(f) =S(f) S^*(f-v) dv.                          (3.2.10)

            Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения  равен произведению S(f)·S^*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S^*(f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

                                                        W(f) = S(f) _* S^*(f) = |S(f)|².                                    (3.2.11)

Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

W_xy(f) = X(f) Y*(f),

W_yx(f) = Y(f) X*(f),

W_xy(f) = W*_yx(f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[W_xy(f)] - четная функция, а Im[W_xy(f)] - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

E_xy = (1/2p)W_xy(w) dw = (1/p)Re[W_xy] dw,

и всегда является вещественным числом.

10. Равенство Парсеваля.  Полная энергия спектра сигнала:

                                                      E_s =W(f) df =|S(f)|² df.                               (3.2.12)

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

Рекомендация для Вас - 50 Конституция РК.

|s(t)|² dt =|S(f)|² df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

x(t) y*(t) dt =X(f) Y*(f) df.

            Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

(x(t),y(t)) = (X(f),Y(f)),     ||x(t)||² = ||X(f)||².

            Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p.