Лекции 5- 6

1. Количественные характеристики надежности работоспособного состояния тс

1.1. Общие замечания

Надёжность, как свойство ТС , проявляется в полной мере в процессе её эксплуатации. Для эксплуатации сложных систем характерна цикличность. Нормальный цикл эксплуатации системы длительного (многократного) использования состоит из подготовки к работе безотказной работы, простоев и профилактических мероприятий.

На длительность нормального цикла оказывают существенное влияние : условия эксплуатации и надежность.

Чем менее надежна система, тем чаще проводятся профилактические мероприятия, а их длительность возрастает. Малонадёжная ТС также требует более длительной ее подготовки к работе. Все это приводит к увеличению длительности цикла эксплуатации, уменьшению числа рабочих циклов в течение всего срока службы аппаратуры, сокращению суммарного времени ее работы и увеличению эксплутационных расходов.

Время простоев в нормальном цикле эксплуатации характеризует эффективность использования аппаратуры и может существенно влиять на ее надежность. Если потеря надёжности в процессе работы системы компенсируется ее полезной работой, то в процессе простоя она теряется бесполезно. Потеря надёжности в течение времени простоя аппаратуры приводит к увеличению частоты и длительности профилактических мероприятий, а значит, вновь ведет к увеличению длительности цикла нормальной эксплуатации и к уменьшению числа циклов в течение всего срока службы аппаратуры.

Нормальный цикл работы может нарушаться случайным возникновением отказов. Возникновение отказа приводит к необходимости увеличения времени простоя аппаратуры, потребного для отыскания и устранения отказа, а, следовательно, опять же приводит к увеличению цикла эксплуатации.

Из сказанного вытекает, что длительность цикла нормальной эксплуатации и число циклов в течение всего периода эксплуатации могут достаточно полно характеризовать надежность системы. Однако указанные критерии не характеризуют отдельных временных составляющих цикла нормальной эксплуатации. Поэтому наиболее целесообразно анализировать надёжность системы в процессе ее работы и в процессе простоя, а затем уже на основании проведенного анализа устанавливать время на подготовку аппаратуры и профилактические мероприятия. Необходимо, чтобы число нормальных циклов в течение всего периода эксплуатации системы было максимальным, а время, потребное на подготовку и профилактические мероприятия, было минимальным.

Отказы и временные составляющие цикла эксплуатации можно рассматривать как случайные процессы. Тогда количественные характеристики надежности будут иметь вероятный характер. При этом количественным характеристикам полезно давать статистическое и вероятностное толкование. Первое оказывается необходимым при определении количественных характеристик надежности из опыта, второе- при теоретическом анализе надежности.

Для оценки надежности ТС применяют ряд характеристик. А именно:

Рекомендуемые материалы

· вероятность безотказной работы;

· среднее время между отказами;

· интенсивность отказов;

· частота отказов;

· показатели циклов работы ЭТС.

1.2. Вероятность безотказной работы. Вероятность отказа

Вероятностью безотказной работы ТС называется вероятность того, что она будет сохранять свои характеристики (параметры) в заданных пределах в течение определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации ТС, или вероятность того, что в определенных условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы отказ не возникает.

Пусть t – время, в течение которого необходимо определить вероятность безотказной работы, а Т_{1 –} время работы ЭТС от ее включения до первого отказа. Тогда, согласно определению вероятности безотказной работы, справедливо выражение:

, (1.1)

т.е. вероятность безотказной работы – это вероятность того, что продолжительность работы Т₁ от момента включения ТС до ее отказа будет больше или равно времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта характеристика является функцией времени. Она имеет следующие очевидные свойства:

1) является убывающей функцией времени;

2) изменяется в пределах от 0 до 1:;

3) при  : .

Вероятность безотказной работы определяется следующей статистической оценкой:

, (1.2)

где N₀ – число образцов аппаратуры в начале испытания, n(t) – число отказавших образцов за время t.

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы, или вероятность отказов. Исправная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными. Поэтому вероятность безотказной работы и вероятность отказа связаны зависимостью:

СОКРАЩЕНО

Для статистического определения вероятности отказа используют выражение:

. (1.9)

Вероятность безотказной работы , как количественная характеристика надежности, обладает следующими достоинствами:

1) характеризует изменение надежности во времени;

2) может включаться в другие характеристики надежности ТС, а поэтому может быть полезна широкому кругу лиц, занимающихся вопросами проектирования, эксплуатации, ремонта и т.п. Например, вероятность безотказной работы наряду с точностью и живучестью определяет боевую эффективность оружия, а поэтому является необходимой для исследователя военных операций и полководца. Она определяет также стоимость изготовления и эксплуатации ТС, а поэтому может быть полезной инженеру-экономисту;

Однако вероятность безотказной работы имеет также существенные недостатки:

Она характеризует надежность восстанавливаемых систем только до первого отказа, а поэтому является достаточно полной характеристикой надежности только систем разового использования;

.

Эти недостатки позволяют сделать вывод, что вероятность безотказной работы, не полностью характеризует такое свойство как надежность, и поэтому не может быть с ним отождествлена.

1.3. Частота отказов. Средняя частота отказов

Частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов ТС в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.

Так как число отказавших образцов в интервале времени  может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов является функцией времени. Для этой характеристики в дальнейшем применяют обозначение α(t).

Согласно определению

, (1.10)

где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до ; N_{0 –} число образцов ТС, первоначально установленных на испытание; – интервал времени.

Выражение (1.10) является статистическим определением частоты отказов. Этой количественной характеристике надежности легко дать функциональное вероятностное определение. Вычислим n (t), т.е. число образцов, отказавших в интервале. Очевидно,

n(t) = -[N(t + ) – N(t)], (1.11)

где N(t) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t; N(t +) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t +.

При достаточно большом числе образцов (N₀) справедливы соотношения:

N(t) = N₀P(t);

N(t+) = N₀P(t+). (1.12)

Подставляя выражение (1.11) в выражение (1.10) и учитывая выражение (1.12), получим:

,

а с учетом выражения (1.4) получим:

 (1.13)

Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени возникновения отказов существуют однозначные зависимости. Эти зависимости на основании (1.13) и (1.4) имеют вид:

; (1.14)

. (1.15)

Отметим некоторые особенности определения . При определении a(t) из экспериментальных данных фиксируется число отказавших образцов n(t) за промежуток времени при условии, что все отказавшие ранее образцы не восполняются исправными. Это означает, что частоту отказов можно использовать для оценки надежности только такой ТС, которая после возникновения отказа не ремонтируется и в дальнейшем не эксплуатируется (например, ТС разового использования, простейших элементов, не поддающихся ремонту, и т.п.). В противном случае частота отказов характеризует надежность ТС лишь до первого ее отказа.

Оценить с помощью частоты отказов надежность ТС длительного пользования, которая может ремонтироваться, затруднительно. Для этой цели необходимо иметь семейство кривых α(t), полученных: до первого отказа, между первым и вторым, вторым и третьим отказами и т.д,

Надежность ТС длительного использования можно характеризовать частотой отказов, полученной при условии замены отказавшей аппаратуры исправной.

Частота отказов, полученная при условии замены отказавшей ТС исправной (новой или восстановленной), иногда называется средней частотой отказов и обозначается .

Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя, заменяются исправными (новыми или восстановленными).

Таким образом,

, (1.16)

где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до , N₀ – число испытываемых образцов (N₀ остается в процессе испытания постоянным, так как все отказавшие образцы заменяются исправными), – интервал времени.

Средняя частота отказов обладает следующими важными свойствами:

1) . Это свойство становится очевидным, если учесть, что ;

2) независимо от вида функции α(t) при средняя частота отказов стремится к некоторой постоянной величине;

3) главное достоинство средней частоты отказов как количественной характеристики надежности состоит в том, что она позволяет довольно полно оценить свойства ТС, работающих в режиме смены элементов. К таким ТС относят сложные автоматические системы, предназначенные для длительного использования. Подобные системы после возникновения отказов ремонтируются и затем вновь эксплуатируются;

К недостаткам средней частоты отказов следует отнести сложность определения других характеристик надежности, и в частности основной из них вероятности безотказной работы, при известной .

ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ОТКАЗОВ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Сложная система состоит из большого числа элементов. Введем понятие суммарной частоты отказов сложной системы.

Суммарной частотой отказов называется число отказов ТС в единицу времени, приходящееся на один экземпляр сложной ТС.

В дальнейшем эту характеристику будем обозначать . Согласно определению, для одного образца

, (1.17)

где 1) n (t) – число отказов аппаратуры за время от до ;

2) – интервал времени.

Если для определения используется несколько сложных образцов, то суммарную частоту отказов вычисляют по формуле:

, (1.18)

где n_i(t) – число отказов i-го образца ТС за время от до ; N_{0 –} число испытываемых образцов ТС; - интервал времени,.

Для анализа показателя суммарной частоты отказов сложной системы отметим, что отказы сложной системы состоят из отказов отдельных элементов, поэтому число отказов n(t) ЭТС будет равно сумме всех отказов элементов. Если N_i-число элементов i-го типа, а - средняя частота отказов элементов i-го типа, то за промежуток времени произойдет отказов элементов i-го типа, а всего число отказов для сложной системы можно определить из соотношения:

_,

где r – число типов элементов.

Тогда для сложной системы суммарную частоту отказов можно определить из соотношения:

, (1.19)

т.е. суммарная частота отказов сложной системы в момент времени t равна сумме средних частот отказов элементов.

1.4. Интенсивность отказов

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших образцов ТС в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.

Эту характеристику обозначают .Согласно определению

 , (1.20)

где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до ; – интервал времени, - среднее число исправно работающих образцов в интервале ; N_i- число исправно работающих образцов в начале интервала , N_i+1 – число исправно работающих образцов в конце интервала .

Выражение (1.20) является статистическим определением интенсивности отказов. Как видно из соотношения для определения  величина  зависит от времени. Для функционального вероятностного представления этой характеристики будем исходить из того, что  может представлять собой функцию времени, которая будучи умножена на элементарный промежуток времени dt может дать возможность рассчитать элементарное значение условной вероятности отказа элемента в интервале времени  или  в предположении, что до момента , элемент работал исправно, т.е. например .

Рассмотрим два события: А – исправная работа элемента до момента , и В – отказ элемента в интервале . Вероятности этих событий соотносятся как

 (1)

 и на основании принципа умножения вероятностей запишем

. (2)

Перепишем значения вероятностей через функциональные значения

 (3)

 (4)

Тогда

(5)

Обозначив по определению

, (6)

Получим

 (7)

Из результирующего соотношения становится возможным выделить функциональные соотношения распределения сроков службы элементов ТС. Интегрируя результирующее дифференциальное выражение для расчета , найдем выражение для группы отказов t

 (8)

Дифференцированием F(t) получим

 (9)

В частном случае при постоянной интенсивности отказов , (10)

Имеем:

;  (11)

Устанавим соотношение между интенсивностью отказов, вероятностью безотказной работы и частотой отказов.

Подставим в выражение (1.20) соотношение для определения n(t) из формул (1.11) и (1.12). Тогда получим:

.

Учитывая выражение (1.3) и то, что N_ср = N₀ – n(t), найдем:

.

Устремляя к нулю и переходя к пределу, получим:

. – функция отказов,

Где -  - производственная вероятность безотказной работы/вероятность безотказной работы.

Интегрируя выражение (1.21), получим:

. (1.22)

Так как , то на основании выражения (1.21) получим:

; (1.23)

. (1.24)

Выражения (1.22) – (1.24) устанавливают зависимость между вероятностью безотказной работы, частотой отказов и интенсивностью отказов. Выражение (1.23) может быть вероятностным определением интенсивности отказов.

Интенсивность отказов как количественная характеристика надежности обладает рядом достоинств. Она является функцией времени и позволяет в достаточной степени наглядно устанавливать функциональные свойства ТС. Это может позволить существенно повысить надежность аппаратуры. Действительно, если известны время приработки (t₁) и время конца работы (t₂), то можно разумно установить время тренировки аппаратуры до начала ее эксплуатации и ее ресурс до ремонта. Это позволяет уменьшить число отказов при эксплуатации, т.е. приводит, в конечном счете, к повышению надежности ТС.

Однако интенсивность отказов как количественная характеристика надежности имеет тот же недостаток, что и частота отказов: она позволяет достаточно просто характеризовать надежность ТС лишь до первого отказа. Поэтому она является удобной характеристикой надежности систем разового применения и, в частности, простейших элементов.

По известной характеристике наиболее просто определяются остальные количественные характеристики надежности.

Указанные свойства интенсивности отказов позволяют ее считать основной количественной характеристикой надежности простейших элементов радиоэлектроники.

1.5. Среднее время безотказной работы. Среднее время между соседними отказами

Средним временем безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы.

Пусть Т- среднее время безотказной работы, тогда для определения среднего времени безотказной работы на основе статистических данных пользуются формулой:

, (1.26)

где t_i- время безотказной работы i-го образца, N₀- число образцов, элементов ТС над которыми проводится испытание.

Из приведенного соотношения видим, что для определения T необходимо знать моменты отказов всех образцов аппаратуры, над которыми проводится эксперимент. При большом числе образцов N₀ это может сильно усложнить эксперимент.

Выражение (1.26) является статистическим определением среднего времени безотказной работы.

Среднее время безотказной работы является одной из наиболее наглядных количественных характеристик надежности. Однако этой характеристике надежности свойственны существенные недостатки. Как математическое ожидание случайной величины, она не может полностью характеризовать время работы ЭТС. Необходимо еще знать, по меньшей мере, относительную ошибку времени работы, т.е. дисперсию времени отказов аппаратуры. Кроме того, эта характеристика не позволяет оценить надежность ТС, время работы которой во много раз меньше среднего времени безотказной работы.

Для ТС длительного использования, работающих в режиме смены отказавших элементов, среднее время безотказной работы до первого отказа может существенно отличаться от среднего времени между первым и вторым отказами, вторым и третьим и т.д. Это означает, что среднее время безотказной работы может характеризовать надежность ТС только до первого отказа. Поэтому надежность ТС длительного использования оценивают, в отличие от среднего времени безотказной работы, так называемой наработкой на отказ.

Этой характеристике дают следующее определение: наработкой на отказ называют среднее значение времени между соседними отказами, при условии восстановления каждого отказавшего элемента.

Обозначают эту характеристику t_ср. Для её расчета справедливо следующее равенство:

  , (1.27)

где t_i – время исправной работы элементов ТС между (i – 1)-м и i-м отказами; n – число отказов элементов ТС за время t.

Из приведенной формулы (1.27) видно, что наработка на отказ является средним временем работы между соседними отказами. Формулой (1.27) удобно пользоваться, если t_ср определяется по данным об отказах лишь одного образца ТС. Если испытание проводится с несколькими образцами, то среднее время их наработки вычисляется по формуле:

 (1.28)

где  - среднее время между соседними отказами i-го образца, N₀ – число испытываемых образцов.

Найти связь среднего времени между соседними отказами с другими количественными характеристиками надежности проще всего через среднюю частоту отказов. Действительно, если известны средние частоты отказов элементов сложной системы, то среднее число отказов системы в любом промежутке времени определяется ее суммарной частотой отказов. Тогда среднее время между соседними отказами за исследуемый период времени  будет равно величие, обратной суммарной частоте отказов, т.е.

 (1.29)

или

, (1.30)

где r – число типов элементов.

Вероятность безотказной работы P(t), частота отказов α(t) (средняя частота отказов ), интенсивность отказов и среднее время безотказной работы T (среднее время между соседними отказами t_ср) являются основными количественными характеристиками надежности. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. Ни одна из них не является исчерпывающей характеристикой надежности. Только все они в совокупности во многих случаях могут характеризовать достаточно полно надежность ТС в течение времени ее работы.

Тестовые вопросы

Контрольные вопросы

1. Количественные характеристики надежности.

2. Причины нарушения нормального цикла работы.

3. Характеристика вероятности безотказного цикла работы.

4. Частота отказов.

5. Средняя частота отказов.

6. Суммарная частота отказов.

7. Интенсивность отказов.

8. Среднее время безотказной работы.

9. Среднее время между соседними отказами.

 10. Наработка на отказ.

Типовые примеры расчета характеристик надежности

Пример 1

Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных электронных ламп. За 3 000 часа отказало 80 ламп. Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп в течение 3 000 часов.

Решение

Определяем вероятность безотказной работы и вероятность отказа:

;

или

.

Пример 2

На испытание было поставлено 1 000 однотипных ламп. За первые 3 000 часов отказало 80 ламп, а за интервал времени 3 000 – 4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп.

Решение

1) Найдем частоту отказов в интервале 0…3000ч:

2) В промежутке

3) интенсивность отказов определяем соответственно для интервала 3000-4000 по формуле:

¹

Если при повторных испытаниях  и , то  будет уменьшаться и для последующих  будет увеличиваться .

Пример 3

На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3 000 ч отказало
n(t) = 200 изделий, за интервал времени t = 100 ч отказало n(t) =100 изделий. Требуется определить: q(T >3 000), q(T >3 100), q(T >3 050), (3 050), (3 050).

Решение

Этап 1

1) q – вероятность безотказной работы по этапам времени:

Найдем вероятность безотказной работы по формуле:

.

Тогда

для = 3000 ч:

;

для  = 3100 ч:

.

Для определения  проделаем следующую работу:

1) определим среднее число исправно работающих образцов в интервале времени t = 100ч. Расчетная формула имеет вид:

.

где N_i – число изделий, исправно работающих в начале интервала t, N_i+1 – число изделий, исправно работающих в данный отрезок времени.

2) число отказавших изделий на момент t = 3 050 ч равно; т.е. n (3050)

n(3 050) = N – N = 400 – 150 = 250,

3) тогда для ч. имеем:

  .

Этап 2^-й. Определение параметров  и .

Для промежутка времени 3000+100ч :

а) вступило в работу N = 200 обр.

б) Завершило работу N = 100 обр.

в) отказало:  

г) определим частоту отказов  на промежутке 3000…3100 по формуле:

.

д) определим интенсивность отказов на промежутке 3000…3100 по формуле:

.

Пример 4

На испытании находилось N_o = 1000 образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов n(Dt) фиксировалось через каждые 100 ч работы (Dt = 100 ч). Данные об отказах приведены в таблице 8.1. Требуется: а) вычислить количественные характеристики надежности  и  и б) рассчитать среднее время безотказной работы.

а₁: Рассчитаем l(t) для последовательных значений  по формуле: ; 1)

;

2)

;

3)

_.

а₂: Рассчитаем a(t) для последовательных значений Dt :

 ,

Результаты вычислений к примеру 4

б) Вычисление среднего времени безотказной работы проведем, предположив, что на испытании находились только те образцы, которые отказали, т.е. приведены в таблице. В соответствии с таблицей имеем: N₀ = 575 и m – количество промежутков времени по  , т.е.:

m = t_k/Dt = 3000/100 = 30; N₀ = 575,

.

Полученное значение средней работы (наработки) до первого отказа является заниженным для 1000 ламп, так как опыт был прекращен после отказа 575 образцов из 1 000, поставленных на испытание.

Пример 5

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного экземпляра радиолокационной станции. За весь период наблюдения было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения станция проработала 258 ч, к концу наблюдения наработка станции составила 1 233 ч. Требуется определить среднюю наработку на отказ.

Решение

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 6 Организация и проведение соревнований по легкой атлетике.

Наработка радиолокационной станции за наблюдаемый период равна:

t = t_{2 –} t₁ =1 233 – 258 = 975 ч.Принимая , находим среднюю наработку на отказ: , где t_i – время исправной работы изделия между (i – 1)-м и i-м отказами; n – число отказов за некоторое время t.

Пример 6

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Среднее время восстановления составило:

t₁ = 12 мин; t₂ = 23 мин; t₃ = 15 мин; t₄ = 9 мин;

t₅ = 15 мин; t₆ = 28 мин; t₇ = 25 мин; t₈ = 31 мин. 8 отказов .

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры