Динамические характеристики работы элементов ТС

Лекция 3.

Динамические характеристики работы элементов Т.С.

3.1. Общие положения теории вероятности применительно к

 работе Т.С.

Пусть t – текущее значение времени работы элемента системы,

 Т – любое случайное значение времени работы системы.

Основные положения теории вероятности применительно к динамике работы Т.С.

1. Тогда соотношение T<t – это соотношение теоретически возможного и реального времени работы Т.С(T и t), которое определяет на графике-шкале t, положение Т до значения t. При этом должны быть учтены все значения t в комплексе T.

2. Учёт событий, частности событий по принятому принципу подразумевает учёт всех частностей для тех значений T, которые лежат влево от точки t.

Рекомендуемые материалы

3. Сложение частностей для этих значений Т даёт возможность определить вероятность события T<t на основе известного принципа сложения вероятностей несовместимых событий, построить кумулятивную кривую.

4. Математической моделью при построении кумулятивной кривой – функции на основе приведённого правила будет соотношение P(T<t)=F(t).

5. Так как на графике F(t) учитывают события до значения t – то эта модель может быть принята для оценки вероятности отказов в тех. системе.

6. Известно что сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е p+q=1.

Учитывая п.4 имеем:

 P(T<t)+q(T>t)=1,

 где q(T>t) - вероятность безотказной работы Т.С.

 При этом q(T>t) можно представить и в обозначении P(T<t).

 7. P(T<t) - вероятность или сумма вероятностей всех значений

 T, которые лежат вправо от точки t.

 8. Подобно F(t)=P(T<t) для P(T<t) используют зависимость

 Q(t)=P(T<t) .

 9. Преобразование кривых F(t) и Q(t).

 F’(t)=f(t); Q’(t)= (t).

 ; .

Общая модель:

 

Частные соотношения:

  

   

  

 так как =0; =1.

  ,

при Т=0 ;

 

  

 10. Графики зависимостей F(t) и f(t).

 

 

           

3.2. Оценка работы элементов ТС по результатам однократных испытаний

 Рассмотрим пример

Два из трёх независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3

Решение

Исходя из сформулированного задания, можно сделать следующие предположения (гипотезы):

В1 – отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причём, поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения.

Вероятность гипотезы будет равна Р (В1) = р1*р2*q3 = 0,2*0,4*0,7 = 0,056;

B2 – отказали первый, и третий элементы, а второй элемент исправен, вероятность В2 Р(В2) = р1*р3*q2 = 0,2*0,3*0,6 = 0,036;

B3 – отказали второй и третий элементы, а первый – исправен, вероятность В3

Р(В3) = р2*р3*q1 = 0,4*0,3 *0,8 = 0,096;

Поскольку при гипотезах В1, В2, В3, событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

PB1(A) = PB2(A) = PB3(A) = 1

По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента, равна:

P(A) = P(В1)*PB1(A) + P(B2)*PB2(A) + P(B3)*PB3(A) =

= 0,056*1+0,036*1+0,096*1 = 0,188.

Общую условную вероятность, т. е. вероятность того, что отказали первый и второй элементы, найдём по известной формуле Бейеса:

PA(B)1 ===0,3.

Выводы

1) Общая вероятность не превышает 30 %.

2) Задачи однократных испытаний элементов ТС с достаточной достоверностью решаются с использованием простейших соотношений теории вероятности.

 ЛЕКЦИЯ 4

 Оценка работоспособности элементов ТС при повторных испытаниях

Если производят испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Математическая модель для оценки испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одинакова, предложена Бернулли. Она выражает возможность появления в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), события А ровно k раз (безразлично в какой последовательности). Количественно вероятность появления этого события равна:

или (1)

pq,

где q=1 – p.

Эта формула позволяет так же определять вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит:

а) менее k раз;

б) более k раз;

в) не менее k раз;

г) не более k раз;

Рассмотрим пример с повторами. Пусть это будут повторы партий в шахматы.

Условие

Два равносильных шахматиста играют в шахматы.

Определить что вероятнее: выиграть две партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p = ½; следовательно, вероятность проигрыша q так же равна ½ . Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдём вероятность того, что две партии из четырёх будут выиграны:

 

Найдём вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

 

Так как P4(2)>P6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырёх, чем три из шести.

В другой форме величину вероятности можно представить соотношением:

Эта формула предложена Лапласом и читается: вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0≤p≤1), событие А наступит k раз (безразлично в какой последовательности) приближённо равна Pn(k).

В формуле

n – число независимых испытаний

p – вероятность появления события

q – вероятность отсутствия события

 (табулированная функция ) (2)

 

,

. (3)

В определённых случаях логичнее искать не точное значение k, а некоторый интервал: k1 … k2.

Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз находят из соотношения:

P=(0≤p≤1)

где

Ф(-х)=-Ф(-х).

Эти зависимости аналогичны приведенным ранее общепринятым моделям.

Примеры решения задач

Задача 1

Найти вероятность того, что событие А (отказ элемента) наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Задача 2

Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если p = 0,6.

 

Решение 1.

По условию, n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Воспользуемся формулой

Найдём значение (х)

По таблице Z(x) найдём =0,1561.

Тогда искомая вероятность

Решение 2

 

Задача 3. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8.

Найти вероятность того, что событие появляется:

 а) не менее 75 раз и не более 90 раз;

 б) не менее 75 раз;

 в) не более 74 раз.

Решение

 а) Используем формулу Лапласа типа

Находим

Учитывая, что функция нечётная, т. е =, получим

 б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно либо 75 либо 76 … либо 100. Таким образом, в рассмотренном случае

Тогда

В итоге

в) Требование ,чтобы событие А появилось не более 74 раз означает не менее 75 раз.

Они противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно:

ТАБЛИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Таблицы математической статистики - это необходимейшая вещь при статистических исследованиях. Существуют книги, целиком состоящие из таких таблиц и их описаний. Но во многих случаях достаточно и тех таблиц , что помещаются в качестве приложений в конце книг по математической статистике.

Приведем фрагменты трех подобных таблиц , относящихся к нормальному распределению, распределению Пирсона и распределению Стьюдента.

Напомним, что квантилью уровня Р для данной случайной величины Х называют точку, слева от которой случайная величина Х принимает значение с вероятностью Р. Это значит,что  (см. рис).

 X0,05 X0,5 X0,9 X0,95

Так площадь на рисунке левее т.  равна 0,9 – квантилью или квантилью уровня 0,9. А соответствующая половине площади точка  называется 0,5 – квантилью (или медианой).

Функции распределения и квантили – наиболее часто табулированные характеристики разных законов распределений.

Наиболее часто приходится строить нормальную кривую распределения функции

Ещё посмотрите лекцию "ИЛЬИН Иван Александрович" по этой теме.

где  и .

Для кретности записывают : построение кривой плотности распределения для закона  

При этом наряду с непосредственным подсчетом , эту же плотность можно найти выделяя особую функцию

 где t=

Тогда