Статические методы обработки информации о надёжности вл и оборудования эс
4.8. Статические методы обработки информации о надёжности вл и оборудования эс.
4.8.1. Статическая оценка законов распределения отказов ВЛ и оборудования ЭС.
Для решения теоретических и практических задач надёжности производственных ЭС и их элементов надо знать законы распределения их отказов. Они получаются посредством обобщения статического материала об отказах. Примем случайную величину (СВ) “Т” за время безотказной работы. За время эксплуатации восстанавливаемых элементов ЭС – «t» величина “Т” принимает “n” значений. Совокупность этих случайных значений величины – статическая выборка объёма “n”. Если значения СВ “Т” расположить в возрастающем (убывающем) порядке и указать относительно каждого как часто оно встречается, то имеем распределение СВ или вариационный ряд на основании которого определяем аналитическую форму неизвестной плотности вероятности f(t) = φ(t) или функцию распределения F(t).
Для построения вариационного ряда диапазон значений СВ “T” разбиваем на интервалы. Подсчитываем количество значений «m» СВ Т, приходящейся на каждый интервал и определяем частоту её попадания в данный интервал:
(4.77)
где
n – число наблюдений, объём выборки.
Вариационный (статический) ряд
Рекомендуемые материалы
Таблица 4.3
| Интервал | t1 – t2 | t2 – t3 | … | tk – tk+1 |
| Частота | Р1* | Р2* | … | Рk* |
Оптимальная величина интервала:
(4.78)
где
n – число единиц в совокупности (выборке);
(tmax - tmin) – размах вариации СВТ.
Число интервалов :
(4.79)
или проще:
(4.80)
Большое значение имеет графический метод изображения вариационного ряда:
§ Полигон распределения (многоугольник): по оси абсцисс откладываем интервалы значений СВ, в их серединах строим ординаты, пропорциональные частотам и концы ординат соединяем.
§ Гистограмма распределения. Над каждым отрезком оси абсцисс, изображающем интервал значений СВ, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна частотам интервала.
При уменьшении длинны каждого интервала гистограмма приближается к некоторой плавной кривой, соответствующей плотности распределения величины “T”. Таким образом при построении гистограммы получаем представление о дифференциальном законе распределения СВ Т.
§ Статическая функция распределения F*(t) – частота событий Т
< t в данной выборке:
F*(t) = p*(T<t) (4.81)
где
t – текущая переменная;
p* - частота или статическая вероятность события.
F*(ti) = ni/n (4.82)
где
ni – число отказов, при которых Т < t ;
n – число наблюдений.
Если Т – непрерывная величина, то при увеличении “n” (объёма выборки) F*(t) – интегральная функция распределения величины Т.
Таким образом, построение статической функции распределения F*(t) решает вопрос об установлении на основе экспериментальных данных закона распределения СВ.
4.8.2. Подбор теоретического закона распределения СВ об отказах.
Пользование F*(t) неудобно таким образом экспериментальные точки гистограммы колеблются около неизвестной кривой истинного распределения. Для выяснения теоретического закона распределения СВ заданного F(t) или f(t) = φ(t) производится обработка статических данных. Выбирается апроксимирующая функция f(t) = φ(t), которая согласуется с данными эксперимента f0(t) = f(t). Для оценки правдоподобия этого приближённого вероятностного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции (апроксимирующей и данных эксперимента) f0(t) и f(t).
Порядок применения критерия согласия :
§ Предположим , что СВ Т (наработка до отказа) , полученная в виде статического ряда подчинена некоторому закону распределения СВ , приписываемому F(t).
§ Для проверки справедливости гипотезы вводится случайная величина 
- мера расхождения между теоретическим законом и статическим распределением.”” может быть : а) максимальное отклонение F*(t) от F(t) ; б) сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей попадания СВ Т в i-ый интервал- Pi от соответствующих частот Pi*.
§ Если гипотеза о том , что СВ Т подчиняется закону распределения «F(t)» справедлива ,то “” будет определятся законом распределения СВ Т и числом ответов n.Это устанавливает согласие между теоретическим и статическим распределением , если известен закон распределения “”.
Пример:
§ Закон распределения “” известен.
¨ В результате проведения эксперимента расхождения = u;
¨ Выясняем = u случайно за счётограничения числа отказов или из-за разницы между F*(t) и F(t).Для этого вычисляем вероятность получения такого расхождения при заданных F(t) и числе опытов «n» .Это сводится к определению вероятности:
F()=P(U
) (4.83)
Если вероятность – мала , то теоретическое распределение – неудачно. Если вероятность – значительна , закон распределения выбран удачно .
При некоторых способах выбора “” закон её распределения может быть выбран теоретически, исходя из общих положений ТВ и при достаточно большом «n» не зависит от вида функции «F(t)» , что облегчает применение критериев.
4.8.3. Критерии согласия для оценки надёжности элементов ЭС
§ Критерий “c2”К.Пирсона .В качестве меры расхождения между опытным и теоретическим распределением берётся величина = c2
(4.84)
где
к- число интервалов статического ряда;
- частота i-го интервала статического ряда;
mi –количество значений СВ Т на интервал;
n-объём статической выборки , общее количество опытов;
Pi-теоретическая вероятность попадания СВ Т в i-ый интервал.
При увеличении «n» закон распределения “” приближается к “c2” распределению и не зависит от вида «F(t)» и числа испытаний «n» , а определяется только числом разрадов “k” статического ряда.
Критерий А.Н.Колмогорова:
Опытное распределение практически согласуется с выбранным теоретическим , если выполняется условие:
D
ni1 (4.85)
где
D- наибольшее отклонение экспериментальной кривой распределения от теоретической;
ni- общее число экспериментальных точек.
4.8.4. Доверительные интервалы при статистической оценке параметров надёжности
Статистическая оценка параметров надёжности тем ближе к истине чем больше объём выборки. Только бесконечно большая выборка может дать 100% уверенность , что оценка параметра совпадает с истинной. Понятия ”коэффициент доверия“, ”доверительная вероятность- обозначают вероятность , связывающую истинное значение параметра и его оценку. Когда оценка получена для большой выборки , истинное значение – справа от неё или слева. Поэтому лучше выражать статистическую оценку с помощью интервала с указанием вероятности (коэффициент доверия) , что истинное значение – внутри его. При анализе статистических данных основные понятия –“доверительный уровень” и “ коэффициент доверия”. Эти истинные данные часто представляют не “ точечными” оценками , а с помощью интервала с заданной доверительной вероятностью или коэффициент доверия “
”.Последний , выражает вероятность того , что истинное значение величины – внутри интервала. Границы интервала – доверительные границы. Уровень значимости – вероятность того , что значение искомой величины выйдет из границ интервала:
=1-; Часто =0.9; 0.95; 0.99 и =0.1;0.05; 0.01.
Обратите внимание на лекцию "Введение".
Коэффициент “” характеризует степень достоверности результатов двухсторонней оценки параметра надёжности. Доверительные интервалы статических оценок параметров надёжности имеют нижнюю и верхнюю границы.
Пример:
Tср, T*ср, - среднее время безотказной работы:
T*ср н и T*ср в -нижняя и верхняя границы доверительного интервала;
Величина T*ср- находится между этими пределами.
Пример. Вычислены доверительные границы для вероятности безотказной работы р(t) элемента ЭС порядка 0.9.Это значит 90% случаев истинное значение надёжности – в этих пределах , а в 10% -вне этих границ.
