Расчет параметров вальдовской процедуры

6.2. Расчет параметров вальдовской процедуры.

Решающие пороги вальдовской процедуры могут быть найдены  на основе следующих рассуждений. Условие принятия решения в пользу гипотезы , может быть представлено в виде . Поскольку это условие  справедливо для любой выборки, попадающей в область , можно проинтегрировать последнее неравенство по этой области:

.

Интеграл, стоящий слева от знака неравенства выражает вероятность правильного обнаружения , справа – вероятность ложной тревоги , таким образом  или

 (14.2)

Последнее неравенство дает оценку сверху величины порога .

Аналогичным образом, интегрируя условие принятия решения в пользу гипотезы  по области  выборочных  значений, приводящих к такому решению получаем:

.

Интеграл, стоящий слева от знака неравенства в этом случае выражает вероятность пропуска цели , справа – вероятность правильного необнаружения , поэтому  или

Рекомендуемые материалы

  (14.3)

Обратим внимание, что в  отличие от решающего порога процедуры Неймана-Пирсона, для расчета которого необходимо задаться видом и параметрами распределений , полученные выражения полностью определяются значениями вероятностей ошибок  и  и не зависят от вида различаемых распределений. Однако это утверждение справедливо только при условии, что “перескоком” статистики за порог можно пренебречь, т.е. неравенства могут быть заменены равенствами. Указанное условие справедливо в случае близких гипотез, когда среднее приращение статистики на один элемент выборки мало, соответственно, пренебрежимо мал и “перескок”. В общем случае, когда “перескоком” пренебрегать нельзя, вероятности ошибок зависят от его распределения, следовательно, и от распределений . Пороги, рассчитанные по вальдовским формулам, в этом случае существенно “завышают” вероятности ошибок по сравнению с их истинными значениями. Расчет оптимальных порогов при наличии перескока возможен с применением численных методов или математического моделирования.

Для удобства и наглядности дальнейшего изложения заменим статистику отношения правдоподобия ее логарифмом  с соответствующей заменой решающих порогов  Вальдовскоее решающее правило при этом имеет вид:

Укрупненная функциональная схема устройства, реализующее вальдовское правило при этом имеет вид

На рисунках приведены некоторые примеры построения областей принятия решений и продолжения наблюдения в пространстве статистики  для последовательных решающих правил, а также правила Неймана-Пирсона.

Процедура с переменными (зависящими от времени) порогами применяется для уменьшения среднего значения и дисперсии ее длительности. Усеченная последовательная процедура, предполагающая принудительное завершение  на некотором  шаге , если до него решение не было принято, может рассматриваться  как частный случай процедуры с переменными (смыкающимися) порогами. Процедура Неймана-Пирсона с этой точки зрения представляет собой вырожденный  случай усеченной последовательной процедуры, когда вплоть до шага  решающие пороги не имеют конечных значений.