Использование метода наименьших квадратов
3.2. Использование метода наименьших квадратов
В качестве простого примера построения модели методом наименьших квадратов рассмотрим задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента.
Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка
W = a0 + a1x + a2x2, 0 £ x £ 6.
Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией
М(e) = 0, s2(e) = 1.
Выборка десяти случайных пар () представлена в табл. 3.1 в графах 2 и 3.
Таблица 3.1
№ | x | Рекомендуемые материалыFREE Маран Программная инженерия Техническое задание -22% КМ-2. Разработка простейших консольных программ с использованием ООП + КМ-4. Более сложные элементы ООП - под ключ! КМ-3. Разработка сложных приложений с использованием объектно-ориентированного подхода. Тестирование - 90% -8% КМ-2. Разработка простейших консольных программ с использованием ООП. Домашнее задание КМ-2. Разработка простейших консольных программ с использованием ООП. Домашнее задание Вариант 14 Wm | e | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | 4,8608 4,2396 2,7792 0,5988 3,2136 4,5156 5,9340 1,5852 4,4880 4,0932 | 9,28 9,40 7,88 1,86 7,77 8,73 8,33 5,16 7,28 9,22 | 8,848 8,821 7,460 2,039 8,056 8,874 8,118 4,994 8,872 8,767 | 0,432 0,579 0,420 -0,179 -0,286 -0,144 0,212 0,166 -1,592 0,453 |
Метод наименьших квадратов заключается в том, что неизвестные (искомые) коэффициенты а0 , а1 , а2 должны минимизировать функцию, представляющую собой сумму квадратов невязок ej:
.
Минимум некоторой функции, как известно, находится в точке , где все частные производные этой функции по переменным а0, а1, а2 равны нулю.
Для определения частных производных, распишем функцию G через ее предполагаемый вид:
.
Возьмем от функции G производные по а0, а1, а2 :
;
;
.
Приравняв эти выражения к нулю и произведя некоторые преобразования, получим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка с тремя неизвестными, коэффициенты которой вычисляются по известным данным из табл. 3.1:
Решая полученную систему, получим а0 = –0,161; а1 = 3,929; а2 = –0,427.
Таким образом, математическая модель будет иметь вид
Wm = –0,161 + 3,929 x –0,427x2. (3.2)
Проверим адекватность модели методом Фишера. Для этого заполним четвертый и пятый столбцы таблицы 3.1, подставляя в математическую модель (3.2) и затем в формулу (3.1) значения xj из первого столбца.
Определим число степеней свободы системы по формуле
fs = n – m – 1,
где n = 10 – количество экспериментальных точек; m = 3 – количество неизвестных коэффициентов. То есть fs = 6.
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле
.
Критерий Фишера вычисляется по формуле
.
По статистическим таблицам при 5%-м уровне риска (a = 0,05) находим пороговое значение критерия Фишера
.
Так как полученное значение F меньше критического (порогового), гипотеза об адекватности модели реальному процессу принимается.
Контрольные вопросы к лекции 7
1. Что является исходным материалом при построении эмпирической модели?
2. Как используется физическая теория работы объекта при построении эмпирической модели?
3. Что при этом представляет собой объект идентификации?
Вместе с этой лекцией читают "24 Россия в 90-е гг. ХХ в. и в начале нового тысячелетия".
4. Сформулируйте задачу идентификации.
5. Что такое уравнение регрессии?
6. С чего начинается процесс идентификации?
7. От чего зависит конкретная форма модели?
8. Перечислите причины проведения непланируемого эксперимента.
9. В чем заключается метод наименьших квадратов?