Популярные услуги

Курсовой проект по деталям машин под ключ
ДЗ по ТММ в бауманке
Все лабораторные под ключ! КМ-1. Комбинационные логические схемы + КМ-2. Комбинационные функциональные узлы и устройства + КМ-3. Проектирование схем
КМ-3. Типовое задание к теме прямые измерения. Контрольная работа (ИЗ1) - любой вариант!
Любая лабораторная в течение 3 суток! КМ-1. Комбинационные логические схемы / КМ-2. Комбинационные функциональные узлы и устройства / КМ-3. Проектирование схем
КМ-2. Выпрямители. Письменная работа (Электроника семинары)
Допуски и посадки и Сборочная размерная цепь + Подетальная размерная цепь
Курсовой проект по деталям машин под ключ в бауманке
ДЗ по матведу любого варианта за 7 суток
Задача по гидравлике/МЖГ
Главная » Лекции » Инженерия » Математическое моделирование процессов » Использование метода наименьших квадратов

Использование метода наименьших квадратов

2021-03-09СтудИзба

3.2. Использование метода наименьших квадратов

В качестве простого примера построения модели методом наименьших квадратов рассмотрим задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента.

Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка

W = a0 + a1x + a2x2,     0 £ x £ 6.

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией  
М(e) = 0, s2(e) = 1.

Выборка десяти случайных пар () представлена в табл. 3.1 в графах 2 и 3.

Таблица 3.1

x

Рекомендуемые материалы

Wm

e

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4,8608

4,2396

2,7792

0,5988

3,2136

4,5156

5,9340

1,5852

4,4880

4,0932

9,28

9,40

7,88

1,86

7,77

8,73

8,33

5,16

7,28

9,22

8,848

8,821

7,460

2,039

8,056

8,874

8,118

4,994

8,872

8,767

0,432

0,579

0,420

-0,179

-0,286

-0,144

0,212

0,166

-1,592

0,453

Метод наименьших квадратов заключается в том, что неизвестные (искомые) коэффициенты а0 , а1 , а2  должны минимизировать функцию, представляющую собой сумму квадратов невязок ej:

.

Минимум некоторой функции, как известно, находится в точке , где все частные производные этой функции по переменным а0, а1, а2 равны нулю.

Для определения частных производных, распишем функцию G через ее предполагаемый вид:

.

Возьмем от функции G производные по а0, а1, а2 :

;

 ;

 .

Приравняв эти выражения к нулю и произведя некоторые преобразования, получим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка с тремя неизвестными, коэффициенты которой вычисляются по известным данным из табл. 3.1:

Решая полученную систему, получим а0 = –0,161; а1 = 3,929; а2 = –0,427.

Таким образом, математическая модель будет иметь вид

Wm = –0,161 + 3,929 x –0,427x2.                                       (3.2)

Проверим адекватность модели методом Фишера. Для этого заполним четвертый и пятый столбцы таблицы 3.1, подставляя в математическую модель (3.2) и затем в формулу (3.1) значения xj из первого столбца.

Определим число степеней свободы системы по формуле

fs = nm1,

где n = 10 – количество экспериментальных точек;  m = 3 – количество неизвестных коэффициентов. То есть fs = 6.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле

.

Критерий Фишера вычисляется по формуле

.

По статистическим таблицам при 5%-м уровне риска (a = 0,05) находим пороговое значение критерия Фишера

.

Так как полученное значение F меньше критического (порогового), гипотеза об адекватности модели реальному процессу принимается.

Контрольные вопросы к лекции 7

1. Что является исходным материалом при построении эмпирической модели?

2. Как используется физическая теория работы объекта при построении эмпирической модели?

3. Что при этом представляет собой объект идентификации?

Вместе с этой лекцией читают "24 Россия в 90-е гг. ХХ в. и в начале нового тысячелетия".

4. Сформулируйте задачу идентификации.

5. Что такое уравнение регрессии?

6. С чего начинается процесс идентификации?

7. От чего зависит конкретная форма модели?

8. Перечислите причины проведения непланируемого эксперимента.

9. В чем заключается метод наименьших квадратов?

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5160
Авторов
на СтудИзбе
439
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее