Средние значения переменных величин

§ 12. 7. Средние значения переменных величин

При подобии явлений должны быть одинаковы крите­рии, составленные из величин, взятых в любой точке рас­сматриваемой системы. В связи с этим во время опыта на натурном образце или на его модели необходимо изме­рять все величины, входящие в критерии. Следовательно, для проверки подобия потребовалось бы сравнить все критерии для всех точек. Но практически это требование выполнить нельзя, поэтому для вычисления критериев по­добия пользуются средними значениями величин в харак­терных сечениях потока.

Средняя скорость потока в данном сечении вычис­ляется делением секундного объемного расхода жидко­сти (или газа) на площадь поперечного сечения. Если известно из измерений или из расчета поле скорости в сечении, то секундный расход можно вычислить, если умножить скорость в каждой точке сечения на элемен­тарную площадку и затем вычислить интеграл по всему сечению:

wdF

w_zv^^=-.-^—- Mice*. F F

Обычно при расчетах величина У,_ш бывает задана в условиях задачи.

234

Средняя температура потока вычисляется по-разно­му. Наиболее точное значение средней температуры по­лучается, если энтальпию потока, проходящего в 1 сек через сечение, разделить на суммарную теплоемкость про­шедшего вещества. Учитывая, что плотность и теплоем­кость вещества могут зависеть от температуры, а скорость и температура могут быть неравномерно распределены по сечению, и энтальпию /_Сен, и теплоемкость (Gc_p)_cei; нужно вычислять интегрированием по всему сечению:

| Qwcpt dF

Рекомендуемые материалы

t=   ⁷"'        -— град.

^ср     {Gc_F)_ceK      }Qwc_pdF F

Это называется усреднением по теплосодержанию. Если можно считать, что q и с_Р не зависят от температу­ры, то проводят так называемое усреднение по объемно­му расходу:

[wt dF

t ^Jl_

^tp        [wdF ' r

Наконец, если скорость в плоскости сечения не ме­няется, то

f i dF

t -i_

что называется усреднением по сечению.

Но температура, как и другие параметры, меняется не только по сечению, но и по длине канала. В этом случае

где Гср1 — средняя температура в сечении У; ^_Р2 — средняя температура в сечении 2. Среднее значение коэффициента теплоотдачи а под­считываем для всей поверхности F, через которую пе­редается тепло:

J ам dF

а —

втм²-град,

F

235

где а_м — местное значение коэффициента теплоотдачи в каждой точке поверхности.

§ 12. 8. Определяющая температура

Так как в процессе теплообмена температура жидко­сти меняется, то меняются и значения физических пара­метров, входящих во все критерии.

Температура, при которой берутся значения физиче­ских констант потока, подставляемых в критерии подо­бия, называется определяющей температурой. В качестве определяющей может быть принята и температура стен­ки t_cx, и средняя температура жидкости /_ж._Ср, и средняя

температура пограничного слоя £_Ср= *^{ж     т} •

Чаще при выборе определяющей температуры руко­водствуются обстановкой опыта — какую температуру легче (а следовательно, и надежнее) можно определить во время эксперимента. В критериальных формулах опре­деляющая температура обязательно отмечается индексом у символа каждого критерия. Например:

Re_>K — за определяющую принята средняя температу­ра жидкости (газа);

Рг_сг — за    определяющую    принята    температура стенки;

Nu_cp — за определяющую принята средняя темпера­тура пограничного слоя.

При использовании критериальных зависимостей нужно строго следовать указанным индексам.

§ 12. 9. Определение вида критериальных уравнений по экспериментальным данным

Теория подобия показывает, что результаты экспери­ментального исследования любых физических явлений нужно представлять в виде зависимости между обобщен­ными переменными — критериями подобия. Однако тео­рия подобия не дает возможности теоретически найти вид критериального уравнения, это можно сделать толь­ко проведя достаточно большое число опытов с различ­ными подобными друг Другу явлениями.

Результаты экспериментов чаще всего изображают графически, нанося на график точки, соответствующие значениям определяющего и неопределяющего критериев

2.36

в данном опыте. Если провести много опытов в широком диапазоне изменения основных параметров, то экспери­ментальные точки расположатся на графике вдоль неко­торой линии (обычно — кривой), соответствующей крите­риальному уравнению данного процесса.

Для того чтобы выразить аналитически зависимость Nu=/(Re), обычно подбирают достаточно простую фор­мулу, которая давала бьв.на графике линию, проходящую как можно ближе к экспериментальным точкам.

Зависимость между критериями подобия обычно пред­ставляют в виде степенных функций, например:

Nu^CRe", (12.9)

где показатель степени п и коэффициент С являются по­стоянными числами, которые легко определить, если на­нести экспериментальные точки на логарифмический график.

Прологарифмируем уравнение (12.9):

lgNu = lgC + rtlnRe. (12.10)

Это — уравнение прямой линии в логарифмических коор­динатах. Следовательно, если критериальное уравнение можно представить в виде (12.9), то найденные в опыте точки располагаются в логарифмических координатах на прямой линии (рис. 12.3). При этом не все точки ложатся на прямую: скажутся погрешности при проведении заме­ров, при обработке, отклонение режима от заданного при проведении опыта. По логарифмическому графику опре­деляют показатель степени п, который, как это видно из уравнения (12.10), является угловым коэффициентом прямой линии:

№ь Ig:

IgRej-IgRe, Re^

^gRe,

Величину Ig С находят продолжением построенной по точкам линии до пересечения с осью ординат. Может слу­читься так, что экспериментальные точки и в логариф­мических координатах образуют кривую линию. Тогда весь диапазон изменения аргумента (определяющего критерия) разбивается на участки так, чтобы в пределах каждого участка кривую без особой погрешности можно было заменить прямой. Значения п и С определяются

237

уже описанным способом для каждого участка в отдель­ности. К критериальной формуле должна быть приложе­на таблица с указанием значений коэффициентов Сип для разных диапазонов изменения Re.

Рис. 12.3. Схема графического определе­ния С и п по опытным данным для кри­териального уравнения вида Nu=CRe'¹

Любая критериальная формула справедлива лишь в тех пределах изменения критериев, которые проверены в опытах. Применение их для других значений критериев (экстраполяция формулы) может привести к грубым ошибкам в расчете.

§ 12.10. Теплообмен при естественной конвекции

С явлением естественной, или свободной, конвекции часто встречаются в природе, в быту, в технике. Различа­ют естественную конвекцию в больших объемах — сво­бодное движение жидкости в так называемом неограни­ченном пространстве — и естественную конвекцию в ще­лях, прослойках.

Эффект естественной конвекции в неограниченном пространстве используется при отоплении помещений, для отвода тепла от нагревающихся изнутри машин и аппа­ратов, для нагревания жидкостей в больших сосудах. Ха­рактер движения жидкости около нагретых твердых тел различной конфигурации показан на рис. 12.4.

При движении у нагретой вертикальной стенки (см. рис. 12,4, а) можно различить три характерные зоны.

238

Режим течения зоны // называют ламинарным, зоны ///— локонообразным, зоны /V — вихревым. Если нагрет го­ризонтально расположенный цилиндр, то можно выде­лить одну зону /, где режим движения называют пленоч­ным (см. рис.12.4 г). Если нагретая плоскость обращена

Рис. 12.4. Характер движения жидкости при естествен­ной конвекции в неограниченном пространстве:

о—Вортикальная стенка; б—нагретая сторона горизонтальной плиты обращена к низу; в—нагретая сторона горизонтально!) пли­ты обращена кверху; г— горизонтальный цилиндр при &/<J5": о—горизоша.-ьный цилиндр при ДО 15^е ВНИМАНИЕ! Сравните характер движения в двух последних случаях.

кверху, то возникает движение, характер которого пока­зан на рис. 12.4, в.

Многочисленные экспериментальные исследования естественной конвекции в неограниченном пространстве привели к формуле

ЛЧр-С(Ог.Рг)_с> (12. U)

Обработка опытных данных показала, что при нали­чии четырех режимов движения жидкости для всего диа­пазона изменения критериев Gr и Рг одну прямую в лога­рифмических координатах провести не удается. Поэтому

239

пришлось выделить четыре участка в области исследован­ных значений (Gr • Рг); в пределах каждого участка ока­залось возможным провести прямую (рис. 12.5). Соответ­ственно для каждого участка определены значения Сип. Во всех приведенных далее формулах величины "множи­теля С и показателя степени /я-или п свои, присущие только рассматриваемой формуле. Они определяются на основе опытов и даются в справочниках.

Рис. 12.5. Схема графического определения Сияв уравнении Nu = C(Cr • Рг) ™ по опытным данным для  случая естественной конвекции в неограниченном пространстве

ВНИМАНИЕ! Опыт показывает, что в зависимости от характера  дви­жения жидкости значения Сип будут различны для четырех диапазо­нов изменения Gr ■ Рг.

При вычислении критериев подобия все физические константы берутся при средней температуре погранично­го слоя. Определяющим размером в критериях Gr и Nu служат: в случае вертикальной плоской стенки — высота стенки, в случае трубы с вертикальной осью — длина трубы, в случае горизонтальной трубы или шара — их диаметр.

При решении задач сначала по дочитывается величина произведения (Gr-Pr). Затем по таблице выбираются соответствующие значения Сип, подсчитывается величи­на критерия Нуссельта по уравнению (12.11) и опреде­ляется коэффициент теплоотдачи а:

а—Nu

Характер движения жидкости при свободном движе­нии в ограниченном пространстве показан на рис. 12.6. Если в горизонтальной щели более нагретая поверхность расположена внизу (см. рис. 12.6,6), то вначале возни-

240

кает неустойчивое расслоение, которое существует до некоторого значения (Gr Рг=1700), после чего начи­нается конвективное движение, которое и приводит к об­разованию отдельных циркуляционных зон. Когда щель горизонтальна, размеры стенок на процесс не влияют. Если же щель вертикальна (см. рис. 12.6, в), то движе-

Рис. 12.6. Характер движения жидкости при есте­ственной конвекции в прослойках:

а—горизонтальная   прослойка   ti>t_s;   б—горизонтальная прослойка   ti<h; в—вертикальная прослойка; г—цилин­дрическая прослойка

ни с распространяется вдоль всей стенки и на формирова­нии циркуляционных зон сказываются как ширина ще­ли 6, так и высота щели. В шаровых и горизонтальных ци­линдрических зазорах циркуляция развивается лишь ни­же верхней кромки холодной поверхности или выше ниж­ней кромки горячей (см. рис. 12.6,г). В остальном объ­еме циркуляции нет.

Для плоских щелей, заполненных жидкостью или газом, расчет ведется по формуле

241

Величину А._эк называют эквивалентным коэффициен­том теплопроводности и вычисляют по формуле

^хэк = ^£к^х вт/м-г рад,

где  X — коэффициент   теплопроводности   жидкости   в вт/м ■ град;

8_К — коэффициент конвекции, значение которого за­висит от произведения критериев Gr -Рг.

Теплообмен в кольцевых щелях рассчитывают по фор­муле

1    ,  rf_B

in

2яХ_эк      rf_n

где d_n — наружный диаметр; d_B — внутренний диаметр;

Хж — имеет тот же смысл, что и при расчете плоских щелей, т. е. Хж = е_кК а е_к определяется по фор­муле

;_K = C(Gr.Pr)». § 12. П. Теплообмен при ламинарном течении в трубах

Наиболее широкое распространение в современной технике получили условия, когда движение жидкости и газа в каналах (главным образом в трубах) осуществ­ляется за счет искусственного создания перепада давле­ний, т. е. является вынужденным. При этом возможно движение с большими скоростями, а следовательно, и бо­лее интенсивная передача тепла.

При ламинарном течении профиль поля скоростей в поперечном сечении трубы может быть описан уравне­нием параболы:

где w — скорость в любой точке сечения на произволь­ном радиусе г; Wq — наибольшая скорость (на оси трубы); R — радиус трубы.

242

Однако параболический закон распределения скоро­стей по сечению устанавливается только после того, как

Рис. 12.7. Стабилизация потока жидкости;

а—при ламинарном характере движения; б—при турбулентном характере движения

движение в трубе стабилизируется, на некотором рас­стоянии Ясттидр'от входа в канал (рис. 12.7, а). Это рас­стояние можно найти по формуле

fe    =0,03 Re. d /гидр

243

Если при движении происходит теплообмен, то темпе­ратура жидкости меняется не только по сечению, но и по длине трубы. При этом на некотором расстоянии от вхо­да, равном л_Ст. теля, происходит тепловая стабилизация потока, после чего характер распределения температуры по сечению не меняется, а изменяется лишь абсолютное значение температуры. Длина участка тепловой стабили­зации вычисляется по формуле

(^.    ^0,08 Re- Рг.

d   /теял

Если при ламинарном течении свободная конвекция отсутствует, то передача тепла в радиальном направле­нии (между жидкостью и стенкой) осуществляется тепло­проводностью. Если рассчитывается теплообмен на стаби­лизированном участке, когда RePr[^<12, то теллоот-дача не зависит от скорости. Если же рассматривается начальный участок трубы, когда Re«Pr ^у] >12, то на

теплоотдачу влияет не только теплопроводность, но и ско­рость изменения профиля температуры, которая зависит от чисел Re и Рг. При этих условиях

Nu_cp=c(Re.P_rf)V

§ 12. 12. Теплообмен при турбулентном течении в трубах и каналах

Поле скоростей в турбулентном потоке более ровное, чем в ламинарном за счет перемешивания (см. рис. 12.7,6). Более ровное в этом случае и поле темпера­тур.

В условиях турбулентного режима поток также стаби­лизируется лишь на некотором расстоянии от входа в трубу. В этом случае термодинамическая и тепловая стабилизации происходят одновременно на расстоя­нии л;_ст от входа:

*_CT=(25-^40)fif.

Для расчета теплообмена при турбулентном течении жидкостей и газов в каналах предложено много крите-

244

риальных формул. Чаще всего применяются предложен­ные Нуссельтом степенные формулы вида

Nu = CRe^wPr (12.12)

Коэффициент С и показатели степени т и п определя­ются экспериментально* В формулы вводятся также по­правки, учитывающие направление теплового потока (на­гревание или охлаждение жидкости), форму канала, вли­яние участка стабилизации и т. д.

Для расчета теплоотдачи при турбу­лентном движении жидкостей (кроме жидких металлов) и газов в прямых круг­лых трубах большой длины £>50 можно применять формулу М. А.'Михеева:

/РГ_Ж,25

Nu„. = C Re-^Pr"

^к » С1

(12.13)

Определяющим размером является внут­ренний диаметр трубы. Как видно из обоз­начений, за определяющую температуру   ™_ти змеевик" принята средняя температура жидкостей, а критерий Рг_ст вычисляется при температуре стенки грубы.

Влияние длины трубы. Если длина трубы составляет менее 50 ее диаметров, то на значении критерия Nu (а следовательно, и на величине а) сказывается влияние начального участка трубы, где течение не стабилизиро­валось, а теплоотдача более интенсивная, чем в среднем по всей длине (см. рис. 12.7, б). В этом случае коэффици­ент теплоотдачи, найденный по формуле"

(12.13), умно­жают на поправочный коэффициент, величину которого берут из таблиц в зависимости от значения критерия Рей­нольдса и Ijd.

Влияние изгиба трубы. При повороте потока, связан­ного с изгибом канала (трубы), в потоке возникает цент-роб еленая сила, которая изменяет распределение скоро­сти по поперечному сечению канала. Искажение профиля скорости влияет на теплообмен. Это учитывается в рас­чете введением поправочного коэффициента так, что для изогнутой трубы

^анз ~ ^GS/?>

9     828

245

где а — коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по фор­муле (12.13) для прямой трубы. Для труб змеевика (рис. 12.8):

Обратите внимание на лекцию "11.1 НЭП - сущность и последствия".

-

где d—диаметр трубы; R — радиус змеевика.

Влияние формы поперечного сечения канала. При дви­жении жидкости в каналах некруглого сечения (прямо­угольных, кольцевых и т. п.) в качестве определяющей размера обычно принимают так называемый эквивалент­ный диаметр, который подсчитывают по формуле

d_b^ м,

и

_где f _ площадь поперечного сечения канала, по кото­рому течет жидкость; и — периметр поперечного сечения канала. Формула (12.12) может применяться только для глад­ких труб, не имеющих внезапных сужений или расшире­ний. Она действительна в диапазоне изменения чисел Re от 10 000 до 1 000 000. При 2300<Re<10 000 режим дви­жения—неустойчивый, переходный между ламинарным и турбулентным. В этом диапазоне чисел Re нельзя поль­зоваться ни формулой (12.12), ни формулой (12.13).