Инварианты и критерии подобия

§ 12.4. Инварианты и критерии подобия

Так как изменения всех физических величин в каж­дом процессе связаны между собой, то и между констан­тами подобия разных величин в каждой группе подобных явлений существует определенная связь. Эту связь мож­но найти, если известно уравнение, связывающее между собой изменение физических величин в данном явлении.

В качестве примера найдем соотношения между кон­стантами подобия в двух подобных процессах теплооб­мена между поверхностью твердого тела и омывающим его потоком жидкости.

Плотность теплового потока, проходящего через по­верхность твердого тела (со сторны тела), определяется уравнением Фурье:

дп

227

кост1Тпп«1^^{ТеПЛОВОГ}° ^ПОТОка' проводящего через жид­кость у поверхности тела, выражается уравнением Нью-

тона:

В соответствии с законом сохранения энергии

Рекомендуемые материалы

дп

или

Теперь для первого процесса для второго

At" дп"

(12.5)

и »» ^НДт^^{ем вы}Р^ажения Для констант подобия всех вели­чин, существенных для двух процессов:

»'    ^Са'   n'-^Ci- д7^=с- 7T=C_f.

и.,_л^С.^П°^{М0ЩЬЮ ЭТИХ констант} можно выразить перемен­ные второго уравнения через переменные первого:

а"=С_йа'; Г = СХ'_;   дГ=С,Л*'_;

Подставляя полученные соотношения в уравнение (1^.5), получим ^Jr

C_t At' Ci  дп'        ci"IF дп*¹

или

ад df

C      ~      At' дп'

_n„5f 1^ВИИ" ^ПОлУ^ченное Уравнение с уравнением (12.4) Они могут быть тождественны только в случае, когда

С 228

ад

Эта формула показывает связь между константами подобия и отражает условие подобия в процессах тепло­обмена. Соотношения такого типа, составленные из кон­стант подобия (масштабов) физических величин, называ­ются индикаторами подобия.

Явления подобны, .«если индикатор подобия тождест­венно равен единице.

Выразив все константы подобия через соответствую­щие соотношения, получим

а" п"

а'   п'    _^

V_

д'

Отсюда получается, что условие подобия может быть выражено в такой форме:

а"п"    а'л'    an    . , -=---- — = idem,

X"      >/      ).

где idem — неизменная величина.

Через я обозначалось расстояние по нормали между двумя изотермами. Это характерная величина для про­цессов теплопроводности. В процессах теплообмена такой величиной может быть не только п, поэтому для большей общности полученного результата следует заменить п на / — характерный для данной задачи размер. Теперь най­денное условие подобия примет вид

-у-=idem. (12.6)

Этот же результат может быть получен, если исполь­зовать инварианты подобия.

Безразмерные комплексы вида (12.6), составленные из характерных для явления физических величин, назы­вают критериями подобия. Критериям присваи­ваются имена выдающихся ученых, их обозначают двумя первыми буквами выбранного имени. Получен­ный нами критерий называется критерием Нус-с е л ь т а;

Nu =— .

к

229

§ 12.5. Теоремы подобия

Первая теорема подобия (теорема Ньюто­на): в подобных явлениях критерии подобия одинаковы (равны).

Следовательно, для установления подобия физических явлений, необходимо найти систему критериев, определя­ющих как гидродинамическое (в случаях движения жид­кости или газа), так и тепловое подобие. Это можно сде­лать, применив один из показанных приемов к уравнени­ям, описывающим процессы конвективного переноса теп­ла. В результате получим критерии, характеризующие гидродинамическое и тепловое подобие, т. е. подобие в процессах теплообмена.

Вторая теорема подобия (теорема Бэкинге-ма): решение системы дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление, может быть представ­лено в виде зависимости между критериями подобия дан­ного явления. Теорема утверждает, что решение этих уравнений может иметь вид

/(Л'_ь К* • • • (12.7)

где Ki, Кг.—. Кп — критерии подобия данного явления.

Для описания всех сторон такого сложного физическо­го явления, как конвективный теплообмен, необходимо несколько дифференциальных уравнений со многими чле­нами, имеющими различный физический смысл. Поэтому и количество критериев подобия этого явления достаточ­но велико. Однако вследствие того, что в каждом крите­рии объединяются несколько первичных переменных, ко­личество критериев в уравнении (12.7) оказывается все же меньше, чем количество первичных переменных в уравнении (12.2).

Таким образом, теория подобия позволяет найти бо­лее универсальные, обобщенные переменные величины, которые одним уравнением (12.7) описывают уже не еди­ничное явление, а целую группу подобных между собой явлений.

Третья теорема подобия. Для решения задачи о теплообмене, кроме системы дифференциальных урав­нений, должно быть известно (задано) значение всех пе­ременных величин во всем объеме системы в начальный момент времени, а также значение всех переменных на границах системы — в любой момент времени. Эти за-

230

данные по условиям задачи значения переменных назы­ваются условиями однозначности решения.

Третья теорема подобия (теорема Кирпич ев а и Гух-мана) утверждает, что необходимым и достаточным усло­вием подобия физических явлений является подобие усло­вий однозначности (заданных условий) при равенстве критериев, составленных из условий однозначности.

Это означает, например, что для подобия явлений движения жидкости в трубах необходимо, чтобы распре­деления скоростей по сечению на входе в трубы были подобны друг другу. Кроме того, должны быть равны друг другу критерии, в которые войдет скорость (а также другие условия однозначности).

Критерии, составленные только из тех физических ве­личин, которые входят в условия однозначности, называ­ются определяющими критериями. Помимо критериев, составленных только из величин, входящих в условия однозначности, в каждой задаче имеются критерии, со­держащие в себе величины, не входящие в условия одно­значности, а определяемые в ходе решения задачи. На­пример, для теплообмена такой величиной является ко­эффициент теплоотдачи.

Критерии, содержащие величины, не входящие в усло­вия однозначности, а получающиеся в результате реше­ния задачи, называются неопределяющими критериями.

16 Квалификация административных правонарушений, связанных с наркотическими средствами и психотропными веществами - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Из третьей теоремы следует, что если для двух явле­ний выполнены требования этой теоремы, то равенство неопределяющих критериев получается автоматически. Таким образом, из второй и третьей теорем вытекает важное следствие: каждый неопределяющий критерий данного явления зависит от значения определяющих критериев:

^неопр=/(^Ь К₂, .  .  . ,/Q,

где /С[, Кг,--. К л — определяющие критерии.

Уравнения, выражающие зависимость неопроделяю­щих критериев от определяющих, называются критери­альными уравнениями.

Ввиду сложности дифференциальных уравнений теп­лообмена вид этих уравнений лишь в исключительно ред­ких, простейших случаях может быть найден строгим ма­тематическим решением. В подавляющем большинстве случаев вид критериальных уравнений находится обра­боткой экспериментальных данных.

231