Расчёт прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчёт прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчёт на прочность прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизирован ГОСТ 21354. В данном конспекте лекций введены некоторые упрощения, мало влияющие на результаты расчётов для большинства практических случаев.

Силы в зацеплении

На рис. 1  нормальная сила F_n , направлена по линии зацепления как общей нормали к рабочим поверхностям зубьев. Силы, действующие в зацеплении, принято прикладывать в полюсе зацепления. При этом   силу F_n  переносят в полюс и раскладывают на окружную F_t  и радиальную F_r . Такое разложение удобно при последующем расчёте валов и опор. По заданным крутящему моменту  Т  и диаметру зубчатого колеса d  определяют окружную силу :                                                                                            

И через неё выражают все остальные  составляющие:

     ;                                                                                

Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям

Рекомендуемые материалы

Исследованиями установлено, что наименьшей контактной усталостью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев, где наблюдается однопарное зацепление. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления. Контакт зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами  р₁ и р₂. При этом контактные напряжения определяют по формуле:       

для прямозубых передач:

q = F_nK_H/b_w = F_tK_H/(b_w cos a_w) = 2T₁K_H/(d_wlb_w cos a_w).                                  

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта:

По формуле: 

Где  , знак «+» для наружного, а «—» для внутреннего зацепления.

Заменяя , получаем:

             (1)                                                    

Данная формула определения контактных напряжений является классической.  Гост 21354 даёт другую формулу, где ряд коэффициентов  имеют иной вид, но она построена на базе формулы 1. В различных учебных пособиях и расчётных электронных программах эта формула также может быть представлена в ином виде и поэтому, если Вы выполняете расчет по одному из выбранных пособий, то значения коэффициентов необходимо принимать только из этого пособия.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из колес пары, у которого меньше допускаемое напряжение [σ_н]  (чаще это бывает колесо, а не шестерня).

При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Т₁ или Т₂ и передаточному числу и.   С этой целью формулу 1 решают относительно d₁ или а. Другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. В нашем случае принимаем: , =20°, (sin 2a0,6428), Кv1,15 (этот коэффициент зависит от окружной скорости и, которая пока неизвестна, поэтому принято некоторое среднее значение). При этом из составляющих коэффициента остается только Кн_β . Далее обозначаем  — коэффициент ширины шестерни относительно диаметра. Подставляя в формулу 1 и решая относительно d_1, находим:

Решая относительно межосевого расстояния a,  заменяем  ;    и вводим    -  коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния. После преобразований  с учётом зависимости     

получим             (2).                                                     

При расчёте передач с цилиндрическими зубчатыми колёсами чаще используют формулу (2) , так как габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние.

Ниже приводятся рекомендуемые значения  стандартизированного межосевого расстояния и рекомендуемые передаточные числа редукторов.

Стандартные   межосевые   расстояния   a_w:

1-й ряд —40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400...

 2-й ряд—140,   180, 225, 280, 355, 450...

Стандартные значения   : 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Стандартные  номинальные  передаточные  числа  u:

1-й ряд— 1,0; 1,25; 1,6; 2,0; 2,5; 3,15; 4,0; 5,0; 6,3; 8,0;

2-й ряд— 1,12; 1,4, 1,8; 2,24; 2,8; 3,55; 4,5; 5,6; 7,1; 9,0; 11,2 (допускаемое отклонение   ±4%).

Выбор модуля и числа зубьев

Значение контактных напряжений  не зависит от модуля или числа зубьев в отдельности, а определяется только их произведениями или диаметрами колес. По условиям контактной прочности при данном d₁  передачи может быть сколь угодно малым, лишь бы соблю­далось равенство mz₁=d₁.

Минимально допускаемое значение модуля можно определить из условий прочности зубьев на изгиб. Однако при таком расчете в большинстве случаев получают зацепления с очень мелкими зубьями, применение которых практически ограничено. Поэтому значение т обычно выбирают, ориентируясь на рекомендации, выработанные практикой, и затем проверяют на изгиб. В этих рекомендациях  учитывают следующее.

Мелкомодульные колеса с большим числом зубьев предпочтительны по условиям плавности хода передачи (увеличивается ) и экономичности. При малых т уменьшаются потери на трение (уменьшается скольжение), сокращается расход материала (уменьшается наружный диаметр) и экономится станочное время нарезания зубьев (уменьшается объем срезаемого материала).

Крупномодульные колеса с большим объемом зубьев дольше противостоят износу, могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднородности материала (дефекты литья и т. п.). При мелком модуле возрастают требования к точности и жесткости передачи, так как увеличивается возможность  поломки зубьев вследствие концентрации  нагрузки ,   в особенности при перегрузках.

Практически рекомендуется принимать модуль зацепления в пределах   и стремиться к меньшему его значению.

Расчет прочности зубьев по напряжениям изгиба

Зуб имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдаются концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зависимости и уяснить влияние основных параметров на прочность зубьев, рассмотрим вначале приближенный расчет, а затем введем поправки в виде соответствующих коэффициентов. Допустим следующее (рис. 3):

   Вся нагрузка зацепления передается одной зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив  для   7-й,   8-й и более  низких степеней точности, ошибки  изготовления которых, не могут гарантировать наличие двухпарного  зацепления.   Например, ошибки шага приводят к тому, что зубья начинают зацепляться вершинами еще до выхода на линию зацепления. При этом вместо теоретического двухпарного зацепления будет однопарное. Зуб рассматриваем как консольную   балку, для   которой   справедлива   гипотеза   плоских сечений или  методы  сопротивления   материалов.   Фактически  зуб   подобен выступу,   у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами  высоты.  Точный расчет  напряжений в таких элементах выполняют методами теории упругости. Результаты точного расчета используют для исправления приближенного  расчета  путем  введения   теоретического  коэффициента концентрации   напряжений   (см.   ниже).   На   расчетной   схеме   (см. рис. 3):

 - см. формулу (4.6),

Где   F_t – окружная сила, a – угол, определяющий направление нормальной силы  F_n  к оси симметрии зуба. Угол а^/ несколько больше угла зацепления   .

Силу  переносят по линии действия на ось симметрии зуба  и раскладывают на составляющие

Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности                                       ,                      где

   - момент сопротивления сечения при изгибе,  - площадь сечения. Величины   b_ω  , s , l  - показаны на рис. 3.

Знак  (-) в формуле указывает, что за расчётные напряжения  принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как на практике именно здесь возникают трещины усталостного порядка ( для чугуна и стали растяжение опаснее сжатия).

 Значения l и  s  неудобны для расчётов и их заменяют на безразмерные коэффициенты  и .  Подставляя принятые обозначения, и вводя уточняющие поправки окончательно получим

          (1) ,                               

где  - допускаемое напряжение изгиба.

Величина Y_F   - вбирает в себя все уточнения, поправки и конкретные значения и называется коэффициент формы зуба.  Процесс вычисления данного коэффициента весьма трудоёмкий  его значения в зависимости от числа зубьев на колесе или шестерне обязательно приводятся в справочной литературе по расчёту зубчатых передач.

K_F – коэффициент нагрузки при расчёте на изгиб. Он учитывает точность изготовления и сборки передачи, условия её работы  и выбирается по справочной литературе. На этапе проектного расчёта обычно принимают  K_F =1,5.

Если решить формулу относительно модуля:                    

Здесь ,  z₁ – число зубьев шестерни, Т₁ – крутящий момент на шестерне.

Влияние числа зубьев на форму и прочность зубьев

На рис. 1 показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колёс, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При z, стремящемся к бесконечности колесо превращается в рейку, и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением z уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эвольвентного профиля. Такое изменение формы приводит к уменьшению прочности зуба. При дальнейшем уменьшении  z появляется подрезание ножки зуба, прочность зуба существенно снижается. При нарезании инструментом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания z_min = 17.

Рассмотренное влияние числа зубьев на прочность справедливо при постоянном модуле, когда с увеличением  z увеличиваются и диаметры колес.

При постоянных диаметрах с изменением z  изменяется модуль т. В этом случае изменяются не только форма, но и размеры зуба. С увеличением z форма улучшается, а размеры уменьшаются (уменьшается т). Уменьшение модуля снижает прочность зуба на изгиб.

Смещение инструмента при нарезании зубьев и его влияние на форму и прочность зубьев.

На рис. 2  изображено два положения инструмента (рейки) при нарезании зубьев: 1— делительная плоскость рейки (ДП) совпадает с начальной плоскостью (НП) — нарезание без смещения; 2 — инструменту дано положительное смещение хт. При этом основной d_b и делительный  d диаметры колеса не изменяются, так как не изменяется z. Как видно из чертежа, смещение инструмента вызвало значительное изменение формы зуба. Толщина зуба у основания увеличилась, увеличилась и прочность зуба по напряжениям изгиба. Одновременно с этим заострилась головка зуба. Заострение является одной из причин, ограничивающих значение смещения инструмента. Отрицательное смещение инструмента сопровождается  явлениями обратного  характера.

Применяют два типа передач со смещением:

1. Шестерню изготовляют с положительным смещением x₁>0, колесо с отрицательным х₂<0, но так, что x₁ = x₂ или ∑x=x₁ +x₂=0.

При любом смещении сумма ширины впадины и толщины зуба по делительной окружности равна шагу р. Одинаковые по значению, но разные по знаку смещения вызывают одинаковые увеличения толщины зуба шестерни и ширины впадины колеса. Поэтому в зацеплении зубчатой пары при ∑x =0 делительные окружности соприкасаются и являются начальными, как в передаче без смещения. Не изменяются также межосевое расстояние a_w и угол зацепления a_w:

a_w=a=0,5(d_l+d₂); a_w = а =20°. Изменяется только соотношение высот головок и ножек зубьев.

2. Суммарное смещение ∑x не равно нулю. Обычно ∑x >0, а также x₁>0 и х₂>0. При положительных x₁ и х₂ делительная толщина зубьев шестерен и колеса больше р/2. Поэтому делительные окружности не могут  соприкасаться.   Начальными  становятся   новые  окружности, большие, чем делительные (d_w1>d₁, d_w2>d₂), см. рис. 4.4). Межосевое расстояние увеличивается:        a_w =0,5 (d_w1+d_{w 2})>а=0,5 (d₁₊ d₂).

При этом увеличивается и угол наклона линии зацепления как общей касательной к основным окружностям, т. е. увеличивается угол зацепления, a_w>a=20°. Увеличение a_w сопровождается уменьшением коэффициента перекрытия ε_а, что является отрицательным и служит одной из причин, ограничивающих применение больших смещений.

Бесплатная лекция: "4 Эластическое и неэластическое сопpотивления" также доступна.

Нарезание со смещением позволяет во многих случаях повысить качество зубчатого зацепления. Применяя смещение, необходимо помнить:

1. Положительное смещение повышает прочность зубьев на изгиб и устраняет подрезание при малом числе зубьев (понижает z_min). Например, при z=25 увеличение х от нуля до +0,8 уменьшает Y_F в 1,2 раза. Соответственно уменьшаются и напряжения изгиба _f.

2. Увеличение a_w при ∑x >0 повышает контактную прочность. Можно увеличить a_w с 20 до ~25° и поднять допускаемую нагрузку приблизительно на 20%.

3. При большом числе зубьев у шестерни и колеса смещение малоэффективно, так как форма зуба даже при значительных смещениях почти не изменяется. (У рейки, которая подобна колесу при m>0 и z = бесконечности, смещение совершенно не изменяет форму зуба.)

Передачи со смещением при ∑x =0 применяют при больших и и малых z₁. В этих условиях смещения x₁>0 и x=<0 выравнивают форму зубьев шестерни и колеса и приближают их к равнопрочности по изгибу.

Смещение при ∑x  не равном нулю могут влиять на большее число параметров зацепления. Рекомендации по выбору коэффициентов смещения даны в ГОСТ 16532. Если мы стремимся при расчёте выполнить колесо и шестерню равнопрочными, то практически неизбежно придем к смещению в зацеплении.