Переменный ток в цепи с последовательным соединением элементов r, l, c

Переменный ток в цепи с последовательным соединением элементов r, l, c

            Предположим, что имеется цепь, содержащая резистор R, катушку с индуктивностью L и конденсатор с емкостью С. Подведем к зажимам цепи переменное напряжение u. По цепи потечет переменный ток i. На отдельных участках цепи возникнут падения напряжений, для которых в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать:

.

            Определим, какую форму изменения будут иметь падения напряжений на участках цепи, если ток изменяется по закону:

.

            Падения напряжений на участках цепи определяются из соотношений известных из курса физики:

,         ,       ( i=C).

После подстановки в исходные уравнения значения тока i получим:

                   (т.к. (sin kx)’ = k cos kx, = k sin(kx+π/2 ))

Рекомендуемые материалы

                                                                       ( т.к. ∫ sin kx  dx = - 1/k cos kx).

                                              

            Проанализируем полученные уравнения. Величины ,  и  имеют размерность [B] и представляют собой соответственно амплитудные значения напряжений резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе.

            Величины R,  и  имеют размерность [Ом] и называются соответственно: R - активное сопротивление, x_L - реактивное индуктивное сопротивление, x_C - реактивное емкостное сопротивление.

Активное сопротивление R не зависит от частоты тока, а реактивные сопротивления x_L и x_C являются функцией частоты тока .

            Сравнение фаз тока и напряжений позволяет сделать следующие выводы:

− в цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе j=0;

− в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол 90°;

− в цепи с емкостью ток опережает напряжение на 90°.

Для соответствующих участков электрической цепи векторные диаграммы токов и напряжений будут выглядеть следующим образом.

               

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей

            На векторных диаграммах можно выделить прямоугольный треугольник напряжений.

В зависимости от соотношения x_L и x_C возможны три режима работы цепи:

а) напряжение цепи опережает ток по фазе на угол j и цепь в целом имеет активно-индуктивный характер;

б) напряжение цепи отстает по фазе от тока на угол j и цепь в целом имеет активно-емкостный характер;

            в) напряжение и ток совпадают по фазе, характер цепи в целом чисто активный. Такой режим цепи называется резонансом напряжений,  при котором U_L=U_C, x_L =x_C. Настроить цепь в резонанс напряжений можно путем изменения x_L или x_C, т.е. изменяя C, L или f  (частота, при которой наступает резонанс f = 1/(2π√LC) ). При резонансе напряжений сопротивление цепи минимально, а ток максимальный.

Цепи электроснабжения в строительной отрасли чаще всего имеют активно-индуктивный характер, поэтому далее рассмотрим соответствующие треугольники с положительным углом j.

                По теореме Пифагора можно установить связь между полным напряжением цепи и напряжениями на ее отдельных участках:

.

Если разделить стороны треугольника напряжений на ток (в цепи с последовательным соединением элементов ток одинаков во всех участках), то (в соответствии с законом Ома) получим треугольник сопротивлений.

                Здесь х=x_L - x_C - реактивное сопротивление цепи, а Z - полное сопротивление цепи:

.

Полученное уравнение устанавливает связь межу различными сопротивлениями цепи.

           

Если умножить стороны треугольника напряжений на ток, то получим треугольник мощностей:

            Здесь Р=U_RI - активная мощность, которая выделяется на активных сопротивлениях цепи. Она связана с необратимыми преобразованиями электрической энергии, то есть с совершением работы (полезной) в электроустановке. Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].

Q=U_xI - реактивная мощность. Связана в электроустановках с совершением обратимых преобразований энергии, полезной работы она не совершает. В электроустановках затрачивается на создание электрических (С) и магнитных (L) полей. Реактивная мощность измеряется вольт амперах реактивных [вар].

            Реактивная мощность оказывает существенное влияние на режим работы электрической цепи. Циркулируя по проводам трансформаторов, генераторов, двигателей, линий электропередач, она нагревает их. Поэтому расчет проводов и других элементов устройств переменного тока производят из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную мощности.

S=UI - полная мощность, измеряется в вольт амперах [В*А]. Из треугольника мощностей определим:

.

           

Коэффициент мощности

            Из треугольника мощностей можно записать:

,

откуда

.

            Множитель cosj - называется коэффициентом мощности. Коэффициент мощности это отношение активной мощности к полной. Он показывает, какая часть от полной мощности потребленной электроустановкой из сети затрачивается на совершение полезной  работы. Очевидно, чем выше коэффициент мощности, тем эффективнее преобразование энергии в электроустановке. Наилучшее значение cosj=1, в этом случае вся потребленная из сети энергия затрачивается на совершение полезной работы.

            И приведенных соотношений можно выразить ток, потребляемый электроустановкой из сети:

.

Из выражения следует, что чем ниже cosj, тем больший ток потребляет она из сети на совершение той же самой работы. На практике пропускная способность линий электропередач (ЛЭП) ограничена, поэтому снижение cosj электроприемников ведет к повышенной загрузке их током, и еще больше ограничивает их пропускную способность.

            При снижении cosj повышаются потери энергии DР в ЛЭП, что следует из выражения:

,

здесь R - активное сопротивление ЛЭП. Увеличение потерь энергии ведет к возрастанию стоимости ее транспортировки.

            Таким образом, задача повышения cosj является важной народно-хозяйственной проблемой.

            Повысить cosj можно, уменьшив (желательно до нуля) потребляемую из сети реактивную мощность. Так как низкий cosj имеют электродвигатели, трансформаторы и т.п. электроустановки, работающие на холостом ходу или с недогрузкой, то для повышения cosj необходимо обеспечить полную загрузку этих электроустановок и своевременное их отключение. Указанные мероприятия называют организационными.

            Для повышения cosj применяют синхронные компенсаторы и конденсаторные батареи. Эти устройства способны вырабатывать реактивную энергию необходимую потребителям.

Электрические цепи однофазного переменного тока с параллельным соединением элементов R, L, C

            Цепь с параллельным соединением элементов состоит из ряда параллельных ветвей, включенных между двумя узлами. Рассмотрим простейшую цепь.

                По первому закону Кирхгофа для токов можно записать:

.

            Действующие значения токов в отдельных ветвях будут определяться:

,   ,   .

            Построение векторных диаграмм для параллельного соединения элементов цепи начинают с вектора U (т.к. оно одинаково для всех участков цепи).

            Цепь в зависимости от соотношения сопротивлений x_L и x_C также может иметь индуктивный, емкостный или чисто активный характер.

                Режим, когда I₁=I, т. е. I₂ + I₃ =0 называют режимом резонанса токов. Для рассмотренной схемы условие возникновения резонанса также может быть записано:

.

            Уменьшение тока в цепи при резонансной частоте свидетельствует о значительном возрастании сопротивления цепи при этой частоте. Поэтому режим резонанса токов часто используется в электрических фильтрах, когда требуется подавить какую-либо гармонику в электрическом сигнале.

           

На построенных диаграммах можно выделить треугольник токов.

I_A - активная составляющая тока;

I_P - реактивная составляющая тока.

Связь между полным током и его составляющими выражается:

.

Параллельное соединение реальных элементов электрической цепи

            Реальные элементы электрической цепи отличаются от идеализированных, рассмотренных выше. Рассмотрим электрическую цепь.

                К цепи подведено напряжение U. В соответствии с первым законом Кирхгофа для мгновенных значений токов получим:

i=i₁+i_2.

            Действующие значения токов в ветвях равны:

,     ,

где                  ,      .

            Построение векторной диаграммы начинают с вектора напряжения U. Затем откладывают токи I₁ и I₂ в ветвях. Токи сдвинуты по отношению к напряжению на фазы, соответственно j₁ и j₂, которые определяются из выражений:

,            .

В ветви 1 (R₁, C) ток опережает напряжение на угол j₁. В ветви 2 (R₂, L) ток отстает от напряжения на угол j₂. Находим полный ток I как векторную сумму токов I₁ и I₂. Между общим напряжением и полным током обозначаем угол сдвига фаз j.

            Далее откладывают падения напряжений на участках R₁, R₂, x_C, x_L.

Для ветви 1. Падение напряжения на R₁ совпадает по фазе с током I₁. Падение напряжения на x_C перпендикулярно току I₁ и отстает от него.

Для ветви 2. Падение напряжения на R₂ совпадает по фазе с током I₂. Падение напряжения на x_L перпендикулярно току I₂ и опережает его.

Однако сумма падений напряжений на ветвях равна напряжению на зажимах АB цепи.