Следствия преобразования фурье
Следствия преобразования фурье
С уменьшением длительности сигнала его спектр расширяется. Это видно из примера спектра прямоугольного импульса.
Произведение длительности сигнала на ширину его частотной полосы называют базой сигнала. У видеоимпульсов база порядка 1 (ширина спектра прямоугольного импульса длительности τ, по первому лепестку в области положительных частот, равна 1/τ). Спектр прямоугольного импульса длительности τ при τ→0 становится равномерным на всех частотах от -∞ до +∞, а сам импульс превращается в δ-функцию.
Спектральная функция δ – импульса постоянна на всех частотах
В формулах прямого и обратного преобразования Фурье
переменные t и f взаимозаменяемые. Прямоугольный импульс имеет бесконечный спектр вида sinx/x (а). Заменив, на рис.(а), t на f , а f на t, увидим, что прямоугольный спектр соответствует импульсу вида sinx/x, длящемуся от -∞ до +∞ (б).
Бесплатная лекция: "40 Решение задачи Коши методом Даламбера" также доступна.
Следовательно, фильтр с прямоугольной частотной характеристикой неосуществим, т.к. он должен превращать δ – импульс в импульс, начинающийся при t = -∞.
Спектральная функция Y(f) выходного сигнала элемента равна произведению спектральной функции X(f) входного сигнала и комплексного коэффициента передачи элемента W(f), а выходной сигнал y(t) элемента – это свертка входного сигнала x(t) и импульсной характеристики w(t):
Заменив t на f , а f на t в выражениях Y(f) и y(t), получим
т.е.
спектр произведения сигналов равен свертке спектральных функций сигналов.
