Установившиеся вынужденные колебания упругих механических систем
1.7. Установившиеся вынужденные колебания упругих механических систем
Вынужденные колебания упругой механической системы описываются операторным уравнением следующего вида:
, (1.136)
где A, С – инерциальный и упругий операторы, u – нестационарное поле обобщенных перемещений, F – нестационарная внешняя нагрузка. Если внешняя сила изменяется со временем по гармоническому закону с частотой w и амплитудой 
, (1.137)
то при установившихся вынужденных колебаниях в механической системе устанавливается периодический режим с той же частотой
Рекомендуемые материалы
. (1.138)
Подстановка внешнего воздействия и вида поля установившихся перемещений в исходное уравнение приводит к неоднородной краевой задаче для уравнения
.
Если механическая система имеет дискретный спектр собственных частот 
, если частота внешнего воздействия 
не совпадает ни с одной из частот собственного спектра, то неоднородное уравнение имеет единственное решение:
. (1.139)
Если 
, то единственное решение краевой задачи отсутствует.
Практически совпадение частоты внешнего воздействия с какой-либо из собственных частот упругой системы приводит к неограниченной амплитуде 
, имеет место т. н. резонанс.
Резонансные явления в механических системах приводят к разнообразным динамическим эффектам, имеющим как положительные, так и отрицательные свойства:
– высокая нагруженность деталей в условиях резонанса (например, сопряжение сопла корпусом ТД “ Челленджера”);
– незначительные затраты и потери энергии для проведения значительных перемещений и движений (резонансные механизмы и манипуляторы).
1.7.1. Методы решения задач об установившихся колебаниях механических систем
Аналитическое решение задачи сопряжено с построением оператора вида
. (1.140)
1.7.2. Метод разложения по собственным формам
Пусть необходимо получить решение задачи об установившихся колебаниях упругой механической системы
. (1.141)
Пусть 
– собственные формы колебаний этой же системы, полученные из решения вспомогательной краевой задачи для однородного операторного уравнения
=0 . (1.142)
Если 
(частота внешней нагрузки не совпадает с какой-либо собственной частотой системы), то решение задачи для установившихся колебаний можно записать в виде:
, (1.143)
где 
– неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициентов воспользуемся процедурой метода Галеркина:
, i =1,2,... (1.144)
Используя условие ортогональности форм собственных колебаний
; 
, при i
k. (1.145)
Система распадается на независимые уравнения, каждое из которых позволяет определить 
:
, (1.146)
где 
– дробь Релея.
Окончательно получаем:
. (1.147)
1.7.3. Прямые методы расчета вынужденных установившихся колебаний.
Прямые методы без каких либо особенностей могут быть распространены на задачу об установившихся колебаниях. Решение строится в виде
, (1.148)
где 
– неопределенные коэффициенты, 
– базисные функции.
Подставляя аппроксимацию в уравнение установившихся колебаний и используя процедуру Галеркина получаем систему уравнений относительно 
:
, i =1...N. (1.149)
Бесплатная лекция: "Организационная культура" также доступна.
Полученная система разрешается относительно коэффициентов 
.
Отметим, что если 
система становится матрицей коэффициентов диагонального вида, и решение при 
устремится к точному.
Если используется процедура метода конечного элемента, то уравнение установившихся колебаний преобразуется к виду :
, (1.150)
где 
– матрица жесткости конструкции, 
– матрица масс, 
– амплитуда узловых перемещений, 
– амплитуда значения узловых усилий.
Решение системы линейных уравнений позволяет получить приближенное решение задачи об установившихся колебаниях упругой системы. Отметим, что система линейных уравнений не может быть разрешена, если 
( – спектр собственных частот). Поэтому при решении данной задачи полезно предварительно оценить исследуемой конструкции.
