Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса

Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса.

Расчёт на прочность при изгибе:

σ_max ≤ [σ] ≤ σ_τ / n_τ    ,где σ_max = M_{x max} / W_x

Косой изгиб - такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобно рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в попереч­ном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б): Mx = M×sina; My = M×cosa        (5.25)

Введем правило знаков для моментов M_x и M_y- момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

По принципу независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленных моментами M_x и M_y, т.е.      (5.26)

Подставим выражения M_x и M_y из (5.25) в (5.26):

Последнее выражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напря­жения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s = 0:

Рекомендуемые материалы

     Откуда определяется:      (5.27)

Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

Покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K₁ следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K₁ = tga.              (5.28)

Угловой коэффициент нейтральной линии, как следует из (5.27), определяется выражением: (5.29)

Т.к. в общем случае I_x ¹ I_y, то условие перпендикулярности прямых, не соблюдается, поскольку K₁ ¹ - 1/К₂ . Брус изгибается не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.

Внецентренное растяжение и сжатие

Внецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб отно­сится к сложному виду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относи­тельно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).

Пусть в точке А(x_A, y_A) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты: M_x = P×y_A; M_y = P×x_A.     (5.34)

Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в по­перечном сечении бруса возникает нормальная сила N_z=P и изги­бающие моменты M_x и M_y . Следовательно, на основании принци­па независимости действия сил в произвольной точке В с коорди­натами x, y нормальное напряжение s определяется следующим выражением:      (5.35)

Используя выражения для квадратов радиусов инерции сечения:

можно (5.35) преобразовать к следующему виду:

Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю вы­ражение для нормальных напряжений s:     (5.36)

Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях. Если приравнять x = 0, то получим:

где a_y - координата точки пересечения нейтральной линии и оси y. Решая это уравнение, получим:

Аналогичным образом можно определить координату пересечения нейтральной линии и оси x:

Информация в лекции "1 Тенденции развития" поможет Вам.

Можно решить и обратную задачу - определить координаты приложения силы Р при заданных отрезках а_x и а_y . Опуская простейшие выкладки, приведем окончательные выражения:

Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецентренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x0y до прямой ay + bx + c = 0 определяется по фор­муле:

Следовательно, в данном случае

Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

При x_A® 0, y_A® 0, получаем 0C ® ¥. Сила в данном случае становится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равно­мерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.

Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как правило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, не­жели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.