Распространение волн в неоднородных средах
1.6. Распространение волн в неоднородных средах
Распространение упругих волн в неоднородных средах в общем случае предполагает рассмотрение одного из двух видов:
1. Длина волны значительно больше характерного размера неоднородности.
2. Длину волны нельзя считать существенно большей по сравнению с масштабом неоднородности.
1.6.1. Волны в эквивалентной гомогенной среде
Рассмотрим распространение волн в неоднородной среде при выполнении условия большой длины волны. Приняв данное предположение, можно считать, что неоднородная среда ведет себя как эквивалентная однородная с эффективными упругими и инерционными характеристиками. Тогда основные уравнения динамики примут вид:
sij,j = ru,tt;
sIj = Cijke ekl ; (1.125)
Рекомендуемые материалы
eij =(ui,j+uj,i) / 2,
где r – плотность среды, осредненная по объему материала, Cijke – эффективные упругие модули среды, рассчитанные с использованием моделей и методов механики композиционных материалов; s, e и u – осредненные нестационарные поля напряжений, деформаций, перемещений.
Подробнее рассмотрим одномерный случай:
1. Продольная волна.
2. Сдвиговая волна.
E = r; G = r (1.126)
Фронт волны распространяется с постоянной скоростью, тогда
u = u (x ± a1t); v = v (x ± a2t). (1.127)
Если ввести обозначение x=x±at (характеристики волнового уравнения) и перейти к новым переменным, то получим:
E=ra12 =ra22, (1.127)
откуда следует
a1= ; a2= – (1.128)
скорости распространения продольных и сдвиговых волн в материале.
В анизотропных средах скорости волн в направлении главных осей анизотропии отличаются, при этом волны, распространяющиеся в произвольном направлении, образуют продольную и сдвиговую форму деформирования одновременно, их взаимодействие и наложение приводит к сложным динамическим эффектам.
1.6.2. Прохождение волн в слоистых средах
Распространение коротких импульсов в неоднородных средах рассмотрим на примере слоистого материала (для простоты двухкомпонентного и периодического). Исследуем скорость распространения волн поперек пакета слоев.
a1==; a1=. (1.129)
Сравним со скоростью распространения длинных волн
a*1=; , (1.130)
где h=h1+h2; ; .
Очевидно, что а1>а2.
Аналогично можно получить выражение для скорости поперечной волны
a2=. (1.131)
1.6.3. Отражение волн на границах раздела
Путь волны проходит из слоя 1 в слой 2 (рис.1.11) через поверхность раздела. Запишем условия непрерывности для напряжений при перемещении на границе слоев.
– падающая волна напряжений
– проходящая волна
– отраженная волна
условия на границе раздела фаз.
Рис. 1.11. Волны напряжений на границе раздела слоев.
Внутри каждого из слоев выполняются условия движения
, . (1.132)
Пусть ;
,
где – выбор знака в характеристике соответствует тому, что исходная волна движется вдоль оси х, тогда
и интегрируя по получим
. (1.133)
Запишем условие совместности для скоростей
(1.134)
и выразим через напряжения
,
разрешим относительно и
6 Внешнеполитические ресурсы России и их оценка - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
;
(1.135)
где – импеданс.
Условие полного прохождения волны - равенство импедансов слоев , в противном случае имеет место множественное отражение, которое позволяет рассеять волновое воздействие. Свободная поверхность обеспечивает полное внутреннее отражение волны со сменой знака напряжений.