Динамика композитных конструкций

Глава 1.

Динамика композитных конструкций

1.1. Динамические воздействия на конструкции

В процессе эксплуатации элементы конструкций подвержены внешним воздействиям различной физической природы:

1. Механическое воздействие обусловлено взаимодействием элемента конструкции с другими твердыми телами, а также жидкими и газообразными средами.

2. Тепловое воздействие приводит расширению конструкции при нагревании и возникновению в ней полей температурных деформаций и напряжений.

3. Электромагнитное воздействие вызывает в твердых деформируемых телах пьезоэффект и деформирование элементов конструкций.

Внешние воздействия приводят к механическому нагружению конструкции, которое определяется системой активных сил, реакций и начальных напряжений. По характеру приложения нагрузок выделяют:

1. Сосредоточенные силы, приложенные локально в определенных точках конструкции.

2. Поверхностное давление, напряжения, распределенные по поверхности тела или по границам раздела.

Рекомендуемые материалы

3. Объемные нагрузки, действующие в каждой точке конструкции.

Внешнее воздействие на конструкцию может быть постоянным, а может изменяться во времени:

1. Стационарные, независимые от времени нагрузки приводят анализу статических задач механики конструкций.

2. Нестационарные, изменяющиеся во времени нагрузки приводят к динамическим задачам механики конструкций.

        

Нестационарные нагрузки и порождающие их физические явления часто называют процессами, выделяя при этом:

1. Детерминированные процессы и нагрузки, закономерности изменения которых во времени известны и могут быть описаны формулами.

2. Случайные процессы и нагрузки, для которых нельзя предсказать точные значения в будущие моменты времени.

1.1.1. Детерминированные нестационарные нагрузки

Классификация детерминированных динамических воздействий на конструкцию может быть представлена в виде следующей схемы.

  

v Детерминированные процессы и нагрузки.

Ø Периодические:

§ Гармонические.

§ Полигармонические.

Ø Непериодические:

§ Квазипериодические.

§ Переходные.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Гармонический процесс

Простейшим видом периодического детерминированного воздействия является гармонический (синусоидальный) процесс. Закономерность изменения нагрузки по времени определяется зависимостью

 p ( t ) = A sin( 2p f₀ t + q ),                             (1.1)

где A – величина амплитуды, [размерность p(t)]; f₀  – частота, [Гц] = [с^-1];    q – фазовый угол, [рад.]; w = 2pf₀  – круговая частота [с^-1]. При анализе гармонических процессов часто выбирают начальный момент времени t₀  так, чтобы фазовый угол был вырожденным (q = 0), в этом случае гармонический процесс принимает вид

         p ( t ) =A sin 2p f₀ t,                                        (1.2)

такой процесс обычно называют синусоидальным процессом. Графически гармонический процесс может быть представлен либо в виде зависимости текущего значения нагрузки от времени (рис.1.1), либо в виде частотного спектра (рис.1.2). Интервал времени, на котором происходит одно полное колебание или цикл гармонического процесса, называется периодом T_p.  На рисунке 1.1 представлен один полный цикл синусоидального процесса, число циклов в единицу времени является частотой f₀, которая и определяет величину периода гармонического процесса

 T_p = .                                            (1.3)

Гармонический процесс, с точки зрения анализа, является одним из наиболее простейших видов протекающих во времени процессов, при этом он имеет весьма важное прикладное значение.

         P(t), МПа

                                                                                                       t, c

Рис.1.1. Синусоидальный гармонический процесс

         А, МПа

                                                        f₀                                             f, Гц

Рис. 1.2. Частотный спектр гармонического процесса

Полигармонический процесс

К полигармоническим процессам относятся периодические процессы, которые математически могут быть представлены в виде периодической функции (рис.1.3), точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы времени

p ( t ) = p ( tnT_p )    n = 1, 2, 3, ...                    (1.4)

где T_p – период полигармонического процесса [с]; f₁ = 1/T_p – фундаментальная (базовая) частота полигармонического процесса [Гц=с^-1].

Если функция p(t) является аналитической периодической функцией, то она может быть представлена в виде ряда Фурье

 p( t ) =  (a_n cos 2p f₁ nt+b_n sin 2p f₁ nt);                    (1.5)

где    a_n = p( t ) cos 2p f₁ nt dt;     b_n = 2pf₁nt dt.

Другое представление периодической функции в виде ряда Фурье

p(t)=A₀+(2pf₁nt-q_n);                                 (1.6)

где    A₀=a₀ /2,     A_n=(a_n²+b_n²)^1/2 ,   q_n=arctg.

Последнее выражение показывает, что полигармонический процесс представляет сумму стационарного процесса и бесконечного числа гармонических составляющих,  называемых гармониками. Каждая гармоника характеризуется своей амплитудой A_n, частотой f_n = f₁n и фазовым углом q_n. При этом все частоты гармонических составляющих кратны фундаментальной частоте, спектр полигармонического процесса представляет дискретный линейчатый спектр (рис.1.4). В спектре полигармонического процесса могут быть вырожденные гармонические составляющие, то есть амплитуда таких гармоник равна нолю.

Пример: Пусть периодический процесс образован суммой трех гармонических процессов с частотами 60, 75 и 100 Гц. Определить основные параметры полигармонического процесса.

Наибольший общий делитель для приведенных частот 5 Гц,  следовательно f₁ =5 Гц - фундаментальная частота,  период процесса - 0,2 с. При разложении в ряд Фурье такой функции A_n=0 для всех значений и,  исключая n=12,15,20.

Пример: Показать, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического.

Базовая частота гармонического процесса кратна сама себе, тогда f₁ = f₀

 A₁ = A, а все остальные A_n = 0  для n = 0, 1, 2, ... .

         P(t), МПа

                                                                                                       t, c

Рис. 1.3. Полигармонический процесс

         А_i, МПа     

                   f₁           f₂          f₃         f₄      f₅       f₆       f₇        f₈     f₉      f₁₀     f, Гц

Рис. 1.4. Частотный спектр полигармонического процесса

НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Почти периодический (квазипериодический) процесс

Периодический процесс представляется в виде суммы гармонических процессов с кратными фундаментальной частоте значениями частот гармоник (1.5 или 1.6). Если последнее условие не выполняется, то процесс не будет периодическим, хотя он и образован суммой гармонических процессов. Таким образом, вопрос о периодичности процесса образованного суммой гармонических процессов сводится к проблеме существования фундаментальной частоты и, следовательно, периода. Для того чтобы отсутствовала фундаментальная частота, достаточно, чтобы отношение частот каких-либо гармоник не являлось бы числом рациональным. Тогда для этих частот невозможно указать общий делитель, а, следовательно, его нельзя тем более указать для всего спектра.

В этом случае почти периодический процесс определяется математически как функция времени вида

p(t)=sin(2pf_nt+q_n)                                   (1.7)

при этом хотя бы одно из отношений  f_n / f_m  ( n, m = 1,2,...) является иррациональным числом. Практически такой процесс порождается различными гармоническими процессами, не связанными между собой физически общим воздействием (например, вибрации многомоторного самолета с несинхронизированными двигателями). Спектр почти периодического процесса (1.7) также является дискретным (рис.1.4), при приближенном анализе очень часто полагают фундаментальную частоту f₁ некоторой очень малой положительной величиной, что практически означает замену почти периодического процесса периодическим (1.6).

Переходные непериодические процессы

Переходные процессы – это все непериодические процессы, за исключением почти периодических процессов. Примеры переходных процессов (см. рис. 1.5): затухающая экспонента, затухающие колебания и прямоугольный импульс

p(t) = P exp(- lt);                                                         (1.8)

                           

p(t) = P exp(- lt) sin(wt);                                    (1.9)

   

,                                                               (1.10)

где P – начальное значение нагрузки, l – характерная скорость затухания,  T – продолжительность действия импульса.

      P(t), МПа

                                                                                                       t, c

Рис. 1.5. Переходные процессы: затухающая экспонента

(сплошная линия), затухающие колебания (прерывистая

линия), прямоугольный импульс (штрихпунктирная линия)

        

Переходный процесс нельзя охарактеризовать дискретным спектром частот. В большинстве случаев для переходных процессов можно получить непрерывное спектральное представление, используя преобразование Фурье

p(f)=p(t)e^-i2pftdt , i= .                                 (1.11)

Спектральное представление p(f) является комплексной величиной и ее можно представить в полярной форме

p(f)=ïp(f)ïe^-iq(f),                                         (1.12)

где ïp(f)ï – модуль спектра, непрерывная действительная функция;         q(f) – аргумент спектра, также непрерывная действительная функция. Очень часто при инженерном анализе переходных процессов ограничиваются исследованием модуля спектрального представления переходного процесса (1.12), называя его просто спектром переходного процесса.

1.1.2. Случайные нестационарные нагрузки

Описание случайного нестационарного нагружения связано с анализом случайных функций. Рассмотрим воздействие на конструкцию, вызванное сложным физическим явлением стохастической природы, например аэродинамической турбулентностью. Статистические реализации этого процесса  приведены на рис.1.6, где представлены две выборочные функции случайного процесса. Отличительной особенностью случайных процессов является несовпадение выборочных функций или статистических реализаций. Совокупность всех возможных реализаций, которое может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Реализация, таким образом, это один из возможных исходов случайного процесса. Процесс, все реализации которого являются тождественно равными, называется детерминированным. Классификация случайных воздействий на конструкции имеет вид:

v Случайные процессы

Ø Стационарные

§ Эргодические

§ Неэргодические

Ø Нестационарные

         P(t), МПа

                                                                                                            t, c

Рис. 1.6. Выборочные функции случайного процесса

Рассмотрим совокупность выборочных функций P_i(t) i=1,2,..., определяющих случайный процесс. Среднее значение случайного процесса в произвольный момент времени t можно определить как

<P(t)> = _i(t) .                                   (1.13)

Рассмотрим ковариацию случайного процесса или смешанный статистический момент, который определяется следующим образом

R(t,t+t)=_i (t)+p_i(t+t) ,                      (1.14)

где t – сдвиг по времени. Стационарными называются случайные процессы у которых <P(t)>  не зависит от времени (<P(t)>=<P>) , а ковариационная функция зависит только от величины сдвига по времени t (R(t,t+t )=R(t)). В противном случае процесс является нестационарным. Рассмотрим осреднение произвольной k-той реализации случайного процесса

<P(k)>= .                                 (1.15)

Если рассматриваемый процесс стационарен, а значения математического ожидания вычисленные по формулам (1.13) и (1.15) совпадают,  то процесс является эргодическим для которого справедливо утверждение

< P_k > = < p >

< R_k > (t) = R(t)

В лекции "68 Личность несовершеннолетнего преступника" также много полезной информации.

Эргодическими могут быть только стационарные процессы. Свойство эргодичности позволяет установить характеристики случайного процесса на основе осреднения по одной реализации.

Спектральная плотность случайного процесса определяется как результат преобразования Фурье ковариационной функции случайного процесса

S(f)=(t)e^-i2pft dt ,                                  (1.16)

обратное преобразование Фурье для спектральной плотности случайного процесса, известное как соотношение Винера - Хинчина, позволяет получить ковариационную функцию

R(t)=s(f)e^i2pft df.                                    (1.17)

Очень часто в инженерных приложениях случайный процесс определяется именно через спектральную плотность.