Статистические алгоритмы обнаружения, измерения и оценивания параметров сигналов
2. статистические алгоритмы обнаружения, измерения и оценивания параметров сигналов
Особенностью задач цифровой обработки сигналов в радиоэлектронных системах является их статистическая направленность. Так, при решении задач статистического синтеза алгоритмов цифровой обработки сигналов, модель системы ЦОС строится на основе вероятностных характеристик случайных числовых последовательностей на выходе АЦП, а также на основе анализа статистических свойств сигналов и помех.
2.1. Обработка сигналов в задачах обнаружения
Некогерентная обработка. В этом случае АЦП стоит после цепочки: согласованный фильтр (СФ), амплитудный детектор (АД) (рис. 2). Напряжение с выхода детектора u(t) дискретизируется по времени 
и квантуется по амплитуде 
.
Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия [ ]
где 
условные вероятности отсчетов при различных условиях на входе АЦП и сравнить его с порогом.
Для статистически независимых наблюдений алгоритм цифрового процессора (ЦП) оптимального обнаружения бинарно квантованных сигналов имеет вид
,
Рекомендуемые материалы
где 
- весовые коэффициенты, 
, 
- вероятности появления нуля на n –й позиции при условии, что на входе АЦП один шум и смесь сигнала с шумом соответственно, C – порог обнаружения, выбираемый по критерию Неймана-Пирсона.
Модель когерентной цифровой обработки сигналов. Чтобы снизить требования к быстродействию АЦП и других цифровых элементов, цифровую обработку стараются проводить на пониженной частоте. Для этого используют схему с двумя квадратурными каналами (рис. 3), в которой с помощью умножителей и фильтров нижних частот (ФНЧ) (т.е. фазовых детекторов) осуществляется переход от промежуточной (или высокой) частоты f0 к видеочастоте. Квадратурные составляющие 
и 
, где 
- комплексная огибающая наблюдаемого процесса x(t), содержит всю необходимую информацию о сигнале. Эти составляющие дискретизируются в АЦП и затем поступают в цифровой процессор. При оптимальной аналоговой обработке квадратурных составляющих находится модуль комплексной статистики в виде корреляционного интеграла
. (19)
Здесь 
- весовая функция, астерик означает комплексное сопряжение, Тa- интервал анализа. Учитывая представление комплексных функций, 
корреляционный интеграл распадается на сумму из четырех интегралов, при этом
, 
.
После дискретизации по времени эти интегралы перейдут в суммы
. (20)
В результате квантования по уровню и цифрового кодирования осуществляется переход чисел 
; 
. После этого корреляционные суммы можно вычислить с помощью четырех корреляторов, реализующих операции 
, 
, 
, 
, где 
, 
- числа, являющиеся цифровыми значениями коэффициентов 
и 
. Выходы корреляторов объединяются с учетом (20), после чего формируется модуль статистики (19). Все эти операции составляют алгоритм функционирования цифрового процессора (ЦП).
Вычислительная процедура, реализуемая цифровым коррелятором, идентична цифровой фильтрации, в основе которой лежит операция свертки
,
где x[i] - дискретный сигнал на входе фильтра, h[k-i] – весовые коэффициенты, определяющие импульсную характеристику фильтра; N- объем выборки. Алгоритм свертки описывает фильтрацию во временной области. Но можно ее проводить и в частотной области, используя для этого дискретное преобразование Фурье и теорему о свертки. Заметим, что цифровой фильтр не является линейным устройством и может быть им только аппроксимирован при малой погрешности округления чисел.
2.2. Пространственно-временная обработка сигналов.
Cистема осуществляет пеленгование и обзор пространства по угловым координатам радиосигналов. Рассматривается плоское пространство и линейная антенна. Полезный сигнал представляет собой монохроматическое колебание известной частоты f0. Информационным параметром является угловая координата q. Оптимальная пространственно-временная обработка сначала обрабатывает входной сигнал 
с помощью антенных решеток
, (21)
где 
относительная координата оси x, отводимой под раскрыв антенны; 
-длина волны принимаемого колебания; 
-относительный раскрыв.
Затем на интервале наблюдения 
производится временная обработка
. (22)
Если функция удовлетворяет условиям теоремы отсчетов, то она может быть представлена последовательностью своих отсчетов с интервалом дискретности 
. В случае, когда можно пренебречь краевыми эффектами антенны, и ограничится теми точками дискретизации, которые расположены в пределах раскрыва, получаем
, 
. (23)
Совокупность 
несет в себе всю информацию, содержащуюся в поле об источниках излучения в заданном секторе. Пространственная обработка для дискретных значений угла 
сводится теперь к дискретному преобразованию Фурье
. (24)
Возможен другой вариант, когда система обработки начинается с многоканальной временной обработки, в результате которой формируется совокупность 2m+1 комплексных значений 
или 2(2m+1) вещественных 
чисел
, 
, (25)
где ul(t) – колебание на выходе l-го элемента антенной решетки, которое пропорционально принимаемому полю в l-й точке дискретизации 
.
Подставляя определенные таким образом значения 
в алгоритм оптимальной обработки, получаем выражение для отсчетов оптимального выходного эффекта 
в узлах интерполяции
(26)
в виде дискретного преобразования Фурье, которое ставит в соответствие последовательности чисел 
(дискретный пространственный сигнал) последовательность 
(дискретный пространственный спектр).
2.3. Дискретные алгоритмы частотно-фазовых измерений
Производится оценка частоты (или частоты и фазы) сигнала, который на интервале наблюдения 
можно считать монохроматическим 
. Сигнал 
принимается на фоне гауссовских стационарных помех n(t). Априорный интервал возможных значений частоты сигнала fc задан: 
. Начальная фаза 
полагается случайной равномерно распределенной величиной. Оптимальный выходной эффект в этом случае может быть представлен в виде:
, 
. (27)
Алгоритм получения оценок 
и 
сводится к нахождению точки наибольшего значения модуля функции 
и к определению аргумента этой функции в точке (или 
, если частота сигнала известна)
,
. (28)
При оценке частоты сигнала с неизвестной начальной фазой, являющейся мешающим параметром, используется только первая часть алгоритма (28). Применение к (27) периодической временной дискретизации с учетом достаточно большим интервалом наблюдения дает
, 
. (29)
При преобразовании (27) в (29) использовано допущение об отсутствии частотных составляющих вне полосы анализа. Следовательно, при временной дискретизации необходимо обеспечить предварительную фильтрацию принимаемых данных 
в полосе априорно возможных значений частоты сигнала.
Согласно (27) функция представляет собой преобразование Фурье (спектр) принятой реализации u(t), причем интеграл берется по ограниченному длительностью T интервалу. Поэтому функция может быть представлена рядом Котельникова с интервалом дискретности 1/T. Иначе говоря, для воспроизведения выходного эффекта достаточно сформировать совокупность отсчетов
(30)
и воспользоваться интерполяционной формулой Котельникова. В частности для модуля функции , входящего в алгоритм оценки частоты (28), получим
, 
,
. (31)
Для уменьшения ошибок, связанных с неточной фиксацией моментов дискретизации k/2F и обеспечения эффективной многоканальной обработки, целесообразно процессы и 
перенести на более низкие частоты. Обозначим символами 
и 
процессы и , преобразованные с полосы 
на полосу 
. Тогда выходной эффект (30) примет вид
, 
. (32)
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Часть 45.
Полученный алгоритм дискретного преобразования Фурье (ДПФ) может быть реализован с использованием программы быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Контрольные вопросы и задачи
1. Раскрыв антенны равен 
, выполняется условие 
, аппроксимировать рядом Котельникова выходной эффект (21).
2. Написать алгоритмы когерентной и некогерентной обработки сигналов.
3. Как влияет размер дискретного преобразования Фурье на эффективность обработки сигналов?
4. Доказать целесообразность обработки радиосигналов на более низких частотах.
5. Составить алгоритм оценки частот суммы двух монохроматических колебаний с помощью дискретного преобразования Фурье.
