Изменение параметров газа на скачке уплотнения

Лекция №4

Тема 1.Теоретические основы аэромеханики

1.11. Изменение параметров газа на скачке уплотнения

Изменение нормальной скорости

         Используя уравнение изменения количества движения (1.88), уравнение сохранения массы (1.87) и уравнение сохранения энергии (1.92) взяв в качестве const величину V²_пр/2 ( V_пр – предельно-возможная  скорость потока, при истечении, например, в пространство, где Т=0), получим следующее соотношение нормальных скоростей

                                            (1.94)

         Предельная скорость V_пр связана с критической скоростью звука а_кр соотношением

                                                             (1.95)

Рекомендуемые материалы

Тогда

                                       (1.96)

Величину а_кр можно получить из выражения

                                                    (1.97)

         Если известны только число М и угол , то можно пользоваться уравнением вида

                                     (1.98)

Для воздуха c=1.4, поэтому

                                          (1.99)

         Отсюда следует вывод, что при неограниченном росте числа М скорость потока  при переходе через скачок уплотнения уменьшается не более чем в 6 раз (при М, p/2).

         Кроме того, для прямого скачка V=0 и выражение (1.96) принимает вид

                                                                 (1.100)

т.е. после прямого скачка скорость потока становится дозвуковой, так как V₁>а.

Изменение плотности

         Воспользовавшись уравнением сохранения массы (1.87) и соотношением нормальных скоростей (1.98) получим выражение для соотношения плотностей газа до и после скачка уплотнения

     .                                              (1.100)

         Таким образом, отношение плотностей, как и нормальных скоростей, зависит только от параметра М sin.

         Кроме того, можно заметить, что с ростом числа М плотность за скачком возрастает не беспредельно. Полагая Мsin= получим предел отношения плотностей

.                                                                    (1.101)

         Для воздуха при c=1.4 получаем ₂=6₁.

         Причиной ограничения увеличения плотности является увеличение температуры при ударном сжатии. Нагрев газа препятствует его уплотнению.

Изменение давления и температуры

         Воспользовавшись уравнением изменения количества движения (1.88) и соотношением нормальных скоростей (1.98) получим

                                        (1.102)

         Для определения соотношения температуры воспользуемся уравнением состояния газа до и после скачка и разделим одно из них на другое. Тогда

                                                       (1.103)

Выводы:   таким образом, отношение давлений и температур на скачке зависят также от параметра М sin. При неограниченном росте этого параметра  давление р₂ и температура T₂ возрастают также неограниченно, но отношение температур растет менее интенсивно за счет ограниченного роста плотности (рис.1.44).  Это справедливо для газа постоянной теплоемкости.

Рис.1.44

1.12. Коэффициент восстановления полного давления

         По  закону  сохранения  энергии  при переходе  через  скачок  общий  запас  энергии  не  изменяется, т.е. энтальпия  торможения    до и  после  скачка  одинакова

                            .                                                            (1.104)

         Для  газа  с  постоянной  теплоемкостью  энтальпия  однозначно  выражается  через  параметры  торможения, предельную  и  критическую  скорости

.                                                    (1.105)

         Таким  образом, при  переходе  через  скачок  уплотнения  остаются  постоянными  следующие  параметры  торможения

                            ,                                          (1.106)

а также  предельная  и критическая  скорости.

         Однако  полное  давление  за  скачком    и  плотность  будут  меньше, чем  до  скачка  ( и  ), так  как  процесс  ударного   сжатия на  скачке  является  изоэнтропическим  и  сопровождается   потерями  полного  давления   за  счет  необратимого  прихода   части  кинетической  энергии  в  тепло.

         Эти   потери   полного  давления  на  скачке  характеризуются   коэффициентом  восстановления  полного  давления

                                                                                                             (1.107)

         Коэффициент  n всегда  меньше  единицы  и  убывает  с  ростом  числа  М, так  как   при  этом  возрастает  интенсивность   скачка  и  необратимые  потери  на  нем.

         Можно  показать, что

                                               .                                         (1.108)

         а так  как  отношение  давлений  и  плотностей  зависят  от параметра  Msin b, то  и n зависит  только от  этого  параметра ( рис.1.45)

Рис. 1.46  

        

Выводы: анализ  выражения (1.108)  и  его  графического   представления  показывает, что  при Msin b ®1 и  n®1,  а  при   увеличении  Msin b   коэффициент n   уменьшается.

         При  одном  и  том  же  числе  М  чем  больше  угол  наклона  скачка  b, тем  меньше  n. Это  необходимо   учитывать  при  выборе  форм  сверхзвуковых  летательных  аппаратов, особенно   входных   устройств  силовых  установок, в которых  потери   полного  давления   желательно   свести  к  минимуму.

         Потери полного давления  необходимо  также  учитывать  при  определении     скорости  полета  летательного  аппарата (числа М)   с  помощью   приемника   воздушного  давления (ПВД).

Принцип  измерения   числа  М

         Принцип измерения  числа  М  основан  на  измерении  отношения  давления  торможения   к  статическому  давлению  невозмущенного    потока  при  помощи  приемника  воздушного  давления    (рис. 1.47).

Рис. 1.47

         Центральный  канал  ПВД    является  приемником  полного давления, так  как   вход  в  него  располагается  в точке  полного торможения.  Отверстия  на  боковой   поверхности   являются    приемниками  статического  давления.

          На  дозвуковых  скоростях   полета  связь  между  числом  М  и  указанным  отношением   давлений  определяется  формулой

                                                                                       (1.109)

         При  сверхзвуковых   скоростях  эта  связь   становится  более  сложной,  поскольку перед   ПВД  образуется  скачок  уплотнения   и  на нем  имеются  потери  полного  давления.  Тогда, учитывая. что  в  районе  центрального    канала  угол b=p/2, получаем

                   ,                                               (1.110)

- давление торможения  за скачком;

- полное  давление   перед  скачком.

         Данное  выражение  носит  название  формулы  Релея.

         Так  как  M=V/a ,  то  формулы  (1.109) и (1.110) используются  для  тарировки  указателей  не  только  числа  М , но  и  скорости  полета.

         Графически  зависимости  (1.109) и  (1.110)  представлены  на  рис. 1.48.

Рис. 1.48

         Расхождение этих зависимостей  при  М>1  и  характеризует  потери  полного  давления  на  скачке.

1.13. Сверхзвуковое  течение  расширения

         Рассмотрим  сверхзвуковое  плоскопараллельное  течение  невязкого  газа около  двух  плоскостей  А₁О и ОА₂, образующих  излом   в  точке О  с  внешним углом  более 180⁰ (рис.1.49).

Рис.1.49  

         Параметры  газа  около  плоскости А₁О будем   считать  исходными, невозмущенными.

         Поворачиваясь   в  точке  излома  на  угол w сверхзвуковой  поток  расширяется. При  этом  скорость  будет  возрастать, а  давление, плотность и  температура - уменьшаться.

         Вершина  угла О  является  источником  слабых  возмущений, следовательно, от  нее  будут  исходить  характеристики. Очевидно, первая характеристика  будет  наклонена  к  поверхности А₁О  под углом   , а  последняя -  к поверхности ОА₂   под  углом .

         Поскольку  М₂>M₁, то  m₂<m₁.

         Это  означает, что  пучок  характеристик, исходящих из  точки  О, будет  расходиться   в  виде  веера  и  не  может  образовать  скачка  разрежения. Расширение  потока  происходит  на  этом  пучке  плавно, поэтому  является  изоэнтропическим.

         Рассмотренное  простейшее  сверхзвуковое течение   называется  течением  Прандтля-Майера. Оно  достаточно  хорошо  изучено, для  него  составлены  таблицы  и  графики, позволяющие  по  исходным данным  невозмущенного  потока  и  углу  поворота  w  определить все  параметры  газа  после  его  расширения.

         На рис. 1.50   представлена  подобная  диаграмма.

Рис.1.50   

         Верхняя  кривая  на ней  является  зависимостью   отношения  статического   давления  после  поворота  потока  р₂  к полному  давлению  р^* от  угла   поворота  w при  условии, что  исходное  число  М=1.

Изоэнтропическое  течение- течение газа с постоянной энтропией  во всем поле течения.

         С другой  стороны, для  изоэнтропического течения  справедлива  зависимость р₂/р^*  от  числа  М, вытекающая из уравнения  сохранения  энергии

                                      .                                                (1.111)

         График  этой  зависимости  представлен  на рис.1.50   нижней  кривой.

         Алгоритм  определения  параметров  по  данному  графику  следующий:

1. По  числу М₁  на  нижней  кривой  определяем р₁/р^* до  поворота.

2. При  этом  значении  переходим  на  верхнюю   кривую  и  определяем  угол w₁, на который  нужно  повернуть  поток, чтобы разогнать его от  М=1 до М₁.

3. Добавив к  w₁ угол фактического  поворота  w  определяем  по  верхней  кривой  отношение р₂/р^*.

4. Переходя при  этом  значении  на  нижнюю  кривую, определяем  число М_2.

5. Остальные  параметры определяются из  формул

,     ,  , V₂=M₂a_2.                                      (1.112)

1.14. Обтекание тел сверхзвуковым потоком

         Рассмотрим обтекание  носовой  части  затупленного  тела  сверхзвуковым  потоком (рис.1.51).

Рис.1.51

         В этом  случае  перед  телом  образуется  отошедшая  криволинейная  ударная  волна. Основной  особенностью  течения  за  криволинейной  отошедшей  ударной  волной  является  наличие зоны  дозвукового  обтекания  между  телом  и  ударной  волной. Это  объясняется  тем, что  за  прямым  скачком  уплотнения  или близким  к  прямому  поток  всегда  дозвуковой. По  мере  удаления   от  линии  тока, приходящей  в  точку  полного  торможения, интенсивность   ударной  волны  становится  слабее,  угол  ее  наклона  уменьшается, а  скорости  за  ней  увеличиваются.  И  в  какой-то  точке  “а” ударная  волна  переходит  в слабый  скачок, за  которым  скорость  сверхзвуковая.  В дозвуковой  зоне  за  ударной  волной  поток  разгоняется    в  силу  уменьшения  площади  поперечного  сечения  струек  и на  линии  “а-а” достигает  скорости  звука.

         С  учетом  рассмотренных  особенностей  сверхзвуковых  течений  около  простых  тел  построим   картину  течения  возле  тела  сложной  формы  (рис.1.52).

Рис.1.52

         Картина обтекания  головной  части  зависит  от  ее  формы - затупленной, конической  или  клиновидной. Далее  в  местах, где  имеет место    поджатия  сверхзвукового потока  (вогнутые  углы), образуются  скачки  уплотнения. В местах  наличия  выпуклых  углов  имеют  место  течения  расширения.

         За  кормовой  частью  вследствие  необходимости  выравнивания  потока  до  направления  невозмущенного  потока  образуется  угол, на  котором  появляется  кормовой   скачок  уплотнения, на  котором  поток  тормозится   до  скорости, примерно   равной V_¥.

1.15. Волновой срыв

Существенное влияние на характер течения в пограничном слое при трансзвуковых и сверхзвуковых скоростях полета оказывают скачки уплотнения. Результатом взаимодействия скачков уплотнения и пограничного слоя может быть волновой срыв.

Волновым срывом называется обратное течение в дозвуковой части пограничного слоя, вызванное перепадом давления на скачке уплотнения.

Рассмотрим физическую природу волнового срыва. При наличии сверхзвукового потока над поверхностью тела в нижней части пограничного слоя имеется зона дозвукового течения, так как непосредственно на поверхности V=0 и достигает величины V=a на каком-то расстоянии от тела. Поэтому, если в потоке имеется скачок уплотнения, то он не доходит до поверхности (рис. 1.53) на расстояние, равное толщине дозвуковой части пограничного слоя.

Рис.1.53

В силу этого под действием повышенного давления за скачком (p₂>p₁) возникает обратное течение между основанием скачка уплотнения и поверхностью тела. Под действием перетеканий пограничный слой перед скачком набухает, в результате возникает обтекание, подобное обтеканию внутреннего тупого угла сверхзвуковым потоком с образованием вторичного скачка уплотнения. Образуется система скачков в виде буквы . Набухший слой перед скачком может оторваться, что вызывает периодичность в изменении давления. Кроме того, нестационарность течения обуславливается и тем, что при образовании лямбдаобразного скачка интенсивность основного скачка уменьшается, перетекания уменьшаются, дополнительный скачок может слиться с основным и процесс повторится. Цикличность в изменении давления приводит к росту сопротивления и может вызвать тряску элементов летательного аппарата.

Следует заметить, что при турбулентном пограничном слое  - образные скачки обычно не образуются, вибрация скачка проявляется слабее, так как из-за более наполненного профиля скоростей в турбулентном пограничного слое скачок уплотнения подходит к поверхности ближе и перетекания при этом слабее.

1.16. Особенности гиперзвуковых течений

         Гиперзвуковыми  называются   течения  с  большими  сверхзвуковыми  скоростями ( обычно  при  М> 4...5), при  которых   в  результате   взаимодействия  газа  с  обтекаемым  телом  начинаются   происходить  изменения его  физико-механических  свойств.  Эти  изменения    вызывают  ряд  особенностей    в  силовом  и  тепловом   взаимодействии  газа  и  обтекаемого  тела.

· Во  - первых,  с  увеличением  чисел М  набегающего  потока   углы  наклона  скачков  уплотнения   уменьшаются  и  скачки приближаются  к  поверхности. Это  приводит   к  взаимодействию  скачка  уплотнения    и  пограничного  слоя.  Головной  скачок  как  бы  прижимает  пограничный  слой  к  поверхности, ограничивая   его  толщину.  С другой  стороны, высокая  температура  за  скачком    уменьшает  плотность    газа, что  способствует возрастанию толщины   пограничного  слоя.  Это  создает    эффект   увеличения  толщины  тела, что  проводит  к  деформации  головной     ударной  волны  и  увеличению  давления  за  ней.

·  Вторая  особенность  состоит  в  том, что  малые  изменения    параметров  движения  тела  приводят  к  существенным    изменениям    параметров  газа. Это  приводит  к  тому, что  применение   линейной  теории   начинает  давать  большие  погрешности   при  определении  аэродинамических   характеристик.

· И третья  особенность  заключается   в  том,  что  из-за  высоких  температур  за  головной    ударной  волной  и  в  пограничном  слое  вначале   начинает  изменять  теплоемкость  газа, а затем  при  дальнейшем  росте   температуры    возникают   диссоциация  и ионизация  газа, значительно  влияющие   на  термодинамические   свойства  газа.

         Таким  образом, при   гиперзвуковых  скоростях   становятся непригодными  или  ограниченно  пригодными  те  методы  исследования  аэродинамических  характеристик,   которые  применяются   при  умеренных сверхзвуковых  скоростях.

         Тем не  менее   и  при  больших  числах М,  рассматривая   обтекание  весьма  тонких  тел, поставленных под  небольшими  углами  атаки  к  потоку, можно  получить  приближенные  и  достаточно простые  методы  определения   аэродинамических  характеристик.

         Например, угол  наклона  скачка  уплотнения  определяется  выражением

                   ,                                                 (1.113)

 а  коэффициент  давления

                                                        .                                               (1.114)

         Данные  формулы  дают  хорошее  совпадение  с  точными  решениями  при  М>3.

 

1.17. Аэродинамический нагрев

При полете с большими сверхзвуковыми скоростями элементы поверхности летательного аппарата нагреваются и зачастую до весьма высоких температур. Например, при М=3 заостренная носовая часть фюзеляжа нагревается до 315°С, передние кромки крыльев - до 270°С и т.д.

Явление нагрева летательного аппарата движущегося в воздухе, и самого воздуха теплом, выделяемым в результате перехода кинетической энергии поступательного движения частиц в тепловую называется кинетическим (аэродинамическим) нагревом. Последствия кинетического нагрева:

- ухудшаются условия работы экипажа,

- ухудшаются условия работы радиоэлектронного оборудования,

- снижается прочность материалов конструкции,

- повышается скорость реакции коррозии,

- происходит деформация обшивки и нарушение аэродинамических форм отдельных частей летательного аппарата,

- существенно изменяются характеристики пограничного слоя, что сказывается на суммарных аэродинамических характеристиках летательного аппарата.

Для оценки влияния кинетического нагрева на аэродинамику летательного аппарата рассмотрим, как изменяются некоторые параметры потока при его нагреве.

При увеличении температуры газа плотность воздуха уменьшается, а коэффициент динамической вязкости увеличивается, что подтверждается их соотношением для двух точек одного сечения пограничного слоя

;                                                (1.115)

где для воздуха   n =0,76.

Толщина пограничного слоя определяется выражениями

,        ,              (1.116)

где  и  определяются по определяющей температуре.

Кинетический нагрев оказывает существенное влияние и на коэффициент трения. С увеличением температуры из-за роста числа М коэффициент С_f уменьшается за счет уменьшения плотности. Причем, в турбулентном пограничном слое коэффициент С_f с ростом числа М уменьшается более интенсивно, чем в ламинарном, из-за более интенсивного уменьшения градиента скорости  с увеличением толщины пограничного слоя при кинетическом нагреве (рис. 1.54).

Рис. 1.54

Для оценки способов снижения кинетического нагрева рассмотрим тепловой баланс между обшивкой и внешней средой.

В общем случае к единице площади обшивки летательного аппарата в единицу времени поступает суммарный тепловой поток , содержащий конвективный тепловой поток от воздуха , тепловой поток от земной  и солнечной  радиации и поток от оборудования , который может подводиться к обшивке или отводиться от нее, т.е.

=++                                            (1.117)

Удельные тепловые потоки за счет земной и солнечной радиации обычно невелики по сравнению с конвективным и ими пренебрегают.

Тепловой поток от оборудования обычно известен из характеристик источников тепла.

С другой стороны, удельный тепловой поток, идущий от обшивки в пространство в виде лучеиспускания, уравновешивает тепловой поток в обшивку в случае установившегося теплообмена, т.е. для оценки температуры обшивки рассматривают равенство конвективного и лучевого потоков

=                                                      (1.118)

или с учетом выражений для  через температуру и  в соответствии с законом Стефана-Больцмана

,                                             (1.119)

где  - коэффициент теплопередачи, C_p - удельная теплоемкость при постоянном давлении,  - степень черноты обшивки, показывающая, во сколько раз излучательная способность поверхности меньше излучательной способности абсолютно черного тела,  =5.67 Вт/м²град⁴ – постоянная Стефана - Больцмана (коэффициент излучения абсолютно черного тела), - температура восстановления, причем коэффициент восстановления для ламинарного пограничного слоя равен r=0,85, а для турбулентного r=0,9.

Из анализа (1.119) следует, что для уменьшения температуры обшивки необходимо уменьшать конвективный тепловой поток и увеличивать излучательную способность поверхности.

Это можно сделать следующими способами:

- уменьшение скорости или увеличение высоты полета;

- уменьшение коэффициента трения за счет ламинаризации пограничного слоя;

- затупление головной части летательного аппарата;

- теплоизоляция (нанесение материалов с низкой теплопроводностью или с большой теплоемкостью);

- искусственное охлаждение поверхности (например, пористое охлаждение или применение сублимационных обмазок, испаряющихся с большим поглощением тепла).

Обычно уравнение (1.119) решается графически. Задаваясь рядом значений T_w строят зависимости от нее  и . Точка пересечения этих кривых и дает величину равновесной радиационной температуры обшивки, при которой сбалансированы все действующие на нее тепловые потоки (рис. 1.55).

Рис.1.55

Следует заметить, что функция (T_w) изменяется при изменении режима полета, а функция (T_w) зависит от материала и состояния поверхности обшивки.

В лекции "15 Повреждения и разрушения насадных дисков и валов" также много полезной информации.