Пограничный слой и его структура

Лекция № 3

Тема 1. Теоретические основы аэромеханики

1.7. Пограничный слой и его структура

1.7.1. Понятие и виды пограничного слоя

         В лекции № 1 было сказано, что вследствие  вязкости газов при  обтекании любого тела на его поверхности создается  пограничный слой. В этом   сравнительно  тонком слое, толщина которого d растет от передней  кромки тела к задней, происходят сложные процессы. Эти процессы имеют большое значение для таких явлений, как возникновение лобового сопротивления, подъемной силы и аэродинамического (кинетического) нагрева при сверхзвуковых скоростях.

Пограничным  называется слой потока  газа (жидкости) около поверхности  обтекаемого тела, в котором проявляются  силы вязкости, за счет чего скорость  частиц  изменяется  от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока вдали  от тела (рис.1.24).

Рис.1.24

         Следует заметить, что в силу разности  скоростей  в соседних слоях  пограничного слоя  частицы в нем  всегда вращаются, т.е. течение в нем вихревое.

Рекомендуемые материалы

         В силу того, что изменение скорости происходит на значительном расстоянии  от тела, но наибольшие значения градиента  скорости имеют  место вблизи поверхности, обычно за толщину  пограничного слоя  условно принимают толщину такого слоя, на границе  которого скорость потока  V_d=0,99V_¥  .

         Толщина  пограничного слоя  обозначается d_{п с}.

Общий  характер  изменения основных параметров газа по  толщине пограничного слоя  показан на рис.1.25.

                                              

Рис.1.25

Давление по толщине пограничного слоя изменяется незначительно и его принимают постоянным. Температура  по мере приближения к поверхности возрастает в силу торможения потока, а плотность поэтому уменьшается.

Толщина пограничного слоя  вдоль поверхности тела  возрастает.

1.7.2. Точка перехода

         В соответствии  с характером течения в пограничном слое он может быть ламинарным или турбулентным.

         В ламинарном ПС течение слоистое  без перемешивания. Ламинарный ПС обычно имеет место на начальном участке тела. На некотором  расстоянии от носка тела (точки полного торможения) ламинарный ПС переходит в турбулентный, в котором наблюдается интенсивное перемешивание частиц  ( рис.1.26).

Рис.1.26

         Зона перехода ламинарного ПС в турбулентный в силу ее малости заменяется точкой. Ее координата относительно носка тела обозначается  х_т.

         Характер  пограничного слоя зависит от числа Рейнольдса

,                                                                    (1.68)

где  х- расстояние относка тела до  рассматриваемой точки,

        n- коэффициент кинематической вязкости.

         Переход ламинарного ПС в турбулентный  происходит при определенном значении числа Re, которое называется критическим. Если для жидкостей эта величина составляла 2300, то для  газа в случае спокойной атмосферы Re_кр координата  точки перехода  определится выражением

                                                          .                                                       (1.69)         Обычно пользуются относительной координатой точки перехода

,                                                         (1.70)

где в -  характерный линейный размер (обычно – хорда крыла, т.е. расстояние от носка до хвостика профиля).

         Можно заметить, что с увеличением скорости потока  точка перехода смещается  ближе к носку.

         В зависимости от характера  пограничного слоя будут  различными  и его параметры.

         Толщина ПС определяется по формулам

- для ламинарного  ПС

,                                                                                                                     (1.71)

- для турбулентного ПС

,

где  х- текущая координата, Re_x  -  местное  число Re.

         Из данных зависимостей следует, что величина  турбулентного ПС в зависимости от координаты  х  увеливается интенсивнее, чем ламинарного (рис.1.28).

Рис.1.28

         Исходя из теоретических и экспериментальных исследований скорости по толщине ПС распределяются по следующим законам:

- при ламинарном ПС

                                                                                                          (1.72)

- при турбулентном ПС

,

 где  у-  координата по нормали от поверхности тела.

         Можно заметить, что эпюра  скоростей  в турбулентном ПС является более наполненной, чем в ламинарном (рис.1.29).

         Напряжения трения t (сила трения, приходящая на единицу  площади   поверхности) определяются по формулам:

- при  ламинарном ПС (уравнение Ньютона) 

                       ,                                                                                               (1.73)

- при  турбулентном ПС (уравнение Прандтля)

,

где r - плотность среды,  l - путь  смешения (средняя глубина проникновения частиц из слоя  в слой  по высоте ПС из-за турбулизации).

         Продифференцировав  выражения  для скоростей (1.72) и положив у=0  получим величины напряжений трения на поверхности тела

для ламинарного  пограничного слоя

                                                  (1.74)

для турбулентного

                            (1.75)

где     Re_d=V_¥  d /n    - число Re, вычисленное по  толщине пограничного слоя.

ВЫВОДЫ:

- наибольшие напряжения трения имеют место  при х ®0;

- по мере удаления от носка  тела напряжения трения убывают;

- в ламинарном ПС напряжения трения убывают интенсивнее. Чем в турбулентном (рис.1.30).

Рис.1.30

1.7.3. Коэффициент трения

Вязкие свойства газа (жидкости) оказывают значительное влияние на движение в них твердых тел. Это влияние заключается прежде всего в том, что у поверхности обтекаемого тела возникают силы, препятствующие его движению, которые назвали силами сопротивления трения.

         Сила сопротивления трения Х_тр. пропорциональна скоростному напору набегающего на тело потока   и площади трения S _тр., т.е. площади поверхности тела, омываемой поток.

                                          (1.76)

где С_f - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления трения.

         Рассмотрим обтекание тонкой плоской пластины симметричным относительно ее поверхности потоком воздуха, т.е. когда вектор скорости набегающего потока параллелен поверхности пластины (рис.1.31).

         Из рисунка следует, что сила трения на одной стороне поверхности пластины равна

                                       (1.77)

где - напряжения трения на поверхности пластины.

Рис.1.31

         Выделим из (1.76) коэффициент сопротивления трения

                                                                            (1.78)

         Подставив последовательно значения  для ламинарного и турбулентного пограничного слоя  получим

                                             (1.79)

где число Rе определяется по скорости невозмущенного потока.

         В диапазоне чисел Rе, имеющем практически важное значение 10⁶£Rе£10⁹ можно пользоваться формулой Петрова

                                                     (1.80)

         Анализ полученных выражений для коэффициента сопротивления трения показывает, что данный коэффициент с ростом чисел Rе уменьшается как в случае ламинарного пограничного слоя, так и в случае турбулентного. Для чисел  Rе, имеющих практическое значение, коэффициент трения пластины при ламинарном пограничном слое существенно меньше, чем при турбулентном. Поэтому, для уменьшения сил трения, действующих на летательный аппарат в полете, необходимо стремиться к сохранению ламинарного пограничного слоя на возможно большей части его поверхности.

         В случае смешанного пограничного слоя на поверхности пластины коэффициент трения зависит не только от числа Rе, но и от координаты точки перехода (рис.1.32). Заметим, что зависимость С_f (Rе) при х_т=1 соответствует полностью ламинарному пограничному слою, а при х_т=0 - полностью турбулентному.

Рис.1.32

1.8. Физическая сущность отрыва потока

         Для пограничного слоя плоской пластины характерным является то, что во всех сечениях пограничного слоя, нормальных к поверхности пластины давление одинаково, т.е. градиент давления вдоль потока =0.

         Однако в тех случаях, когда площадь поперечного сечения потока изменяется, что обычно и имеет место на поверхности летательного аппарата, давление на поверхности тела по направлению потока изменяется. Оно может уменьшаться, тогда градиент давления <0, или увеличиваться и тогда >0.

         Рассмотрим для примера обтекание профиля крыла (рис.1.33).

Рис.1.33

         На переднем скате профиля до точки максимального поджатия потока градиент давления отрицателен, что способствует увеличению скорости частиц в пограничном слое и плавности обтекания поверхности.

         Повышающееся давление тормозит заторможенные трением частицы газа. В некоторой точке S происходит  полная остановка  течения на дне пограничного слоя. Это и будето точка  отрыва.

         Когда градиент давления становится положительным (задний скат профиля), то частицы в пограничном слое движутся из области меньшего давления в область более высокого давления, т.е. разность давлений действует против движения частиц и поток тормозится. Часть пограничного слоя, расположенная непосредственно у поверхности тела, обладает минимальной кинетической энергией и при некотором значении  этой кинетической энергии становится недостаточно для преодоления противодавления. Частицы в пристеночной области пограничного слоя после этого сечения начинают двигаться под действием все повышающегося давления навстречу основному течению. Происходит перераспределение скоростей течения в пограничном слое, приводящее к отрыву потока от поверхности обтекаемого тела, который сопровождается образованием интенсивных вихревых движений за телом.

         Следует заметить, что данный процесс носит периодический характер, так как образовавшийся при отрыве вихрь сносится потоком, точка отрыва смещается вниз по потоку, заторможенные частицы вновь накапливаются в нижней части пограничного слоя, точка отрыва смещается вверх по потоку, сворачивается новый вихрь, который вновь уносится потоком.

         Такой неустановившийся характер течения при отрыве может вызвать упругие деформации конструкции летательного аппарата, воспринимаемые летчиком как тряска.

         Очевидно, что чем больше кинетической энергией обладает поток в нижней части пограничного слоя, тем больший положительный градиент давления требуется, чтобы вызвать отрыв. Поэтому турбулентный пограничный слой более устойчив к отрыву, так как обладает большей кинетической энергией в пристеночной области при той же самой толщине.

         Таким образом можно заключить, что физической причиной отрыва потока является взаимодействие пограничного слоя и положительного градиента давления.

1.9. Распространение слабых возмущений в газовом потоке. Конус возмущений

         Тела при обтекании их возмущенным потоком вносят в этот поток возмущения, т.е. отклонения от начальных невозмущенных параметров, которые представляют собой искривления линий тока, а также местные изменения скорости, давления и плотности. Любая точка поверхности тела является постоянно действующим источником возмущений. Различают слабые и сильные возмущения.

         Если давление и плотность изменяются на малую (строго говоря, на бесконечно малую) величину, то возмущения называются слабыми

                                      ,                               (1.81)

         Слабые возмущения распространяются в невозмущенной среде со скоростью звука a. Примерами слабых возмущений являются звуковые волны, вызываемые колебанием тел, а также волны сжатия и разрежения, образующиеся в потоке при обтекании микронеровностей поверхности или весьма малых тел. Распространение слабых возмущений в среде происходит в виде сферических волн сжатия и разрежения.

         Рассмотрим, как распространяются слабые возмущения от точечного источника при различных скоростях его движения.

         Если источник находится в невозмущенной среде (V=0), то возмущения от него распространяются со скоростью звука в виде сферических волн равномерно во все стороны (рис.1.34).

                                                 Рис.1.34

         Через время t изменения давления и плотности достигают поверхности сферы с радиусом at.  Если источник возмущений находится в потоке, движущимся со скоростью V <  a, то центры сферических волн будут сноситься потоком со скоростью V. Возмущенная область распространяется по потоку со скоростью V+a, а против потока - со скоростью a-V(рис.1.35). Как видим, перед источником имеет место уплотнение волн возмущений, а за источником - их разрежение.

Рис.1.35

         При равенстве скорости потока и скорости звука (V=а) волны возмущений против потока не распространяются, а перед источником сливаются в одну поверхность, которая со временем (t  ® ) стремится к плоской поверхности, перпендикулярной к направлению потока и разделяющей пространство на возмущенную и невозмущенную области (рис.1.36).

Рис.1.36

         Наконец, если скорость потока больше скорости звука ( V> a) то область возмущений распространяется вниз по потоку, причем эта область ограничена конической поверхностью с вершиной в источнике возмущений и называется конусом возмущений (конусом Маха) (рис.1.37).

Рис.1.37

         Вне этого конуса поток не возмущен. Чем больше скорость потока, тем меньше угол полураствора конуса возмущений m. Из рис. 1.85 видно, что угол  m  связан с числом М следующим соотношением

                                                        .                                         (1.82)

         Образующая конуса возмущений называется линией слабого возмущения ( линией Маха) или просто характеристикой.

         Характеристики можно наблюдать, например, в сверхзвуковых аэродинамических трубах, где источником являются микронеровности стенок трубы. Если визуализировать сверхзвуковое течение, например, с помощью теневого прибора, использующего свойство световых лучей отклоняться от прямолинейного направления в среде с переменной плотностью, то можно увидеть множество линий, расположенных под углом m к направлению потока. Отсюда следует один из способов определения числа М в рабочей части сверхзвуковой трубы - через замер угла m и определение числа М по соотношению (1.82).

         Тело конечных размеров не является точечным источником, а представляет собой совокупность множества точечных источников, каковыми являются каждая точка его поверхности. И возмущения от них будут влиять друг на друга, что приводит к появлению особенностей течения, отличных от дозвуковых (появляются скачки уплотнения).

1.10. Образование ударных волн (скачков уплотнения)

         Обтекаемое воздухом тело вызывает хотя бы в небольшой области перед ним торможение потока, а значит, повышение давления.

         Особенность сверхзвукового потока состоит в том, что его торможение и вместе с ним повышение давления происходит скачкообразно на ударной волне (скачке уплотнения).

         Ударная волна (скачок уплотнения) представляет собой поверхность, разделяющую невозмущенный поток от возмущенной телом области. На этой поверхности устанавливается равновесие скорости распространения возмущений (местной скорости звука) и скорости сноса их невозмущенным потоком. Эта поверхность имеет толщину, соизмеримую с длиной свободного пробега молекул. На ней скачкообразно возрастают давление, плотность и температура, а скорость скачкообразно уменьшается.

         Разные названия одного и того же явления объясняются тем, что ударную волну обычно связывают со взрывом или летящим со сверхзвуковой скоростью телом, т.е. имеют в виду ее перемещение в неподвижной среде, а скачок уплотнения связывают с неподвижным телом, обтекаемым сверхзвуковым потоком.

         Скачок уплотнения представляет собой сильное возмущение в том смысле, что является результатом наложения друг на друга множества слабых возмущений, и поэтому на нем имеет место конечное скачкообразное изменение параметров газа. Сильные возмущения распространяются в потоке со сверхзвуковой скоростью.

         Рассмотрим физическую сущность образования скачка уплотнения на примере обтекания сверхзвуковым потоком внутреннего тупого угла (рис.1.38).

Рис.1.38

         Каждая точка поверхности угла является источником слабых возмущений. Характеристики от них будут расположены под углами m₁ и m₂ соответственно к сторонам обтекаемого угла АО и ОБ. Так как V₂<V₁ (из-за уменьшения площади поперечного сечения струйки), то

.

         Таким образом, линии слабых возмущений от сторон АО и ОБ должны обязательно пересекаться. Параметры потока V, , Р и Т постоянны вдоль линий с одинаковыми углами m, и различны для линий, расположенных под разными углами m. В точках пересечения линий слабых возмущений должны получаться неодинаковые значения одних и тех же параметров, что физически невозможно. Поэтому через точки пересечения характеристик должна проходить резко выраженная граничная поверхность, разделяющая поток на две части с различными параметрами, которая и является скачком уплотнения.

         Вывод: Скачки уплотнения в сверхзвуковом потоке возникают всюду, где есть поджатие потока. Следовательно, при обтекании любого тела сверхзвуковым потоком около него образуются скачки уплотнения.

         Из рассмотрения физической природы возникновения скачков уплотнения вытекает утверждение о невозможности образования скачка разрежения, так как при обтекании сверхзвуковым потоком выпуклой поверхности (рис.1.87), т.е. при его расширении, когда по потоку скорость возрастает, а давление падает, характеристики, исходящие от поверхности, не пересекаются, а расходятся веером (V­m¯ ).

Рис.1.39

         Скачки уплотнения могут возникать и при больших дозвуковых скоростях невозмущенного потока. В этом случае тело обтекается смешанным (дозвуковым и сверхзвуковым) потоком и вблизи его поверхности образуются скачки уплотнения, замыкающие местные сверхзвуковые зоны (рис.1.40).

Рис.1.40

         Рассмотрим  причины возникновения местных сверхзвуковых зон на поверхности тела при обтекании его околозвуковым потоком на примере профиля крыла.

         Вследствие деформации струйки верхней поверхностью профиля скорость в ней возрастает от дозвуковой (сечения 1 и 2) до равной скорости звука в критическом сечении 3, а далее до сверхзвуковой на некотором участке расширения струйки. Но, так как за телом поток дозвуковой, то сверхзвуковой поток должен затормозиться до дозвукового, а это может произойти только на скачке уплотнения.

         Скачки уплотнения резко увеличивают сопротивление тела, так как на них происходит необратимая потеря энергия частиц при их движении из области пониженного давления до скачка в область повышенного давления за скачком.

         Эти потери зависят от формы и интенсивности скачков уплотнения, которые в свою очередь зависят от формы обтекаемого тела и числа М потока.

         Если тело имеет заостренный носок, например, конус или клин с достаточно малым углом полураствора  (рис.1.41а), то скачок уплотнения у такого тела будет присоединенным и, соответственно, коническим или плоским, с углом наклона  к направлению потока. Угол наклона скачка уплотнения всегда больше угла наклона характеристики m. Угол  лишь стремиться к m при уменьшении интенсивности скачка уплотнения, например, при удалении от тела, когда скачок вырождается в характеристику.

Рис.1.41

С увеличением угла  при неизменном числе М потока угол наклона скачка  возрастает интенсивнее, чем увеличивается  и при некотором =_макс для данного числа М скачок отходит от тела и становится криволинейным (рис.1.41 б). Аналогичную форму скачок имеет и в случае затупленной формы носовой части (рис.1.41 в).

         При увеличении числа М и неизменном угле  угол наклона скачка уменьшается и скачок из отошедшего становится присоединенным, так как чем больше число М, тем больше величина _макс (рис.1.41 г).

Основные уравнения для скачка уплотнения

         Всякий криволинейный скачок уплотнения можно представить в виде множества элементарных косых прямолинейных скачков. Косым называется скачок, у которого угол наклона ¹p/2. Если =p/2, то такой скачок называется прямым.  

         Получим основные уравнения, а в дальнейшем и соотношение параметров до и после косого скачка.

         Предварительно получив основные кинематические связи для скачка, т.е. соотношения составляющих скорости потока. Условимся параметры до скачка обозначать индексом "1", а после скачка - индексом "2".

         Для получения кинематических  связей на скачке уплотнения рассмотрим сверхзвуковое обтекание клина (рис.1.42).

Рис.1.42

Здесь w и  - углы полу раствора клина и наклона скачка соответственно.

         Из треугольников скоростей перед и за скачком нормальная V_n и касательная к скачку V составляющие скорости будут равны.

                                              ( 1.83)

Уравнение сохранения массы

         Проведем замкнутый контур l₁ до скачка в сечении, перпендикулярном набегающему потоку (рис.1.43 ).

Рис.1.43

         Линии тока, проведенные через контур l₁ образуют трубку тока, через поверхность которой нет притока  и  оттока массы газа. Следовательно, расход массы газа в сечении 2-2 за скачком равен расходу в сечении 1-1

                                                                   (1.84)

Но

                                                (1.85)

где F - площадь струйки в плоскости скачка.

Тогда

                                                     (1.86)

Учитывая кинематические связи (1.83) получим

.                                 (1.87)

         Полученное выражение является уравнением сохранения массы на скачке уплотнения ( уравнением неразрывности).

 Уравнение изменения количества движения

         Применим теорему об изменении количества движения в направлении по нормали к скачку уплотнения.

         Изменение количества движения за единицу времени через единичную площадь скачка уплотнения равно импульсу сил давления за это же время. Математически это можно записать так

                                  (1.88)

Используется и другая форма этого уравнения

                                                            (1.89)

         Применим эту же теорему в направлении по касательной к сачку уплотнения. Полагая, что в пределах выделенной площадки давление в направлении касательной к скачку не меняется, получим

         .                                                       (1.90)

         Отсюда

   ,                                                       (1.91)

т.е. касательная составляющая скорости при переходе через скачок не изменяется.

Вместе с этой лекцией читают "Восстание декабристов".

Уравнение сохранения энергии

         При переходе через скачок уплотнения общая энергия газа согласно закону сохранения энергии не изменяется, поэтому будут справедливыми уравнения сохранения энергии, полученные в т.1, записанные для двух сечений струйки: до и после скачка

,

,

                                               ,                                       (1.92)                                   .

         Ударное сжатие на скачке является необратимым процессом, т.е. протекает с ростом энтропии (S₂  >  S₁). Это означает, что на скачке уплотнения теряется часть механической энергии газа, которая необратимо переходит в тепло.