Геометрическое моделирование

Лекция 7

Геометрическое моделирование. Системы координат. Аффинные преобразования

Основные понятия геометрического моделирования

Моделирование – один из основных методов познания, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными и удобными для описания, объяснения и разработки.

Модель – реальный физический объект или процесс, теоретическое построение, упорядоченный набор данных, которые отражают некоторые элементы или свойства изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения моделирования.

Математическая модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления.

Геометрическое моделирование – раздел математического моделирования – позволяет решать разнообразные задачи в двумерном, трехмерном и, в общем случае, в многомерном пространстве.

Геометрическая модель включает в себя системы уравнений и алгоритмы их реализации. Математической основой построения модели являются уравнения, описывающие форму и движение объектов. Все многообразие геометрических объектов является комбинацией различных примитивов – простейших фигур, которые в свою очередь состоят из графических элементов - точек, линий и поверхностей.

В настоящее время геометрическое моделирование успешно используется в управлении и других областях человеческой деятельности. Можно выделить две основные области применения геометрического моделирования: проектирование и научные исследования.

Рекомендуемые материалы

Геометрическое моделирование может использоваться при анализе числовых данных. В таких случаях исходным числовым  данным ставится в соответствие некоторая геометрическая интерпретация, которая затем анализируется, а результаты анализа истолковываются в понятиях исходных данных.

Этапы геометрического моделирования:

● постановка геометрической задачи, соответствующая исходной прикладной задаче или ее части;

● разработка геометрического алгоритма решения поставленной задачи;

● реализация алгоритма при помощи инструментальных средств;

● анализ и интерпретация полученных результатов.

Методы геометрического моделирования:

● аналитический;

● графический;

● графический, с использованием средств машинной графики;

● графоаналитические методы.

Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии, таких как теория R-функций, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.

Для современных научных исследований характерно использование, наряду с двумерными и трехмерными, многомерных геометрических моделей (физика элементарных частиц, ядерная физика и т.д.).

Системы координат

Система координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e₁, e₂, …, e_n).

Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).

Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.

Экранная система координат (ЭСК) – x_эy_эz_э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z_э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК
и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции
[x_э, y_э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.

Система координат сцены (СКС) – x_сy_сz_с – описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.

Объектная система координат (ОСК) – x_оy_оz_о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.

Правая ДСК – оси ориентированы так, что вращение ортов происходит в положительном направлении (против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на конце третьего свободного орта):

Левая ДСК – оси ориентированы так, что вращение ортов происходит в отрицательном направлении.

В двумерном пространстве (R²)  наиболее распространены декартова СК (x, y) и полярная СК (r, φ) (r – радиус-вектор точки, φ – угол поворота).

Соотношение между ДСК и ПСК:

В трехмерном пространстве (R³):

● ортогональная декартова СК (x, y, z);

● цилиндрическая СК (ρ, y, φ);

● сферическая СК (r, φ, ω).

Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК:

Соотношение между декартовой СК и сферической СК:

Соотношение между цилиндрической СК и сферической СК:

Аффинные преобразования

Аффинным называется преобразование, обладающее следующими свойствами:

● любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

● сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

Аффинные преобразования координат на плоскости:

(x, y) – двумерная система координат,

(X, Y) – координаты старой СК в новой системе координат.

Общий вид аффинного преобразования:

A, B, C, D, E, F – константы.

Обратное преобразование также является аффинным:

Простейшие аффинные преобразования системы координат.

1.

Параллельный сдвиг координат:

Обратное преобразование:

2. Растяжение/сжатие осей:

Обратное преобразование

:

Коэффициенты могут быть отрицательными. Например, при k_x = -1 получаем зеркальное отображение относительно оси y.

3. Поворот системы координат (x,y) на угол α:

Обратное преобразование – поворот системы (X,Y) на угол (-α):

Аффинные преобразования объектов на плоскости.

x, y – старые координаты точки, X, Y – новые координаты точки.

1.

Сдвиг:

Обратное преобразование:

2.

Масштабирование объекта:

Обратите внимание на лекцию "9. Итальянская журналистика в 1948 - 53".

Обратное преобразование:

3. Поворот вокруг центра координат:

Обратное преобразование: