Законы газовой динамики
Законы газовой динамики
 |
p(X,t) r(X,t) e(X,t) S(X,t)
ЗСМ: масса газа в объеме V в момент времени t:
Изменение этой массы за промежуток вермени t1 – t:
В объем G втекло: 
, тогда ЗСМ:
Рекомендуемые материалы
= (изменение импульса от t1 до t2 ) =
|
|
| Уравнение сохранения импульса |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ: плоские, осесимметричные, сферические.
Течение с плоской симметрией – все параметры течения сохраняются на поверхности соосных цилиндров, но меняются в направлении перпендикулярно плоскости цилиндра.
Течение с сферической симметрией – на всех сферах симметричных (для каждой сферы) параметры одинаковы, они меняются по радиусу.
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ.
- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Для перехода от интегральных к дифференциальным уравнениям:
 |
Формула Грина: 
Переходит от контурного интеграла к интегралу по площади с помощью формулы Грина. Так как контур произволен, то при стремлении площади к 0, подынтегральное выражение тоже стремится к 0.
Следовательно, законы сохранения в дивергентной форме:
- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ.
- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРНГИИ
n = 0,1,2
0- плоские
1- цилиндрические
2- сферические течения
ФОРМА УРАВНЕНИЙ СОХРАНЕНИЯ РАЗРЕШЕННАЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНЫХ:
e(x,t), r(x,t) U(x,t), p(x,t) – искомые функции.
Термодинамическое уравнение состояния: p = p (r, e), или
e = e (p, r)
вектор функция, тогда уравнения сохранения зависят от 
, 
Система квазилинейных дифференциальных уравнений в виде разрешенной относительно производных:
Система уравнений Коши - Ковалевского 
закон сохранения энтропии, где S – энтропия: TdS = de + pdV
СИСТЕМА уравнений Коши – Ковалевского:
– разрешена относительно производных по времени
– упорядочены по производным по x.
ЛИНЕЙНАЯ система уравнений – это такая система уравнений, куда и искомая функция и их производные
входят линейно.
КВАЗИЛИНЕЙНАЯ система уравнений – это такая система уравнений, куда линейно входят только производные искомых функций.
ПОЛУЛИНЕЙНАЯ система уравнений – производные функции входят линейно, сами функции могут образовывать нелинейные комбинации.
ВСЕ уравнения Эйлера для газовой динамики – квазилинейны.
УРАВНЕНИЯ через вектор функцию:
(*)
, 
Т.е. (*) – это:
ОБЩИЙ ВИД КВАЗИЛИНЕЙНОГО уравнения: 
Характеристическое уравнение: |B – CA| = 0.
Пусть собственные числа матрицы B есть:
Собственные числа называются характеристическими, или характеристическими скоростями.
Если среди них нет комплексно сопряженных характеристик, то такая система называется гиперболической. Если они ещё и все различны, то система называется гиперболической в узком смысле.
Системы, которые обладают комплексными характеристическими скоростями, не имеют физического смысла.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Характеристики
Рассмотрим уравнение:
, U = U (x,t), A и B – сonst
Рассмотрим выражение:
,
интегрируем: 
(**) 
Будем считать U = U (x(t),t). Определим const: t = 0 х = х0 Þ 
Тогда выражение (**) – полная производная U по t: 
- характеристическое уравнение.
U(t, x(t)) = const – только вдоль линии .
Линии в плоскости xt называются характеристиками.
.
Начальное значение функции надо задать:
 |
T = 0, U (x,0) = U0(x)
Решение можно записать так:
закон изменения U вдоль линий характеристик
, V = {V1(x,c), V2(x,c),…}
C = {C1(x,t,V),…}
|B - CE| = 0 – векторное уравнение должно иметь n корней С1, С2,… Сn. Рассматриваем гиперболические уравнения в узком смысле слова, т.е C1<C2<C3…
Найдем левые собственные векторы матрицы:
. Мы должны найти n компонент вектора lij . Это система однородных линейных уравнений, следовательно определитель этой системы должен быть равен нулю.
Так как C1<C2<C3, то ранг матрицы равен n – 1, где n – кратность корня. Получается, что мы находим каждый собственный вектор с точностью до одной произвольной константы.
Из системы мы получим дифференциальное уравнение, в котором дифференциал будет происходить только вдоль характеристики скорости.
Проделаем эти процедуры с уравнениями газовой динамики:
p = p (r, S)
Þ [(U – C)2 – p’r](U – C) = 0
Þ Одна из характеристик C1 = U – скорость движения газа, а энтропия в газе движется со скоростью.
Þ 
, чтобы не получить комплексных корней, задаем 
, иначе получим не эволюционную систему.
Величина 
- скорость звука. Итак, мы получили три характеристические скорости.
СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ.
Если U>0, то C1>0, C2>0, C3>0. Найдем левые собственные векторы матрицы |B – СE|.
lij (B – CE) = 0.
Þ
Þиз первого: l11, l31 – произвольные, l21 = 0.
Из второго: l31 – произвольные l21 = 0, l11 = 0.
l1 = {0, 0, 1}
C2 = U + a:
Þ
- произвольное.
, пусть 
. 
Þ 
; 
; Полагая l33 = 1, Þ 
Уравнение в характеристиках (домножаем на l1):
На l2 и l3: 
Þ уравнения газовой динамики в характеристиках:
при 
, при 
======================= =======================
Д/з: Уравнение Коши- Ковалевского для политропного газа, найти а для идеального газа (убрать s, выразить из первого уравнения ¶r/¶t и подставить в третье).
(*)
, для политропног процесса в газе: 
ß
Из (*): 
Þ выр. Из (*) ® в третье ур.
=======================================================================================
(1)
(2)
(3)
СЛУЧАЙ n = 0.
, где 
U = const, P = const, R = const
Подставляем:
(1): 
(2): 
- линейна
(3): 
Þ С1 = U
С2 = U + A – сверхзвук
C3 = U – A – дозвук
Приведем эту систему к хар. Форме.
l ij (B - CE) = 0
C1 = U 
, Пусть 
С2,3 = ± A + U
, тогда
, 
Пишем систему характеристик: берем первые три уравнения и умножаем на компоненту вектора l1, затем складываем.
Преобразуем первое уравнение:
- инвариант Римана, R1. (Распространяется не меняя формы вдоль характеристик).
Бесплатная лекция: "Пределы, ограничения алфавита" также доступна.
Из второго уравнения
Вдоль 
