Лекция 1

Краткое содержание:  Введение в теоретическую механику. Введение в статику. Элементы векторной алгебры:  понятие вектора, свойства векторов, правые и левые системы координат, скалярное и векторное произведение двух векторов.

Введение

Теоретическая механика – это наука в которой изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов.

Теоретическую механику называют еще классической механикой или механикой Ньютона.

Механическое движение – это перемещение материальных объектов в пространстве с течением времени без рассмотрения физических свойств этих объектов и их изменения в процессе движения.

Теоретическая механика изучает только вещественные формы материальных объектов. Элементарные частицы и различные поля не являются предметом изучения в теоретической механике.

Движение материальных объектов происходит в пространстве и во времени. Пространство является трехмерным пространством Эвклида.

Теоретическая механика является базой для других разделов механики (теории упругости, сопротивления материалов, теории механизмов и машин и пр.) и многих технических дисциплин.

Теоретическая механика делится на три части:  статику, кинематику и динамику.  Главной частью  является  динамика.

Изучение теоретической механики обычно начинается со статики.

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемая литература:

1. В.В.Добронравов, Н.Н.Никитин «Курс теоретической механики». М., Высшая школа, 1974 г. и последующие издания.

2. С.М.Тарг. «Краткий курс теоретической механики». М., Высшая школа,  2001 г.

3. А.А.Яблонский. «Курс теоретической механики». М., Высшая школа 1977 г. и последующие издания.

4. Г. Корн  и  Т. Корн.  СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ.  Для научных работников и инженеров.   М., «Наука», 1970

Статика.  Введение.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах  и  изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием тела в статике понимается состояние его покоя по отношению к другим телам, принимаемым за неподвижные.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. 

Вектор это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами.  Вектора можно складывать и умножать на число.

     сумма двух векторов есть вектор

      произведение вектора на действительное число есть вектор

        существует нулевой вектор

Рис.  1-1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис. 1-1а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора.  Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.  1-1б)  получаем, что суммой  нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам  (см. рис.  1-2):

Рис.  1-2

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис.  1-3).

При повороте оси  Ox  правой системы координат на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

Рис. 1-3                                                        Рис. 1-4

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве  (см. рис.  1-4).

При повороте оси  Ox  правой системы координат вокруг оси Oz на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей  Ox,  Oy  и  Oz  образуют систему единичных  (или базисных)  векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке  O, можно представить как сумму    числа  (a_x , a_y , a_z )  -  это проекции вектора    на оси координат  (см. рис.  1-5).

Длина (или модуль) вектора   определяется формулой  и обозначается    или 

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону  (см. рис.  1-6).

Рис. 1-5

Рис. 1-6

Направляющими косинусами  cos(a), cos(b), cos(g)  вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей  Ox,  Oy  и  Oz  соответственно.

Любая точка пространства с координатами  (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты  (x, y, z)  это проекции вектора    на оси  координат.

4. Скалярное произведение двух векторов

Имеется два вектора   и .          ,         .

Результатом скалярного произведения двух векторов    и  является  скалярная величина (число).

Записывается как    или  .  Скалярное произведение двух векторов равно 

Рис. 1-7

Свойства скалярного произведения:

5. Векторное произведение двух векторов

Имеется два вектора   и .          ,   .

Результатом векторного произведения двух векторов  и   является  вектор .  Записывается как    или  .

            Векторное произведение двух векторов это вектор  ,  перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы  с его конца  поворот вектора    к вектору    был виден против часовой стрелки.

Рис. 1-8

Длина  (или модуль)  векторного произведения равна  .

Свойства векторного произведения:

"1.1. Определение картографии. " - тут тоже много полезного для Вас.

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом: