Энергия деформации и работа внешних сил при растяжении (сжатии) линейно упругих стержней. Удельная потенциальная энергия

Энергия деформации и работа внешних сил при растяжении (сжатии) линейно упругих стержней. Удельная потенциальная энергия

Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде: А = U + K.         (2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U.     (2.9)              Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР - соответству­ющее приращение удлинения составит d (Dl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)×d (D l ) = P×d (D l ) + d P × d (D l ) ,         (2.10) вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда dA = P×d (D l ). (2.11) Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е. А = 0,5 Р×Dl .  (2.12)         В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде: .         (2.13)  Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F и s = Е e, то ,     (2.14) т.е. подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим: .      (2.15)

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.