Закон Гука при одноосном напряженном состоянии. Связь между продольной и поперечной деформациями
Закон Гука при одноосном напряженном состоянии. Связь между продольной и поперечной деформациями.
Закон Гука
В определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам - закон Гука (английский ученый Гук, 1776 г.)
В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, может быть выражено следующим образом:
u = dx P, (1.8)
где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; dx×- коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.
Коэффициент dx зависит от физико-механических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы.
В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Коэффициенты пропорциональности представляют собой физико-механические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом.
Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.
Рекомендуемые материалы
В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности.
закона парности касательных напряжений.
Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 2.7). Если обозначить:
eпрод = ; eпопер = , ,
то, как показывают эксперименты, m = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона
Величина m является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов m принимает значения 0,1 ¸ 0,45.
При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.
Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.
Рис. 2.8
При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А ¢, B ¢, C ¢ соответственно. Величина ga = ÐВАС - ÐА ¢B ¢C ¢
называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.
Совместим точки А и А ¢ и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А ¢B ¢ (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А ¢B ¢. Из рис. 2.8, б имеем:
eпрод = ; eпопер = , откуда с учетом eпрод = получим:
. (2.20)
Для определения wa спроектируем ломаную ВLB ¢А ¢ на ось n DS×sin wa = BL cos (a + wa) + LB ¢sin(a + wa), откуда, учитывая малость угла wa, т.е. sin wa » wa, cos wa » 1, получим:
wa = . (2.21)
В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:
wa = . Откуда .
Следовательно, . (2.22)
Сопоставляя выражение ga с выражением ta из (2.17) (ta = 0,5s sin 2 a ) окончательно получим закон Гука для сдвига: (2.23)
где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.
Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств материала конструкции, то расчетное и нормативное значения, а также среднее значение несущей способности R совпадают
RP = [R] = <R> = R,
а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной или допускаемой нагрузки через
(Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а напряжение связано с этим параметром зависимостью
Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузки
S < R | (3) |
Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному состоянию
.
Величина R, зависящая от свойств материала и условий нагружения, называется несущей способностью или сопротивлением.
При заданном значении S отношение
называется коэффициентом запаса.
Он обозначает, что сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь предельного состояния. Вместо условия прочности (2) можно записать эквивалентное условие)
n > 1 |
нормативный коэффициент запаса
[S] = R / [n].
При этом параметр несущей способности R связан с предельным значением напряжения.
Если на заданную конструкцию действует фиксированная неслучайная нагрузка S, то соотношение
NS = R / S Определяет коэффициент запаса по нагрузке
При этом условие прочности можно переписать следующим образом
S < [S].
После подстановки условие прочности примет вид
nS > [n]
Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками напряжениям производится по ранее описанным соотношениям. Отношение
Бесплатная лекция: "3.2 Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали" также доступна.
Называется коэффициентом запаса по напряжениям
С учетом (4) и (6) можно получить связь между коэффициентами запаса по нагрузкам и по напряжениям
Рис.1. Вариабельность коэффициентов запаса
В общем случае полученные коэффициенты запаса не совпадают, что видно из рис. 1. Равенство этих коэффициентов возможно только в том случае, когда зависимость между напряжениями и нагрузкой линейна. При нелинейной зависимости коэффициент теряет ясный физический смысл как число, на которое нужно умножить значение параметра внешней нагрузки, чтобы достичь предельного состояния. По аналогии можно ввести допускаемое напряжение