Флуктуации идеальных полимерных цепей

2.13 Флуктуации идеальных полимерных цепей

Рассмотрим свободно-сочлененную полимерную цепь, состоящую из N сегментов. Будем предполагать, что отдельные сегменты цепи не взаимодействуют друг с другом посредством других сил, кроме тех, которые образуют саму цепь.

Вектор R_N, соединяющий концы этой цепи, описывается простым выражением:

.

Здесь i – порядковый номер сегмента цепи,  - вектор, соединяющий начало и конец сегмента с номером i. Модули всех векторов одинаковы и равны длине одного сегмента l. Направления всех векторов случайны и независимы друг от друга. То есть полимерная цепь представляет собой клубок, характеризующийся величиной величиной , равной сумме большого числа случайных слагаемых. Для вывода формулы для характерного размера полимерного клубка введем величину , т.е. вектор, соединяющий начало первого сегмента цепи с концом сегмента с номером N-1:

, .

Найдем теперь среднее расстояние между концами цепи. Учтем, что

,

Рекомендуемые материалы

поскольку все направления в пространстве равновероятны. Вычислим средний квадрат расстояния:

.

В результате получим:

,

где γ_N – угол между векторами и . В случае свободно-сочлененной полимерной цепи ориентация сегмента с номером N не зависит от ориентации остальных сегментов цепи. Следовательно, угол γ_N с одинаковой вероятностью принимает любое значение, а среднее значение его косинуса равно нулю. Таким образом, получим:

.

По индукции можно заключить, что

,

где L – контурная длина цепи.

Окончательно получим:

.

Верна ли эта формула при других модельных представлениях о полимерной цепи?

Рассмотрим, например, червеобразную молекулу. Если рассмотреть короткий участок такой молекулы, то на таком участке ее гибкость не проявляется, а молекула является жесткой. Введем понятие l_eff – это такая длина, участок меньше которой является жестким, а его длина равна контурной длине. В то же время участки с контурной длиной, больше чем l_eff ведут себя как последовательные сегменты свободно-сочлененной цепи. Величина l_eff  еще называется сегмент Куна (по имени швейцарского ученого, впервые применившего статистическую механику к полимерам). Если контурная длина молекулы равна L, то очевидно, что эта молекула состоит из N_eff = L/l_eff сегментов Куна. Тогда для определения размера цепи можно записать:

.

Это равенство можно рассматривать и как определение сегмента Куна. Длина сегмента Куна может варьировать от 1 нм до 100 нм для двойной спирали ДНК.

Вам также может быть полезна лекция "7.6 Последствия нашествия".

Распределение Гаусса для идеальной полимерной цепи

Из-за флуктуаций длина полимерной цепи постоянно меняется. Для доли конформаций (т.е. разных пространственных конфигураций) с данным R среди всех возможных конформаций можно записать выражение

.

Плотность вероятности для одной компоненты равна

.

Оба эти выражения представляют собой распределения Гаусса для R.