Основы геометрической оптики

Лекция № 7

Основы геометрической оптики

Геометрическая оптика является приближенным предельным случаем, в который переходит волновая оптика, когда длина световой волны стремится к нулю.

В основе геометрической оптики лежат законы о прямолинейном распространении света, законы преломления и отражения. Однако при пользовании законами лучевой оптики нельзя забывать, что они лишь первое приближение к действительности и что без дифракционных явлений не обходится ни один случай распространения света.

Принцип Ферма

         Распространение света из одной точки А в другую точку В проходит таким образом, чтобы вариация времени dt была равна нулю. Если среда оптически неоднородна, весь путь разбивают на элементарные dl_i участки и тогда

, а , а                              (1)

         Учитывая принцип Ферма запишем

                                          (2)

Рекомендуемые материалы

Это и есть математическое выражение принципа Ферма. Ввиду того, что минимальное расстояние между двумя точками есть прямая линия, скрепляющая эти точки, прямолинейное распространение света в однородной среде является прямым следствием принципа Ферма. На основе принципа Ферма выводятся законы отражения и преломления света.

         Пусть из т. А луч света падает на зеркальную поверхность и, отражаясь, попадает в т. В (рис. 1). Он может идти или по пути АОВ или АО₁В. Исходя из принципа Ферма, найдем вариацию времени и приравняем нулю. Спроецируем т. А и В получим А₁ и В₁. А₁О обозначим через х, а А₁В₁=а=const.

AA₁=h₁;     BB₁=h₂                                             (3)

Время прохождения света из т.А в т.В

                                      (4)

Видим, что время t зависит от х, т.е. от положения т.О. Согласно принципу Ферма имеем

                           (5)

Отсюда

sinα+sinα₁=0 и α=-α₁                                        (6)                                       

Знак минус показывает, что углы a и a₁ расположены по разные стороны нормали. Таким образом, минимальным является путь при котором a=-a₁. Аналогичным образом выводится и закон преломления.

Преломление лучей сферической поверхностью

         Пусть имеем сферическую поверхность радиусом кривизны R (рис. 2). S – источник, Р – изображение, ОО¢ – ось системы. Углы a и b – падения и преломления. О – центр кривизны, О¢ – вершина. Если пучок гомоцентрический (имеющий общий центр) сохраняет гомоцентричность после преломления, то каждая точка источника дает одну точку изображения. Такие изображения называются стигматическими. В силу обратимости лучей изображение можно рассматривать как источник и наоборот. В этом случае при стигматичности изображения центры пучков называются сопряженными точками оптической системы. Световые лучи и пучки также называются сопряженными.

         Будем рассматривать пучок настолько узким, т.е. угол y настолько мал, что SA=SO¢, PA=PO¢. Такие пучки называются параксиальными. Все выводы будут справедливы только для параксиальных лучей. Из DАSО ; из DАОР  

отсюда                                                                            (7)

или  (где n₁ и n₂ – показатели преломления сред).

Или  – нулевой инвариант Аббе.

Наиболее удобная формула вида                                        (8)

Это соотношение позволяет найти а₂, если известно а₁. При R>0 поверхность выпуклая, при R<0 – вогнутая. При а₂>0 изображение действительное, при а₂< – мнимое.

при а₁= -¥,  – заднее фокусное расстояние (9) 

при а₁= ¥,   – переднее фокусное расстояние.

При n₂=-n₁ из (8) имеем

 – формула зеркала                       (10)

Для плоского зеркала (R= ¥,)      

а₁= -а₂                                                      (11)

Рассмотрим протяженный предмет (рис. 3) А₁В₁ размером У₁, находящийся на расстоянии а₁ от вершины сферической поверхности О¢ и центром кривизны О. Найдем выражение для увеличения . Из DА₁В₁О¢ , а из DА₂О¢В₂ имеем .

Отношение                                                             (12)

Отсюда увеличение               ,                                                  (13) 

знак увеличения зависит от знаков а₁ и а₂. Для зеркала , тогда

                                                   (14)

Угловое увеличение                                                                     (15)

Из рис. 3 имеем , а , следовательно , т.е. . Поэтому                                                                                                 (16)

Угловое увеличение g определяется линейным V. Подставляя значение   из (12) имеем  и учитывая, что , получим  , откуда                                        y₁n₁u₁= y₂n₂u₂                                                                  (17)

– теорема Лагранжа-Гельмгольца, а

y₁n₁sinu₁= y₂n₂sinu₂                                                                      (18)

– условие синусов Аббе.

Центрированная оптическая система. Преломление в линзе

         Большинство реальных оптических систем имеют несколько преломляющих поверхностей. Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптической осью системы.

         Рассмотрим простейший случай центрированной системы, состоящей из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо преломляющий материал от окружающего воздуха. Такая система называется линзой. Линза называется тонкой, если обе ее вершины можно считать совпадающими, т.е. если толщина линзы d мала по сравнению с R₁ и R₂.

         Рассмотрим преломление в тонкой линзе (рис. 4). Точку О, которая практически совпадает с вершинами О¢ и О¢¢ называют оптическим центром тонкой линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через оптический центр, практически не испытывает преломление и его называют осью линзы. Ось, проходящая через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные – побочные.

         Преломление на первой поверхности создало бы без второй поверхности в сплошном стекле с показателем преломления n, изображение в т. С на расстоянии ОС=а от вершины, тогда для этой поверхности имеем

,                                        (19)

где а₁=ОА, R₁ – радиус кривизны.

         Для второй поверхности изображение С является мнимым источником. Изображение этого источника после преломления на второй поверхности дает т. В на расстоянии а₂=ОВ от линзы. Для этой поверхности имеем

,                                    (20)

где R₂ – радиус кривизны.

Так как n₁=n₂ (воздух), то имеем    и                     (21)

Складывая оба уравнения, получим

                                  (22)

или                                ,                                         (23)

где  – относительный показатель преломления. Введя фокусное расстояние, формула линзы примет вид

;        f=f₂=f₁                                    (24)

Эта общая формула линзы годна для любых тонких линз, при любом расположении источника и фокусов. Нужно только принимать во внимание знаки а₁ и а₂, R₁ и R₂, считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево. Если знаки а₁ и а₂ одинаковы, то одна из сопряженных точек – мнимая.       

 При а₁= -¥

При а₁= ¥                                                                                                         (25)

Это формулы линзы. Как видно f₂=f₁.

Если фокусы действительны, т.е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линза называется собирательной или положительной, если же после преломления лучи расходятся, то линза рассеивающая или отрицательная.

Увеличение линзы . Для действительных изображений V<0, т.е. изображение обратное, для мнимых V>0, изображение прямое.

Главными плоскостями линзы являются сопряженные плоскости, для которых V=1. Для тонкой линзы эти плоскости сливаются в одну, проходящую через оптический центр перпендикулярно к оптической оси.

Оптической силой линзы называют величину обратную заднему фокусному расстоянию.

Недостатки оптических систем

         Ограничение световых пучков в оптических системах приводит к искажениям изображения. Кроме того, мы имеем дело обычно со светом сложного спектрального состава и должны учитывать зависимость показателя преломления от длины волны.

         К недостаткам оптических систем относится, прежде всего, сферическая аберрация. Лучи, падающие на преломляющую поверхность на различных расстояниях от оси, отклоняются неодинаково. Вследствие чего даже в монохроматическом свете в фокальной плоскости получается не точка, а пятно.

         Фокальное расстояние линзы определяется формулой

.

Видно, что чем больше N тем меньше f. Возникает искажение. Даже для параксиальных лучей немонохроматический пучок имеет целую совокупность фокусов вдоль оси. Поэтому точка на экране изображается кружком цветных колец. Это хроматическая аберрация.

         Если небольшой по сечению гомоцентрический пучок лучей падает на линзу косо, то он претерпевает искажение, называемое астигматизмом. Каждая точка предмета изображается в виде линий, расположенных перпендикулярно главному лучу и друг другу и находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Разрешающая способность телескопа и микроскопа

         Для получения больших увеличений применяется микроскоп. В простейшем случае он состоит из двух оптических систем – объектива и окуляра, разделенных значительным расстоянием по сравнению с их фокусными расстояниями (рис. 5). Предмет АВ помещается перед передним фокусом объектива F₁, вблизи него. Объектив дает увеличенное обратное изображение предмета А₁В₁, которое расположено вблизи переднего фокуса окуляра F₂, за ним.

         Увеличение микроскопа, ,  тогда , т.е.    V=V_ок×V_ок                                                   (26)

Выразим увеличение через параметры системы.  при n₁=n₂, а₂ приблизительно равно длине тубуса трубы l, a₁ »f_об. Поэтому                 (27)

; a₂¢»D – расстояние наилучшего зрения. a₁¢»f_ок, тогда  (28) Следовательно увеличение микроскопа                                               (29)

Для рассматривания удаленных предметов применяется зрительная труба или телескоп. Эта система в простейшем случае состоит из двух линз, расположенных так, что задний фокус объектива F₁¢ совпадает с передним фокусом окуляра F₂ (рис 6). Изображение А₁В₁ удаленного предмета, даваемое объективом, лежит практически в задней фокальной плоскости объектива. Длиной трубы можно пренебречь по сравнению с расстоянием до предмета. Поэтому можно считать, что невооруженным глазом предмет рассматривается под углом φ, а . Тангенс угла j¢ под которым предмет виден в зрительную трубу ,  следовательно угловое увеличение зрительной трубы

                                                       (30)

Разрешающая способность телескопа и микроскопа

При наблюдении в телескоп на объектив падает параллельный пучок лучей и в связи с ограниченностью отверстия в фокальной плоскости объектива возникает дифракционная картина. В отверстие объектива помещаются небольшое число зон Френеля, так как площадь зон зависит от расстояния до объекта . В связи с чем, при наблюдении двух очень близких звезд, даваемые ими дифракционные картины частично перекрываются и наблюдается неоднородное по освещенности светлое пятно.

         Будем придерживаться критерия Релея, который требует для разрешения изображений, чтобы максимум одной кривой дифракции приходился на минимум второй кривой. Условие минимума в данном случае имеет значение

,                                                  (31)

где D – диаметр объектива. Радиус темного кольца на экране (минимум) в фокальной плоскости объектива будет  или, подставляя (31) получим разрешенное расстояние ,                                                         (32)

видно, что с увеличением D разрешенное расстояние уменьшается, т.е. можно увидеть более близкие друг к другу звезды.

         У микроскопа предмет находится вблизи объектива, поэтому будем рассматривать две соседние точки и от них лучи можно считать параллельными и рассматривать дифракцию этих лучей как Фраунгоферову. Обозначим через dу расстояние между едва разрешенными точками объекта. Принимая условие синусов Аббе , где n и n¢ коэффициенты преломления вещества перед объективом и после него, u и u¢ углы раскрытия (рис 7). Из условия разрешенного расстояния имеем

                                   (33)                       

"Техника приема посетителей" - тут тоже много полезного для Вас.

Из рисунка , тогда

                             (34)                                

из (33) и (34) получим

             (35)                                  

и                                                                 (36)                                             

А= nsinu – называется числовой апертурой объектива. Если объектив находится в воздухе (n=1), а угол u для микроскопических объектов близких к , то разрешенные точки на объекте могут находиться на расстоянии  друг от друга.