Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)
Лекция № 5
Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)
Дифракция на щели
Дифракцию в параллельных лучах называют дифракцией Фраунгофера. Сначала остановимся на дифракции на одной щели. Пусть пучок параллельных лучей падает на экран со щелью шириной а (рис. 1). Каждая точка щели будет являться новым источником колебаний распространяющихся во все стороны. Если за щелью установить собирающую линзу, то лучи идущие под некоторым углом j к первоначальному направлению соберутся в фокальной плоскости линзы. Проведем аналитическое решение. Для чего запишем выражение волны выбранного элемента щели dx, расположенного на расстоянии x от начала щели и просуммируем действие всех элементов. Выражение плоской волны, падающей на щель, запишем в виде
E=E0cosωt (1)
Элемент dx определяет возмущение
, (2)
где 
– амплитудное значение.
Рекомендуемые материалы
Для нахождения результирующего возмущения в любой точке экрана, определяемой углом дифракции j, необходимо знать распределение фаз всех колебаний, проходящих в эту точку. Для этого проведем плоскость АД перпендикулярно направлению дифрагированных лучей. Так как линза не вносит добавочной разности хода, то распределение фазы в т. Р будет таким же как в плоскости АД. Разность хода лучей идущих от начала щели и от элемента dx будет СЕ= xsinj.
Элемент dx создает в т. Рj колебание
(3)
а результирующее возмущение в т. Рj будет
(4)
После интегрирования получим
(5)
Амплитудное значение запишется в виде
(6)
Во многих практических случаях (при наблюдении в трубу) угол j мал и можно положить sinφ≈φ, тогда
(7)
График распределения амплитуды на экране представлен на рис. 2. Е0j обращается в ноль для углов удовлетворяющих условию
, (8)
т.е. для 
(9). При промежуточных значениях угла j амплитуда достигает максимальных значений. Наибольший максимум имеет место когда 
: т.е. φ=0 (10), при этом E0φ=E0. Следующие максимумы найденные графическим сложением определяются условиями
; 
; 
;
(11)
Интенсивность света 
(12)
На графике пунктирная кривая. Расчеты показывают, что интенсивность главного и следующих максимумов относятся как 1:0,47:0,008:0,005 и т.д. Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме.
Из формулы максимумов и минимумов видно, что на их положение влияет как длина волны, так и ширина щели. С увеличением длины волны l увеличивает угол положение дифракционных максимумов и минимумов. Если падающий свет белый, то в центре дифракционной картины наблюдается белая полоса, переходящая в цветную.
С увеличением ширины щели а, происходит сближение максимумов и минимумов относительно центра, а при уменьшении ширины щели центральный максимум расплывается и при а=l, т.е. sinj=1, j=p/2 центральный максимум расплывается в бесконечность.
Дифракция на двух щелях
Пусть имеем две щели шириной а, разделенные непрозрачной перегородкой в (рис. 3). Расстояние от начала одной щели т. А до начала второй щели т. В обозначим d=a+b. Очевидно, что минимумы останутся на прежних местах, т.к. направления, по которым ни одна из щелей не посылает свет, не будет прoходить свет и от обеих щелей вместе. Кроме того, возможны направления, в которых волны, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются. Это будут направления, для которых разность хода от щелей будет
Эти направления определяются из условия
, т.е. 
(13)
В направлениях 
(14) cвет усиливается. Этим направлениям соответствуют главные максимумы.
Таким образом, между двумя главными максимумами располагаются один добавочный минимум.
Дифракционная решетка
Решетка имеет N щелей и расстояние d=a+b называется периодом решетки.
Световой эффект от дифракции на решетке можно найти сложив действие всех N щелей. Для этого удобно использовать комплексную форму световых волн. В этом случае это будет ряд, представляющий геометрическую прогрессию
(15)
Здесь d разность фаз определяемая разностью хода 
, а Δ=dsinφ. Дробь
можно представить в виде 
, где 
– есть мнимая часть. Учитывая, что 
и введя обозначение 
и 
, выражение для действительной части колебаний запишется в виде 
(16) Выражение для интенсивности будет
(17)
Множитель 
определяет действие одной щели, а множитель 
определяет взаимодействие N щелей.
Условие главных максимумов dsinφ=mλ (18) дает для 
, следовательно и максимальная амплитуда будет NЕ0j. Амплитуда главных максимумов модулируется множителем (sina/a). Максимальное значение этого множителя равно 1 и достигается при a=0, т.е. j=0, соответствующее центральному максимуму. Минимумы достигаются когда в результате сложения комплексных амплитуд, получается результирующая нулевая амплитуда. Для различных d (т.е. при различных j) ломаная кривая при векторном сложении может быть замкнута много раз, это удовлетворяется при разности фаз волн от крайних щелей равной 2p, 4p… . Поэтому условие минимумов в дифракционной картине запишется в виде Nδ=2πm (m=0, 1, 2,…) учитывая 
(19), имеем dsinφ=(m/N)λ; m¹0, N, 2N… В виду того, что в решетке ширина щели a обычно мала, то центральный максимум довольно широк, так что на его протяжении укладывается несколько главных максимумов решетки (Рис. 4). Если решетка включает периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на нее сразу, то ее называют амплитудной. Если же решетка вносит периодические изменения в фазу волны, но не влияет на ее амплитуду, то ее называют фазовой. Амплитудной решеткой служить решетка, представляющая собой совокупность равностоящих щелей в непрозрачном экране. Приближением фазовой решетки может служить стеклянная пластинка с периодически изменяющейся толщиной (рис. 5), отражательной фазовой решеткой может служить призма с преломляющим углом 900 на гипотенузной стороне которой напылены равностоящие полоски серебра параллельно преломляющему ребру. Свет отражается от посеребренных и непосеребренных полосок, при этом фаза волны изменяется по-разному. Амплитуда волны при отражении не меняется.
Трехмерные, пространственные решетки обладают периодичностью в трех различных направлениях. Обозначим периоды d1, d2, d3. Найдем условие образования дифракционных максимумов. В качестве таких решеток являются кристаллические. Сначала рассмотрим действие отдельной цепочки с периодом d1 (рис. 6). Угол падения
a0, δ0=2πΔ0/λ, Δ0=d1cosα0, Δ=d1cosα (20)
Усиление будет при
d1(cosα-cosα0)= ±mλ (21)
Каждому значению m соответствует свой конус. Условие для другого направления с периодом d2 будет аналогично
d2(cosβ-cosβ0)= ±mλ (22)
и для d3
d3(cosγ-cosγ0)= ±mλ
Эти условия называются формулами Лауэ. Наибольшее значение модуля разности косинусов равно 2. поэтому эти условия могут быть выполняемы при отличном от нуля значениях индекса m лишь в том случае, если l не превышает 2d. В случае прямоугольной системы координат углы a, b, g связаны друг с другом следующим образом
cos2α+ cos2β+ cos2γ=1 (23)
Система уравнений (21, 22, 23) будет разрешимой лишь для некоторых определенных длин волн. Каждому такому значению l соответствует только один максимум. Русский ученый Вульф и английские физики Брэгги показали, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно осуществить простым способом.
Ещё посмотрите лекцию "Методы планирования" по этой теме.
Рассмотрим дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической решетке (рис. 7). a – угол скольжения луча с атомной плоскостью. Разность хода между двумя лучами при отражении будет
CB=BD=dsinα, (24)
общая разность хода Δ=2dsinα, а условие максимума
2dsinα=кλ (25)
Эта формула называется формулой Вульфа-Брегга.
