Механические волны. Волновое уравнение

Механические волны. Волновое уравнение.

Рассмотрим сплошную среду, частицы которой связаны между собой упругими силами (твердое тело, жидкость, газ). Говоря о частицах, будем иметь в виду макрочастицы. Пусть отдельная частица среды отклоняется от положения равновесия или испытывает возмущение. Возникают упругие силы, и частица совершает колебательное движение. Так как между частицами имеется связь, соседние частицы тоже будут испытывать возмущение и также начнут колебаться. Возмущение, возникшее в одной точке, будет распространяться в пространстве. Возмущение, распространяющееся с течением времени, называется волной. Волна может распространяться на далекие расстояния, но частицы колеблются около положения равновесия. Механические волны – звуковые волны, колебания поверхности жидкости и др.

Пусть есть возмущение частиц среды, которое описывается функцией f(x), которая показывает отклонение точек от положения равновесия. Спустя некоторое время волна смещается. За время t волна прошла расстояние l , новое возмущение будет описываться функцией f(x-l).

Введем скорость волны как скорость распространения возмущения в среде:

L=ct

Любая функция вида  f(x-ct) описывает волну, которой мы будем пользоваться дальше. Установим вид уравнения для волны:

;

.

Значит.                                                                            (1)

Рекомендуемые материалы

Это дифференциальное уравнение называется волновым уравнением: оно описывает распространение волн в пространстве с течением времени. В данном случае эта волна не затухает и описывает распространение волны  в одном направлении. Частный случай волны является плоская монохроматическая волна, которая записывается в виде:

                                                                      (2),

где А – амплитуда волны, ω – ее частота, х – координата точек среды, где распространяется волна, ψ – начальная фаза волны. Смещение частиц из положения равновесия:

                                                                                                             (3),

где - волновое число. Используя (3):

                                                                                  (4),

(4) - стандартное представление монохроматической волны.

Любую реальную волну можно представить в виде одной монохроматической волны. Если зафиксировать координату, то с течением времени фаза волн в этой точке непрерывно возрастает. Если рассмотреть  фиксированный момент времени, то фаза волны будет непрерывно меняться (Рис 1).

Рисунок 1.

Расстояние, на котором фаза колебаний меняется на 2π, называется периодом волны или длиной волны:

Вам также может быть полезна лекция "Фарингит".

kλ=2π                                                                                                         (5)

Подставляем (3) в (5):

                                                                                                                              (6),

где λ – расстояние, которое проходит волна за Т.

Волны делят на продольные и поперечные. В продольных частицы колеблются в направлении распространения волны (звуковые волны), в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Волны в газообразных и жидких средах всегда продольные, так как там не возникает касательного напряжения. Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.