Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)

2.2 Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)

Рассмотрим стержень, находящийся под действием растягивающей нагрузки. Выделим (до деформации) двумя произвольными сечениями А-А и В-В бесконечно малый участок длиной dz на расстоянии z от свободного конца. Под действием внешней силы F сечение А-А переместиться в положение А₁-А₁ на расстояние u, а сечение В-В - в положение В₁-В₁ на расстояние u+du (du - бесконечно малая величина) Следовательно, абсолютное удлинение отрезка dz равно разности его размеров до и после деформации .

Относительная продольная деформация точек сечения А-А стержня при растяжении            

                      (2.5)

Для линейно-упругого матери-ала связь между нормальными напряжениями и относительной деформацией при растяжении  определяется законом Гука:

                                                                                                                                  (2.6)

или, учитывая, что ,

                                                                        ,                                              (2.7)

Рекомендуемые материалы

где   Е - модуль нормальной упругости (модуль Юнга), постоянный коэф­фициент, который является константой материала (например, для стали Е=2-10¹¹ Па, для меди Е=1,2-10¹¹ Па, для титана Е=1,2-10¹¹ Па).

Исходя из этих формул, можно записать выражение для перемещений точек растягиваемого стержня в рассматриваемом сечении

                  ,                                                            (2.8)

Тогда полное удлинение стержня при растяжении , равное перемещению точек правого крайнего сечения, относительно левого крайнего:

                                      (2.9)

При постоянстве величин N, А, Е вдоль оси стержня, абсолютное удлинение можно найти так:

                            (2.10)

При растяжении стержень деформируется не только в продольном направле­нии, но и в поперечном.

Абсолютная поперечная деформация стержня опреде-ляется как разность его поперечных размеров до и после деформации:

;

Относительная попереч-ная деформация стержня опре-деляется отношением абсолют-ной поперечной деформации к соответствующему первона-чальному размеру.

Относительная попереч-ная деформация при растяжении (сжатии) для изо­тропных материалов во всех направлениях одинакова:

                                       (2.11)

Между относительной поперечной и продольной деформациями прирастяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное соотношение, которое называется коэффициентом поперечных деформа­ций (коэффициентом Пуассона  ν).

Коэффициент Пуассона равен абсолютной величине отношения поперечной деформации к продольной

                                  (2.12)

В лекции "Болезни области живота" также много полезной информации.

Коэффициент Пуассона - безразмерная величина.

Так как продольная и поперечная деформация для конструкци­онных материалов имеют противоположные знаки, можем записать

                                      (2.13)

или, учитывая, что, согласно закону Гука,   запишем

                                     (2.14)

Коэффициент Пуассона ν также как и модуль Юнга Е характеризует упругие свойства материала. Для изотропных материалов коэффициент Пуассона находится в пределах от 0 до 0,5 ( сталь ; каучук ).