J-интеграл

J-интеграл

17.1. Определение J-интеграла

Понятие J-интеграла было введено с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер.

Рассмотрим однородное тело, которое может обладать линейным и нелинейным поведением, и не имеет массовых сил (рис. 82).

Рис. 82. Щелевой надрез и произвольный контур,

охватывающий его вершину

Положим, что в таком теле имеется двумерное деформационное поле, все компоненты напряжений которого определяются только двумя декартовыми координатами x=x₁ и y=x₂. Это может быть плоская деформация, плоское напряженное состояние. Рассматриваемое тело имеет надрез, который состоит из свободных поверхностей, параллельных оси х, и дуги Г_t. Прямую трещину можно отнести к предельному случаю, при котором радиус кривизны дуги обращается в нуль. Для этого тела плотность энергии деформации можно определить как

.

Рекомендуемые материалы

Тогда J-интеграл можно определить в виде

,

где Г – контур, окружающий вершину разреза. Интегрирование начинается с нижней поверхности надреза вдоль контура Г против часовой стрелки и заканчивается на верхней поверхности надреза. Здесь Т – поверхностный вектор силы, и – вектор перемещения на контуре Г, а ds – малый его элемент.

Доказано, что для произвольной замкнутой кривой Г* справедливо

.

Рассмотрим два контура Г₁ и Г₂ (рис. 83).

Рис. 83. Два контура интегрирования,

охватывающие вершину надреза

Начнем перемещаться вдоль контура Г₁ от нижней поверхности надреза против часовой стрелки к верхней поверхности. Затем перейдем ко второму контуру Г₂ и от верхней поверхности надреза переместимся к нижней поверхности, двигаясь по часовой стрелке. По нижней поверхности надреза вернемся в начальную точку контура Г₁, пройдя замкнутый путь. Поскольку в рассматриваемом случае образуется один замкнутый контур, интеграл по этому контуру обращается в нуль. На участках, которые расположены на поверхностях надреза и являются параллельными оси х, Т=0 и dy=0. На основании этого можно записать

.

Это означает, что сумма интегралов: интеграла по контуру Г₁ (интегрирование против часовой стрелки) и интеграла по контуру Г₂ (интегрирование по часовой стрелке) равна нулю. Если провести интегрирование по контурам Г₁ и Г₂, обходя контуры против часовой стрелки, то значения интегралов, соответствующих этим контурам, будут равны. Следовательно, можно считать, что J-интеграл не зависит от пути интегрирования.

17.2. Энергетическая трактовка J-интеграла

Два частных случая. Для двух приведенных на рис. 84 конфигураций можно весьма просто найти J-интеграл.

1. Рис. 84.  Бесконечные полосы с полубесконечными надрезами

Такие конфигурации не особо важны в реальных задачах. Однако ими удобно пользоваться для объяснения зависимости, связывающей J-интеграл с интенсивностью изменения потенциальной энергии. На рис. 84 (а) показана полубесконечная полоса шириной h с разрезом, параллельным оси x. На верхнюю и нижнюю поверхности полосы действуют внешние силы таким образом, что вектор перемещений u является постоянным (поворот отсутствует). Остановимся на рассмотрении показанного штриховой линией контура Г. Положим, что в направлении оси х этот контур распространяется до бесконечности. Для частей контура, расположенных на верхней и нижней поверхностях, можно считать, что dy=0 и ¶u/¶x=0. Поэтому вклад этих частей в J-интеграл оказывается нулевым. Помимо этого следует иметь в виду, что W=0 и ¶u/¶x=0 при х= - ¥. Поэтому вклад в J-интеграл на таком участке также отсутствует. Следовательно, можно считать, что значение J-интеграла определяется вкладом, который имеет место при х= + ¥. Если принять во внимание, что на этом участке ¶u/¶x=0, то

,

где W_¥  - постоянная плотность энергии деформации при х= + ¥.

На рис. 84, б представлен случай, при котором рассматривается такая же конфигурация, но с другими внешними нагрузками. При х= - ¥ действуют моменты М, отнесенные к единице толщины. Таким образом, можно считать, что при х= - ¥ возникает чистый изгиб. При этом все компоненты напряжений за исключением s_х, можно положить равными нулю. Рассмотрим показанный штриховой линией контур Г. Ввиду того, что при х= + ¥ параметры W и Т обращаются в нуль, вклад в J-интеграл отсутствует. Как и в предыдущем примере, на верхней и нижней поверхностях надреза dy и Т равны нулю и вклада в J-интеграл нет. Следовательно, в рассматриваемом случае величина J может быть получена при х= - ¥ в результате интегрирования в направлении высоты балочного участка. На этом участке dy= - ds, T_y = 0 и T_x = -s_x. Если учесть этот вклад для верхней и нижней балок, то можно установить следующее

.

Величина W характеризует плотность дополнительной энергии. Таким образом, при чистом изгибе, когда на единицу толщины действует момент М, величину J можно записать в виде

,

где W_b(М) – дополнительная энергия, отнесенная к единицам длины и толщины балок.

J-интеграл при маломасштабной текучести. Положим, что в теле имеется узкий надрез или трещина, которая представляет собой предельный случай надреза. Под действием внешних сил в окрестности вершины надреза возникает маломасштабная текучесть (рис. 85).

Рис. 85.  (а) маломасштабная текучесть у вершины трещины или надреза

в упругопластическом теле; (б) асимптотическая аппроксимация при замене

конечного тела на бесконечное с полубесконечным надрезом

Под действием симметричной нагрузки, приложенной к участку, где расположена трещина или надрез, в материале возникают деформации, которые носят плоский характер. Остановимся сначала на решении задачи линейной упругости в предположении, что надрез представляет собой острую трещину (или разрез). Воспользуемся полярными координатами r и q, начало которых находится в вершине трещины. Напряжение, действующее в вершине трещины, можно представить так

 + (слагаемые, не имеющие отношения к трещине).

Положим, что в рассматриваемом материале могут возникать упругопластические деформации. При действии достаточно малых внешних сил у вершины трещины возникает пластическая область, которая достаточно мала по сравнению с длиной разреза и другими размерами образца. Таким образом, остановимся на случае маломасштабной текучести (рис. 85, а). Можно предположить, что особенность напряжений вида r^-1/2 является определяющей с внешней стороны пластической области и располагается на некотором удалении от вершины надреза, причем на таком участке, который достаточно близок к вершине сравнительно с длиной разреза. Рисунок 85, а соответствует конфигурации, с которой приходится иметь дело в действительности. Такую конфигурацию можно заменить более простой (рис. 85, б), представляющей собой бесконечное тело, имеющее разрез полубесконечной длины. В таком случае вместо граничных условий, характеризующих рис. 85, а, используют асимптотическое граничное условие

.

Полученное решение оказывается справедливым с математической точки зрения только при очень низких внешних силах. Если провести сопоставление с полным решением, при котором учитывается пластичность, то можно, однако, установить, что решение, основанное на использовании изложенного выше подхода, оказывается приемлемым до нагрузок, составляющих значительную часть(примерно половину в обычных условиях) нагрузки, при которой возникает полная текучесть. Воспользуемся таким подходом и проведем оценку J-интеграла. С этой целью для случая рис. 85, б примем, что контур Г представляет собой большую окружность радиуса r. Тогда можно записать следующее:

.

Согласно инвариантности, можно считать, что при любом радиусе r величина J не изменяется. Это позволяет считать, что возможен предельный переход при r ® ¥. Зависимость W от деформации является зависимостью второго порядка. В таком случае члены в

 + (слагаемые, не имеющие отношения к трещине),

имеющие особенность r^-1/2, в основном и определяют величину J. Вклад, который вносят другие члены, можно при переходе к пределу не принимать во внимание. Если выполнить операцию интегрирования предпоследнего уравнения, полагая, что существует поле плоской деформации, то для маломасштабной текучести можно установить следующее соотношение:

.

Для бесконечной пластины, имеющей разрез длиной 2l, в которой на значительном удалении от разреза действуют равномерно распределенные растягивающие напряжения s_¥, можно установить, что K_I = s_¥ (pl)^-1/2. Следовательно, в случае маломасштабной текучести

.

Для плоского напряженного состояния вместо (1-n²) следует подставить единицу. Аналогично можно поступить и при нагрузке общего вида. Можно воспользоваться коэффициентами K_I, K_II, K_III, которые представляют соответственно отрыв, поперечный и продольный сдвиг. Если существует поле, в котором сосуществуют эти три параметра, то при маломасштабной текучести получим

.

Таким образом, J-интеграл эквивалентен интенсивности освобождения упругой энергии G в области маломасштабной текучести.

Связь J-интеграла с интенсивностью освобождения упругой энергии. Рассмотрим двумерное упругое тело с надрезом (рис. 86).

2.

3. Рис. 86. Контур интегрирования, охватывающий вершину надреза

Это тело занимает область D, имеющую границу С. Приходящаяся на единицу толщины потенциальная энергия

,

где С_Т – часть границы С, на которой задана поверхностная сила Т. Положим, что происходит переход от одного состояния к другому, который сопровождается увеличением надреза на величину dl. При этом конфигурация контура Г_t у вершины надреза остается прежней. В результате изменения длины надреза на dl происходит изменение потенциальной энергии. После проведения всех выкладок оказывается, что J = - ¶П/¶l.

Таким образом, J-интеграл может быть представлен через интенсивность освобождения упругой потенциальной энергии при изменении длины надреза. Можно считать, что J-интеграл, с одной стороны, имеет смысл интенсивности освобождения упругой энергии, а с другой – представляет собой параметр, который характеризует местное поле деформаций, возникающее в окрестности вершины разреза.

17.3. Применение J-интеграла

Определение концентрации деформации у вершины трещины. Понятие J-интеграла впервые было введено Райсом и Черепановым с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер. Примерно одновременно были опубликованы работы Хатчинсона, а также Райса и Розенгрена, в которых были рассмотрены особенности деформаций у вершин трещин, возникающих в материалах, следующих деформационной теории пластичности. Полученное решение назвали ХРР-решением, используя начальные буквы фамилий указанных авторов. Основные результаты здесь заключаются в следующем.

Связь между напряжениями и деформациями может быть представлена степенным законом упрочнения в следующем виде

,

где e_П – пластическая составляющая деформации; s_Т – предел текучести при растяжении; e_Т = s_Т /E; a и n – постоянные материала. В случае ХРР-решения считают, что для указанного выше уравнения связи в окрестности вершины трещины имеет место асимптотическое решение и что напряжение, деформация и энергия деформации имеют особенности вида r^-1/(n+1), r^—n/(n+1), r^-1 соответственно. При этом имеет место зависимость J=IK_sK_e, где I – безразмерный коэффициент; K_s - пластический коэффициент интенсивности напряжений; K_e - коэффициент интенсивности деформаций. При n = 1

,

имеет место линейно-упругое состояние.

Критерий разрушения J_c. Для использования J-интеграла как параметра, описывающего условия разрушения пластического тела, теоретических обоснований недостаточно. Тем не менее, эксперименты и численные расчеты показывают, что J-интеграл может быть использован в такой роли при проектировании с учетом того, что разрушение не должно произойти.

Положим, что существуют две трещины: одна в компактном образце, предназначенном для проведения испытаний в лабораторных условиях, а вторая – в крупном элементе реальной конструкции. И образец, и элемент изготовлены из одного и того же материала, обладающего высокой пластичностью. Полученные расчетным путем значения J-интеграла в случае их равенства некоторому постоянному значению J_Ic свидетельствуют о том, что начинается рост трещины. Следует иметь в виду, что при высокой пластичности материала, прежде чем будет достигнуто значение J_Ic, в компактном образце возникнет значительная пластическая деформация и уменьшится стеснение деформаций. При этом может случиться, что даже после достижения значения J_Ic будет происходить устойчивое распространение трещины. В крупном элементе конструкции при достижении значения J_Ic еще будет маломасштабная текучесть, а за пределами этого значения произойдет неустойчивое разрушение.

Результаты экспериментальных исследований, полученные для различных материалов, показывают, что существует предельное значение J, соответствующее возникновению разрушения и не зависящее от конфигурации образца. Средние значения для наиболее распространенных легированных сталей составляют 170…190 кДж/м². 

Итак, измерения COD и J_Ic являются попыткой охарактеризовать вязкое разрушение однозначным параметром, который может быть связан с критической величиной высвобождения энергии при разрушении массивного образца перед наступлением общей текучести. Критерий раскрытия трещины сосредоточивает внимание на области вершины трещины, и его можно прямо связать с микромеханизмами разрушения на площади около 0.01 мм²; J-интеграл связан с макроскопической работой или условиями у вершины трещины в зависимости от выбранного Г-контура. Основным недостатком, как и в случае с К_Ic, является то, что критическая величина параметра J_Ic не имеет физического обоснования. 

17.4. Оценка J-интеграла

17.4.1. Энергетические способы

Из приведенных выше рассуждений об энергетической трактовке J-интеграласледует, что J-интеграл представляет собой разность потенциальных энергий двух напряженных тел, у которых длины трещин отличаются на небольшую величину, а в остальном конфигурации идентичны. Следовательно, для линейно упругих тел, обладающих маломасштабной текучестью, J-интеграл эквивалентен силе G, движущей трещину. При анализе нелинейно-упругих тел J-интеграл можно трактовать как энергию, необходимую для роста трещины.

На рис. 87, а показана диаграмма нагрузка – перемещение точки приложения нагрузки (здесь имеется в виду нагрузка, отнесенная к толщине, т.е. Р/t).

Рис.  87. Связь потенциальной энергии системы

с диаграммами нагрузка – перемещение точки приложения нагрузки

В этом случае потенциальной энергии системы П, приходящейся на единицу толщины образца, соответствует на рисунке отрицательная величина, показанная затемненной областью. Эта величина равна дополнительной энергии с отрицательным знаком. При фиксированном перемещении можно считать, что потенциальная энергия равна энергии деформации, т.е. площади, расположенной под диаграммой нагрузка – перемещение точки приложения нагрузки.

Остановимся на случае, когда в нелинейно-упругом теле распространяется трещина длиной l. Такому случаю соответствует диаграмма на рис. 87, б. Под действием постоянной нагрузки Р₀ произойдет распространение трещины – длина трещины возрастет от l до l+dl. При этом произведенная работа представлена площадью ОАВСО. Исходя из обратимости нелинейно-упругого тела, можно считать, что кривая, соответствующая разгрузке из точки В, совпадает с кривой ОВ, при которой тело имеет трещину l+dl. При нагружении такого тела до Р₀ энергия деформации представлена площадью ОВСО. При этом затемненная площадь ОАВО равна работе, затраченной на распространение трещины на dl, т.е. энергии, необходимой для того, чтобы трещина выросла на dl. Эта площадь представляет собой приходящуюся на единицу толщины разность потенциальных энергий тел с трещинами длиной l и l+dl, находящихся под действием внешней силы Р₀. Применяя свойства обратимости упругого тела, можно считать, что J-интеграл, J = - ¶П/¶l, является энергией, затрачиваемой на то, чтобы трещина распространилась на единицу длины.

Если развитие трещины происходит при постоянном перемещении (рис. 87, б), то, ввиду того, что потенциальная энергия системы равна энергии деформации, связанная с распространением трещины интенсивность освобождения энергии оказывается равной - ¶П/¶l. Исключая из рассмотрения величины более высоких порядков, вызванные малыми приращениями dD, считаем, что затемненные площади на рис. 87, б, в равны и могут быть представлены как – dП.

Этими рассуждениями, а именно, соотношением J = - ¶П/¶l, пользуются, когда необходимо теоретически или экспериментально определить J-интеграл.

Экспериментальная методика Бигли-Лэндеса. На рис. 88 даны установленные экспериментально диаграммы нагрузка-перемещение для образцов одинаковой формы, изготовленных из одного материала.

Рис. 88. Экспериментальная оценка параметра J:

1 – экспериментальные диаграммы

Образцы имели трещины длиной l и l+dl. Следует обратить внимание на область, ограниченную кривыми ОА и ОВ. Площадь этой области равна Jdl. Таким образом, можно экспериментально найти величину J. В рассматриваемой методике для оценки величины J необходимо иметь несколько образцов. Вследствие этого затраты на проведение экспериментальных исследований возрастают. Поскольку результаты эксперимента обрабатываются графически, трудоемкость оказывается значительной, а точность результатов невысока.

Теоретическая методика Буччи. Буччи воспользовался упругим решением, а также анализом предельного состояния, в котором после полной текучести не учитываются упругие деформации и деформационное упрочнение.

По этим данным построены диаграммы нагрузка – перемещение (рис. 89).

Рис. 89. Определение J с помощью упругопластического решения методом Буччи. Зависимость J от D: 1 – упругое решение; 2 – жесткопластическое решение;

 3 – смещение диаграммы (суммарное решение)

При помощи зависимости J = - ¶П/¶l и этой диаграммы проведен расчет величины J. Следует отметить, что при такой оценке J-интеграла считают, что можно не учитывать упругопластические деформации перед полной текучестью и не состыковывать плавно-упругое решение J=f(D²) c жесткопластическим решением J=f(D), а положить, что график J лишь смещается в области полной текучести. Это смещение показано на рисунке. Для учета упругопластической области Буччи предложил использовать обычные поправки на пластичность, в основе которых лежит коэффициент интенсивности напряжений:

, (плоское напряженное состояние),

, (плоская деформация).

При таком подходе установлено, что полученная расчетным путем диаграмма J - D, для которой с помощью последних формул введены поправки при плоском напряженном состоянии, совпала с результатами экспериментальных исследований. Однако Буччи указал, что толщина образца может вносить свои эффекты и поправка при плоском напряженном состоянии не всегда приемлема.

Предложенная методика позволяет теоретически сравнительно просто оценить J-интеграл. Поэтому, когда необходимо проанализировать основные свойства J-интеграла, пользуются такой методикой.

Упрощенные зависимости Райса. Райс предложил способ оценки J-интеграла, при котором диаграмма нагрузка – перемещение зависит только от остаточной длины сечения, обозначенной на рис. 90 через b₁.

Рис. 90. Изгиб образца

В рассматриваемом случае получены соответствующие выражения J для образцов на растяжение с двумя боковыми трещинами, одной центральной или кольцевой, а также для образцов на изгиб с односторонней трещиной. Без вывода эти выражения приведены в таблице.

Эти зависимости позволяют довольно просто определить J-интеграл. Такая методика при экспериментальной оценке обладает следующими преимуществами:

1) Можно непосредственно использовать диаграмму P - D, полученную экспериментально.

2) В отличие от методики Бигли и Лэндеса можно воспользоваться лишь одной кривой P - D.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 12.3 Переоценка традиционной системы ценностей.

17.4.2. Определение J-интеграла методом конечных элементов

Чтобы с помощью МКЭ вычислить J-интеграл, необходимо сначала разбить рассматриваемое тело на элементы и определить соответствующие константы материала. Затем, постепенно увеличивая нагрузку и удовлетворяя заданным граничным условиям, можно провести упругопластическое решение. Для каждого шага нагрузки определяют различные параметры (перемещение, деформацию, напряжение, энергию деформации и т.п.(. далее с помощью этих параметров вычисляется J-интеграл различными способами.

Используя определение J-интеграла, и интегрируя по контуру, можно непосредственно найти J-интеграл.

То, что Бигли и Лэндес выполняли экспериментально, можно выполнить МКЭ. С этой целью удобно воспользоваться способом, приведенным на рис. 88. При этом следует найти площадь, заключенную между кривыми P - D, построенными для двух образцов, у которых длины трещин отличаются лишь на Dl. Используя эту площадь, можно вычислить J-интеграл.

J-интеграл можно найти по упрощенным зависимостям, например, по зависимостям Райса. При этом можно обойтись одной кривой P - D.