Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению
Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению.
Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.
Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления Обобщенная сила, соответствующая этим силам,
Скорость точек так как - сложная функция, а Поэтому Значит,
Обозначим Тогда обобщенная сила сопротивления
Заметим, что по форме эта функция аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): (коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению
(9)
Функция называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы.
Рекомендуемые материалы
После подстановки в уравнение Лагранжа , получим дифференциальное уравнение или
(10)
где - коэффициент сопротивления, - частота свободных колебаний без сопротивления.
Найдем решение уравнения (10). Характеристическое уравнение: Корни его могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.
а) Случай малого сопротивления (n < k).
Корни получаются комплексными где . Решение дифференциального уравнения ищем в виде
(11)
или
(12)
где постоянные и или и находятся по начальным условиям.
Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная , не постоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими.
График таких колебаний дан на рис. 83.
Рис.83
Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода
Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.
Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода ):
То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина .
Натуральный логарифм ее, равный называется логарифмическим декрементом колебаний.
Конечно, через период амплитуда уменьшится в раз, а через m периодов – в раз.
б) Случай большого сопротивления (n>k).
Корни характеристического уравнения получатся вещественными: В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10):
(13)
Решение явно неколебательное, непериодическое.
Графики таких движений показаны на рис.84. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n.
"Основные черты развития Византийской империи" - тут тоже много полезного для Вас.
Рис.84
в) Случай равного сопротивления (n = k).
Корни характеристического уравнения получаются равными: . Поэтому решение дифференциального уравнения
(14)
Движение и в этом случае не будет колебательным.