Плотная кодировка

ЛЕКЦИЯ 14. Плотная кодировка.

1. Перепутывание – как информационный ресурс.

2. Идея плотной кодировки. Унилатеральные вращения. Протокол Ч.Беннета и С.Визнера. Преимущества плотной кодировки перед прямой передачей классических битов с помощью двух частиц.

3. Эксперимент группы А.Цайлингера по плотной кодировке с использованием двухчастичных поляризационно-угловых перепутанных состояний.

Утверждение, которое будет обсуждаться на ближайших лекциях, формулируется так:

- перепутывание является информационным ресурсом.

            Известно, что кубиты могут быть использованы для хранения и передачи классической информации, поскольку они содержат в себе, как предельный случай, классические биты. Например, для передачи строки классических битов 00101, Алиса может послать пять кубитов (пять двухуровневых систем), приготовленных в состоянии . Получатель сообщения – Боб – может извлечь информацию, измеряя каждый кубит в базисе . Здесь под  мы понимаем собственные состояния измеряемой наблюдаемой. Результат измерения дает строку классических битов. При этом с каждым кубитом передается не более одного классического бита.

Таким образом, можно записать, что .

Теперь предположим, что между Алисой и Бобом распределены пары максимально перепутанных кубитов в состоянии. Мы будем опускать нормировочный множитель. На этом этапе между Алисой и Бобом нет никаких каналов связи – перепутанные состояния генерируются сторонним источником, который посылает один кубит Алисе, а другой – Бобу, а те, в свою очередь, имеют возможность манипулировать только своими частицами (т.е. локально). В такой схеме Алисе можно передать два классических бита информации, посылая затем Бобу лишь один кубит, точнее – половинку перепутанной пары. Эта идея, предложенная Визнером и Беннетом в 1992 году, получила название «плотной кодировки », поскольку лишь один квантовый бит поступает от Алисы к Бобу для передачи двух классических битов. В протокол вовлечены два квантовых бита, однако, Алисе доступен лишь один из них. При «квантовой телепортации » (следующая лекция) с помощью перепутанной пары частиц и двух битов классической информации можно уничтожить неизвестное квантовое состояние одной частицы (кубит) и воссоздать его на другой частице (Рис.1).

Рекомендуемые материалы

Напомню, что количественно, перепутывание характеризуется термином «пебит» (см. Лекцию 13), что характеризует квантовый ресурс, состоящий в распределенной паре максимально перепутанных состояний двухуровневых частиц. Тогда условно, можно записать следующие соотношения между классическими и квантовыми ресурсами каналов связи:

,

,

,

.

Здесь знак  означает, что ресурс в левой части неравенства может быть реализован из ресурса, стоящего в правой части, но не наоборот. Так первая строчка  означает, что классический бит может быть передан  посредством квантового бита, например, когда множество значений кубита ограничено лишь двумя ортогональными состояниями. Этот пример был рассмотрен в начале лекции. Вторая строчка означает, что пебит распределенного перепутывания можно создать посылая кубит, например, когда один наблюдатель приготавливает ЭПР-пару и посылает ее половинку (т.е. одну частицу) другому наблюдателю. Третья и четвертая строчки  представляют более сложные проявления ресурсов, задействованных, например, в протоколах телепортации и плотной кодировки, соответственно. Так, третья строка говорит, что с помощью перепутанной пары (1 пебит) и 2 битов классической информации можно манипулировать кубитом (телепортировать его). Из четвертого неравенства следует, что 2 бита классической информации можно передать, имея перепутанную пару и посылая ее половинку, представленную кубитом (плотная кодировка). Последние два утверждения нужно воспринимать осторожно, поскольку, как неоднократно показывалось в предыдущих лекциях, половинка перепутанной пары не является в буквальном смысле кубитом – состояние каждой из частиц, составляющих максимально перепутанную пару – полностью смешанное: Напомню также, что пебиты относятся к непрямыми ресурсам, которые распределены симметрично между двумя удаленными пользователями, в то время как кубиты и биты относятся к прямым ресурсам. Их можно посылать в определенном направлении – от источника к приемнику.

Протокол плотной кодировки основан на следующем факте(см. Рис.2). Четыре взаимно ортогональных состояния Белла могут преобразовываться друг в друга путем выполнения операций над отдельными кубитами. Имея, скажем, состояние , можно получить три оставшихся состояния Белла, выполняя операции  только в канале Алисы (см.Лекцию 7) или Боба по отдельности.

Напоминание из Л7.

Основные квантовые операции над кубитами:

1. Тождественное преобразование.

                                                                             (14.1)

Действительно,        ,

                                   .

2. Унилатеральный поворот Паули на p вокруг оси X (оптический эквивалент – пластинка . ЛЭ «НЕ»

                                                                            (14.2)

Действительно,        ,

.

3. Унилатеральный поворот Паули на p вокруг оси Z (оптический эквивалент – пластинка . Зависимый от состояния фазовый сдвиг, отличающийся на p для  и . (Преобразует  в )

                                                      ,                               (14.3)

где  описывает действие фазовращателя.

Действительно,        ,

                                   .

4. Унилатеральный поворот Паули на p вокруг оси Y

                                                                                         (14.4)

Действительно,        ,

                                   .

5. Логическая операция Адамара. Оптический эквивалент – пластинка

                                            (14.5)

Поскольку существует только четыре возможности – по числу состояний Белла, то выбор операции, выполняемой Алисой, закодирован в двух битах классической информации. Причем, поскольку кодировка происходит на двухчастичных состояниях (Белла) два бита классической информации кодируются двумя частицами. После преобразования половинки ЭПР пары она посылает свой (преобразованный) кубит Бобу, а тот должен понять, какое из состояний Белла представлено этим кубитом. Для этого требуется произвести измерение состояния Белла (ИСБ).

Рассмотрим поэтапно работу протокола плотной кодировки.

1. Алиса (индекс “A”) и Боб (индекс “B”) получают распределенную между ними пару максимально перепутанных частиц в состоянии Белла .

Замечание. Выбор исходного состояния Белла – произволен. В оригинальной версии Беннета и Визнера использовалось состояние

2. Алиса выполняет одно из унитарных преобразований  над своей частицей. Будем обозначать ее индексом “Al”.

3. Алиса посылает преобразованную частицу Бобу.

4. Боб выполняет ИСБ. Результат – четыре числа – по числу состояний Белла.

Рассмотрим возможные исходы измерений Боба.

I. ИСБ дает . Тогда, зная, что начальное состояние было , Боб делает вывод, что Алиса выполнила тождественное преобразование над своей частицей, т.е. ничего с ней не сделала:

Пусть это соответствует передачи кода «0».

II. ИСБ дает . Тогда, зная, что начальное состояние было , Боб делает вывод, что Алиса выполнила операцию «NOT» или X: .

Пусть это соответствует передачи кода «1».

III. ИСБ дает . Тогда, зная, что начальное состояние было , Боб делает вывод, что Алиса выполнила операцию Z: .

Пусть это соответствует передачи кода «2».

IV. ИСБ дает . Тогда, зная, что начальное состояние было , Боб делает вывод, что Алиса выполнила операцию Y: .

Пусть это соответствует передачи кода «3».

Протокол завершен. Боб получает информацию о четырех числах (2 бита классической информации), закодированных в состояниях Белла. При этом он принимает одну частицу, имеющую лишь два состояния , т.е. 1 бит. Такая схема увеличивает информационную плотность канала передачи с одного до двух битов.

Казалось бы, что в рассмотренном протоколе нет прямого выигрыша в соотношении между используемым количеством ресурсов (две частицы) и количеством передаваемой информации (2 бит) – итого – 1 бит на частицу! Можно было просто закодировать каждый бит одной частицей и передать их непосредственно от Алисы к Бобу.

Однако, использование перепутанных состояний имеет одно преимущество. А именно, если перепутанное состояние распределено между пользователями (Алисой и Бобом) заранее, т.е. до отправки основного сообщения, то само сообщение может быть послано в виде одной частице позже – в удобное для передачи время.

Принято считать, что соответствующий эксперимент выполнен группой А.Цайлингера в 1996 г. В этом эксперименте использовалось поляризационно-угловое перепутывание, которое получается при неколлинеарном частотно-вырожденном синхронизме типа II. Исходным являлось состояние . Схема эксперимента (Рис.3) повторяет схему протокола (Рис.2). Однако анализ показывает, что в этом эксперименте имеется ряд «непонятных» моментов. Например, выполнение четырех операций  - см. таблицу на Рис.4 - (кодирование двух битов классической информации) производится с помощью полу- и четвертьволновой пластинок, хотя из (7.1-7.4) следует, что это должны быть две полуволновых пластинки с соответствующими ориентациями. В частности, унитарное преобразование, которое «получено» в эксперименте, достигается действием обеих пластинок, выставленных под нулевым углом. Нетрудно показать, что действие пластинок сводится в этом случаю к преобразованию:

,

,

.

Кроме того, использовавшийся анализатор состояний Белла в принципе не позволяет измерить все четыре состояния Белла в силу линейности. В данном эксперименте различались лишь два состояния Белла:  и (более подробно об этом недостатке будет говориться при анализе схем по квантовой телепортации поляризационных состояний). Самый простой способ, позволяющий различить еще одно состояния Белла  - в данном случае, это  - использовать дополнительный неполяризационный светоделитель вместо одного из четырех детекторов D_H..V’, что и было сделано в работе. Авторы наблюдали увеличение числа совпадений между детекторами D_H1D_H2, когда разность длин плеч в интерферометра Оу-Хонга-Манделя меньше длины когерентности бифотонного поля, которая определяется обратной шириной спектра (см.Лекцию 12). При этом, конечно, половина бифотонов все же попадает на каждый из детекторов D_H1 или D_H2, поскольку состояния типа  и  нельзя однозначно зарегистрировать однофотонными детекторами.

            Таким образом, в работе, в принципе, продемонстрирована возможность различения трех белловских состояний. Это дало возможность осуществить кодировку в тритах – когда информация определяется в терминах трех базисных состояний.

Напоминание из Лекции 2.

По Шеннону, информационная энтропия определяется как

,                                                                                   (14.6)

где p – функция распределения дискретной величины (у нас – вероятность найти двухчастичное состояние в одном из трех белловских состояний).

В квантовом случае (7.6) сводится к

.                                                                    (14.7)

В (14.6) используется натуральный логарифм. Поэтому соответствующую энтропию (информацию) измеряют в «натах». Можно перейти к логарифму по другому, более удобному, основанию. Если М – любое число, то

                                                                  (14.8)

В рассмотренном эксперименте, таким образом, удалось повысить информационную емкость канала в 1.58 раз по сравнению со случаем, когда сообщение кодируется в двоичной системе (информация измеряется в битах). Если бы удалось различить все четыре состояния Белла, то в соответствии с                                                                          (14.9)

емкость увеличилась в 2 раза, как и должно быть при плотной кодировке кубитов.

Замечание.

Рекомендуем посмотреть лекцию "7 Алгоритмы параллельной обработки".

Измерить состояния Белла можно, например, применив к перепутанной паре операцию XOR, и измерив затем бит-мишень, что позволит отличить состояния  от состояний . Для определения знака в суперпозиции, Боб должен использовать преобразование Адамара над оставшимся кубитом, а затем, измерить его. Другим способом измерения состояний Белла в оптических процессах является применение преобразований частоты вверх (up-conversion). Этот метод также будет обсуждаться в лекции, посвященной телепортации.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Ch.H.Bennet, S.J.Wiesner. Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen States. Phys.Rev.Lett., 69, 2881 (1992).

2. K.Mattle, H.Weinfurter, P.Kwiat, and A.Zeilinger. Dense Coding in Experimental Quantum Communication. Phys.Rev.Lett., 76, 4656 (1996).

3. Ch.Bennet. Quantum Information and Computation. Physics Today, October 24 (1995).

4. A.Steane. Quantum Computing. ph9708022.