Силы в электрическом поле

§ 2.6. Силы в электрическом поле.

         Природа всех этих сил - силы, действующие на заряд. Поэтому рассмотрим отдельно силы, действующие на точечный заряд, диполь, систему диполей.

1. Силы, действующие на точечный заряд.

Согласно (1.5):

.           (2.60)

Для непрерывно распределенного заряда:

.                                    (2.61)

Объемная плотность сил:

.                         (2.62)

Рекомендуемые материалы

2. Сила, действующая на диполь.

Внешнее поле  в точках (см.рис.2.20)  и   и , где О – начало координат,  - радиусы - векторы точек  и . Вследствие принципа суперпозиции для диполя сила со стороны электрического поля равна:

.

Для диполя выполняется соотношение , поэтому для функции  справедливо следующее разложение в ряд:

,

где    . Таким образом:

.                   (2.63)

В однородном поле , . Однако, остается вращающий момент:

,                  (2.64)

ориентирующий .

3. Сила, действующая на диэлектрик.

На объем диэлектрика действует сила:

,                                     (2.65)

суммирование проводится по элементарным диполям в объеме.

;                                           (2.66)

,                                      (2.67)

где  - объемная плотность сил (или сила, действующая на единицу объема). Так как , то:

,                 (2.68)

где учтено (см. Приложение, формулу (2)), что:  и теорема о циркуляции, согласно которой .

Сила, действующая на единицу объема диэлектрика, пропорциональна градиенту от квадрата напряженности поля и направлена в сторону увеличения абсолютного значения .

         Применим эти формулы для нахождения сил, действующих на шар из диэлектрика (см. рис. 2.21), находящийся в однородном электрическом поле для двух случаев:  и . Для применения формулы (2.68) необходимо считать, что переход от внешней области с диэлектрической проницаемостью  к внутренней с  совершается не скачком на поверхности шара, а непрерывно в тонком сферическом слое. В этом слое напряженность  изменяется от ее значения вне шара до значения внутри шара. В случае  напряженность поля внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила направлена во внешнюю сторону шара. В случае  силы направлены внутрь шара. В первом случае силы стремятся растянуть шар вдоль линий напряженности поля. Во втором – сплющить его. Это явление называется стрикцией.

4. Поверхностные силы.

На границе диэлектрика нормальная составляющая  претерпевает скачок, т.е. имеется градиент поля, и возникают поверхностные силы. Выражение для них легко получить в простом случае расслоенного конденсатора.

А) Конденсатор с продольно расслоенным диэлектриком.

Рассмотрим заряды, возникающие на границе диэлектрика с обкладками и на границе между диэлектриками (см.рис.2.22). Ясно (см.(2.40)), что если учесть  (верхняя пластина конденсатора), то:

,      ,  ;

,       ,  .

Теперь рассмотрим силы , действующие на обкладки конденсатора. Для их нахождения учтем, что работа сил, действующих на обкладки, должна быть равна убыли энергии электрического поля конденсатора. Если первую обкладку сместить на , то:

,              .

Также и                                  .

Энергия конденсатора и емкость его запишутся:

;                  .

Тогда:

               (2.69).

Можно найти силы и изобразить соответствующие некоторые на рис.2.22:

;                .               (2.70)

Теперь рассмотрим силы на границе диэлектриков. Энергия каждого конденсатора:

;              .            (2.71)

Силы на границе:

;                   .        (2.72)

Направления сил показаны на рис.2.22, они определяются знаками зарядов на концах диэлектриков 1 и 2. Сила на обкладке (2.70) равна силе на границе диэлектрика (2.72):

(при  на поверхности металла (см. (2.6)): ), но их направления противоположны. Равнодействующая двух сил, приложенных к границе:

,    (2.73)

где учтено, что при отсутствии сторонних зарядов на границе . Сила, действующая на единицу поверхности равна разности плотностей энергии электрического поля по обе стороны границы:

.                            (2.74)

Направление  зависит от соотношения . Из (2.73) видно, что при  , т.е. , . Сила на границе диэлектриков направлена в сторону диэлектрика с меньшим , или в сторону с большей объемной плотностью энергии поля.

         Полученная сила называется максвелловским натяжением; как видно из рис.2.23, силы  и  как бы растягивают поверхность границы.

Б) Конденсатор с поперечно расслоенным диэлектриком.

На границе двух диэлектриков диполи отталкиваются, что приводит к соответствующим направлением сил (см. рис.2.24).

         Так как напряженность поля направлена вдоль границы, то справедливы следующие условия на границе:

.

Соответственно, выражения (2.71) для энергии перепишутся в виде:

;           (2.75)

где  и  - площади диэлектриков, прилегающих к обкладкам; , , где  - ширина конденсатора, взятая вдоль . Учтем, что:

                 .

Тогда (2.75) перепишется в виде:

.                              (2.76)

Разность плотностей энергии:

.                               (2.77)

Ещё посмотрите лекцию "15. Рабле. Гаргантюа и Пантагрюэль" по этой теме.

Если находить  и  по формулам (2.76) и , , а затем применить принцип суперпозиции , то легко видеть, что равнодействующая сил, приложенных к поверхности по разные стороны границы:

,                                    (2.78)

сила равна разности плотностей энергий и направлена в сторону диэлектрика с меньшим .

Это видно из следующего: ;

              .

Если , то сила  должна быть направлена в ту же сторону, что и  (т.е. ), а вектор  направлен в сторону диэлектрика с . Эта сила называется максвелловским давлением. Как показано на рис.2.25, электрическое поле как бы давит на поверхность раздела.