Магнитный и механический момент электрона
§ 5.3. Магнитный и механический момент электрона.
Движение электрона вокруг ядра эквивалентно круговому току. Магнитный момент тока определяется по известной формуле: , где
– ток, протекающий по контуру, а
– площадь контура. В случае электрона
, где
– заряд электрона, а
– период его обращения вокруг ядра. Таким образом,
, здесь
– площадь, охватываемая орбитой электрона. Как уже было сказано выше, электрон движется в поле центральных сил. В поле центральных сил момент импульса является интегралом движения1. Поэтому в полярной системе координат:
. Пусть начало координат совпадает с ядром. Площадь орбиты электрона есть:
. Из предыдущей формулы найдём
:
. Тогда:
;
. Тогда магнитный момент электрона:
,
. Для положительно заряженной частицы вектора
и
коллинеарны. В общем же случае:
. Применительно же к электрону,
,
. Таким образом, мы получили связь между магнитным и механическим моментом электрона. Совершим некоторые преобразования. Умножим последнюю формулу на дробь
. Получим:
. Введём следующее обозначение:
. Величину
называют магнетоном Бора. Тогда последняя формула перепишется так:
. В системе СИ
. По аналогии квантово-механический магнитный момент связан с квантово-механическим орбитальным моментом таким же соотношением:
. Найдём выражение для проекции магнитного
момента на какую-либо ось, например, на ось :
, где
– проекция орбитального момента на заданное направление. Так как
может принимать только
значение:
, то существует
способа ориентации магнитного момента. Так как в сферически симметричной системе координат в качестве оси
можно выбрать любую, то и полученное соотношение будет справедливо для проекции магнитного момента на любую ось.
Рассмотрим углы, которые образует орбитальный момент с осью .
. Максимальное значение, которое может принимать орбитальное квантовое число –
, поэтому
, так как
– величина положительная. Таким образом, квантово-механический орбитальный момент никогда не может быть сонаправленым с осью, относительно которой он рассматривается. Вообще говоря, он не может быть ориентирован строго по какой-либо определённой оси. Причём
может принимать только различные дискретные значения, в зависимости от
. Эта дискретность в ориентации момента импульса называется пространственным квантованием.
Отношение модуля магнитного момента к модулю механического момента, выраженное в единицах
, называется гиромагнитным отношением:
. Очевидно, что для орбитального и магнитного и механического моментов электрона гиромагнитное соотношение равно единице, т. е.
. Для собственного магнитного момента электрона, обусловленного наличием спина:
. Тогда гиромагнитное отношение для спинового магнитного момента и механического момента
.
Итак, электрон обладает в атоме четырьмя моментами:
1. Механическим (орбитальным и спиновым);
2. Магнитным (орбитальным и спиновым).
Рекомендуемые материалы
Полный механический момент импульса электрона является векторной суммой орбитального механического момента и спинового механического момента: . Так как модули каждого момента всегда квантуются:
,
то и их сумма должна квантоваться:
, где
– квантовое число полного механического момента электрона. Найдём его. Рассмотрим значения проекций на ось
:
–
значение;
. Тогда
;
, где
–
значение. Так как
,
В лекции "Наблюдение сущность и порядок проведения" также много полезной информации.
то тогда . Определим угол между орбитальным и спиновым моментами электрона. Так как
, то, возводя это выражение в квадрат, получим:
. Отсюда
, или
. Так как возможно лишь
– 2 состояния, то существует 2 возможных угла между орбитальным и спиновым моментами. Так как направление момента относительно любой оси не определено, то возникает вопрос, что же понимать под углом между этими моментами? Смысл данного угла в том, что в отсутствии внешних сил полный момент импульса сохраняется, орбитальный и спиновой моменты прецессируют вокруг полного момента, а их проекции на направление полного момента имеют вполне определённые значения (рис. 53).
Полный магнитный момент электрона равен сумме векторов орбитального магнитного момента и спинового магнитного момента: . Так как
. Таким образом, гиромагнитное отношения для механических и магнитных моментов различны. Поэтому полный механический и полный магнитный момент не коллинеарны.
1 См. лекции по теоретической механике под редакцией Ерыкалина А. В.