Понятие представления в квантовой механике

§ 3.5.  Понятие представления в квантовой механике.

Как уже было ранее сказано, мы можем разложить любую функцию по полному ортогональному набору других функций (например, в ряд Фурье), то есть: , причём набор коэффициентов разложения  полностью определяет функцию . Мы доказали, что собственные функции линейного эрмитового оператора образуют полный ортонормированный базис, то есть любую функцию можно разложить по собственным функциям этого оператора. Разложение функции по полной системе собственных функций оператора  является переводом её функционального представления в так называемое – представление. В квантовой механике говорят: «Переведём функцию в – представление». Не только функции, но и операторы могут быть записаны в различных представлениях.

Пусть функция  есть результат действия оператора  на функцию :   (1). Запишем разложение функций  и  по собственным функциям оператора , то есть переведём их в  – представление: .

; , где  – собственные функции оператора . Подставляя два последних равенства в (1), получим: . Умножим на  последнее выражение: , ; . Так как  численный множитель, то мы можем поменять его местами с функцией : . Проинтегрируем теперь обе части по всей области изменения , то есть по объёму: . Так как операции интегрирования и суммирования коммутативны, то мы можем изменить порядок действий в последней формуле:    (2). Введём некоторые обозначения: . Величину  называют матричным элементом оператора . Матричный элемент оператора  связывает функции  и  в  – представлении. Найдём матричные элементы оператора  в его собственном представлении, , где  – символ Кронекера. Таким образом, матричные элементы оператора  в его собственном представлении образуют диагональную матрицу. Вернёмся к равенству (2). После суммирования по  получим слева некоторую функцию , которая не зависит от . Тогда мы можем записать: . Полученное соотношение отражает связь между коэффициентами   – представления функций  и .

В квантовой механике используются различные виды представлений. Чаще всего используется координатное или  – представление. В нём все функции раскладываются по собственным функциям оператора координат –   оператора. Реже используется  – представление, где функции раскладываются по собственным функциям оператора импульса. Существует также  – представление. В этом случае все функции раскладываются по собственным функциям оператора Гамильтона.