Основные сведения из теории операторов

Глава III. Основные положения квантовой механики

§ 3.1.  Основные сведения из теории операторов.

Из опытов по дифракции и интерференции электронов, а особенно по интерференции одиночных электронов (опыт Юнга), следует, что даже один электрон способен создать интерференционную картину, то есть интерферирует сам с собой. Таким образом, электрон может в одно и то же время находиться в двух различных точках пространства. Очевидно, что понятие траектории для микрочастицы не определено; можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. Одна из основных задач квантовой механики состоит в определении вероятности получения того или иного значения динамических переменных, характеризующих частицу или квантовую систему. Причём в квантовой физике не только координаты и скорости, но и другие физические величины не могут иметь определённые значения. Поэтому говорят лишь о вероятности системы иметь то или иное значение величины её характеризующей: энергии, импульса, координаты и т. д. В связи с эти в квантовой физике физическая величина характеризуется её не численным значением, а оператором, который эта физическая величина представляет.

Оператором называют правило, по которому любой функции из некоторого пространства сопоставляется другая функция из этого же пространства, то есть . Операторы, используемые в квантовой механике, всегда линейные. Оператор  называется линейным, если для произвольных функций  и , и произвольных постоянных  и  выполнено равенство: .

Операторы  называют суммой, разностью и произведением операторов  и  соответственно, если справедливы равенства:

,

,

Обратите внимание на лекцию "6 Городская культура".

.

При этом произведение операторов в общем случае не коммутативно. Это значит, что  . Если же , то такие операторы называются коммутирующими. Если , то такие операторы называются антикоммутирующими. Запись  называется коммутатором операторов  и . Запись  называется антикоммутатором операторов  и . Если результатом действия оператора  на  функцию  является функция , умноженная на некоторое число , то это число называют собственным значением оператора , а функцию  – собственной функцией оператора, соответствующей этому собственному значению: . Причём, собственные функции в квантовой механике должны удовлетворять свойствам конечности, непрерывности, однозначности и гладкости. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Спектр оператора может быть как дискретным, так и непрерывным. Причём, возможны случаи, часть спектра дискретна, а часть непрерывна. Возможны также случаи, когда одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Такое собственное значение называют вырожденным.

Помимо линейности, на квантово-механические операторы накладывается требование самосопряжённости. Оператор  называется самосопряжённым или эрмитовым, если для произвольных функций  и справедливо равенство: 1. Это требование обусловлено тем, что собственными значениями самосопряжённых операторов являются действительные числа. Собственные значения, как-либо описывающие физическую величину, измеряются в эксперименте. Вообще говоря, физическую величину можно измерить, если её оператор эрмитовый.

Теорема 1. Собственные функции линейного эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, то есть , если  и .

  Запишем  по определению собственного значения:  и   (1). Из условия самосопряжённости мы можем записать: . Теперь, подставляя сюда формулы (1), получим: . Так как  и  – константы, то мы можем вынести их за знак интеграла. Перенося интеграл в левую часть, получим: , . По условию , поэтому, .  Так как собственная функция определяется лишь с точностью до произвольного множителя, то этот множитель можно выбрать так, чтобы функции были ортонормированными: , где  – символ Кронекера.

1 Здесь  и далее , за исключением особо оговорённых случаев, означает комплексно сопряжённую функцию.